Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

272

Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ρ , µ , ν ïîñòîÿííû âî âðåìåíè, ïðè÷åì

íîðìà íàêîïëåíèÿ

ρ ñ÷èòàåòñÿ óïðàâëÿþùèì ïàðàìåòðîì, ò.å. â íà-

÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæåò óñòàíàâëèâàòüñÿ óïðàâëÿþùèì îðãà-

íîì ñèñòåìû íà ëþáîì óðîâíå èç îáëàñòè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûïóñê â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäå-

ëÿåòñÿ íåîêëàññè÷åñêîé ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèåé

(

)

,YFKL= ,

íàïðèìåð ôóíêöèåé Êîááà—Äóãëàñà:

()

,YFKL AK L

α−α

==⋅⋅. (17.1)

Èçìåíåíèå çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ñîãëàñíî îïðå-

äåëåíèþ ãîäîâîãî òåìïà ïðèðîñòà, ÷èñëà çàíÿòûõ â ïðîèçâîäñòâå

îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

∆

=ν∆

. Ïåðåõîäÿ ê äèôôåðåíöèàëàì,

ïîëó÷èì

1 dL

Ldt

=ν

. Ðåøåíèå ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

èìååò âèä

ln lnLtВ=ν⋅ + , ãäå ln В — ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.

Îòñþäà íàõîäèì

LВ

ν⋅

. Çíà÷åíèå В íàõîäèì ïðè ïîäñòàíîâêå

â ïîñëåäíþþ ôîðìóëó

0t = , ò.å.

(

)

0LLВ==. Îêîí÷àòåëüíî

⋅

Ôîíäû çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè óìåíüøàþòñÿ çà ñ÷åò

èõ âûáûòèÿ è óâåëè÷èâàþòñÿ çà ñ÷åò èíâåñòèöèé. Èõ èçìåíåíèå çà

ïðîìåæóòîê âðåìåíè

ñîñòàâèò dK Kdt Idt=−µ + . Îòñþäà ïîëó÷à-

åì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

=−µ⋅ + ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

(

)

0KK= .

Îáîáùèì ñêàçàííîå â âèäå ìîäåëè Ñîëîó â àáñîëþòíûõ ïîêàçà-

òåëÿõ:

e; ; (0) ; (,);

LL KI K K Y FKL

==−µ+==

.)1(; YCYI ρ−=ρ= (17.2)

Ââåäåì óäåëüíûå ïîêàçàòåëè:

= — ôîíäîâîîðóæåííîñòü;

()

yF fk

⎛⎞

== =

⎜⎟

⎝⎠

— íàðîäíî-õîçÿéñòâåííàÿ ïðîèçâîäèòåëü-

íîñòü òðóäà;

273

==ρ⋅

— óäåëüíûå èíâåñòèöèè íà îäíîãî çàíÿòîãî;

(

)

1cy=−

— ñðåäíåäóøåâîå ïîòðåáëåíèå íà îäíîãî çàíÿòîãî.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå

()

() ()

;

dkL

dK dk dk

kL L K I k k i k f k

dt dt dt dt

= = ν + =−µ + =−ν −µ + =− ν+µ +ρ⋅ .

Òîãäà â óäåëüíûõ ïîêàçàòåëÿõ ìîäåëü Ñîëîó ïðèîáðåòàåò âèä

;)0(;);(

kkkfk

==µ+ν=λ⋅ρ+λ−=

).()1();();( kfckfikfy ρ−=ρ==

(17.3)

Èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè ïîêàçàòåëè, îïðåäåëÿåìûå ìîäåëÿìè

(17.2) è (17.3), íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíûìè èëè îòíîñèòåëüíûìè òðà-

åêòîðèÿìè. Òðàåêòîðèÿ íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé, åñëè ïîêàçàòåëè

íå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, ò.å.

.const;const;const;const

0000

======== cciiyykk

Ïîñëå âûõîäà òðàåêòîðèè íà ñòàöèîíàðíûé ðåæèì ïðîèçâîäíàÿ

= . Äëÿ ýòîãî ðåæèìà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðèíè-

ìàåò âèä

(

)

0kfk−λ ⋅ + ρ⋅ = ,

èëè

(

)

kfkλ⋅ =ρ⋅ . (17.4)

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ

(

)

,FKL íåîêëàññè÷åñêàÿ, òî

(

)

00f = ,

(

)

0fk

′

> ,

(

)

0fk

′′

< . Åñëè çàäàòü óñëîâèå ,)0( λ>

′

⋅ρ f òî óðàâíåíèå

(17.4) áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå íåíóëåâîå ðåøåíèå k

(ðèñ. 17.2).

Íà ðèñ. 17.2. ââåäåíî îáîçíà÷åíèå

kk=



, ïðè êîòîðîì ñêîðîñòè

ðîñòà ôóíêöèé

()

gk k=λ è

()

(

)

gk fk=ρ⋅

ðàâíû. Çíà÷åíèå k



ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

(

)

.fk

′

ρ⋅ = λ

(17.5)

274

)(kg

)( kkg λ=



)(ρ)(

kfkg ⋅=

Ðèñ. 17.2. Õîä ôóíêöèé g

è g

ïî ôîíäîâîîðóæåííîñòè

Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè

kk= , òî ýêîíîìèêà íàõî-

äèòñÿ íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè è ìîæåò ñîéòè ñ íåå òîëüêî ïðè

èçìåíåíèè âíåøíèõ óñëîâèé, íàïðèìåð ïðè èçìåíåíèè ôóíêöèè

(

)

,YFKL= (ïåðåõîä ê íîâûì òåõíîëîãèÿì). Ïðè

kk≠ â ýêîíî-

ìèêå áóäåò ïåðåõîäíûé ðåæèì, êîòîðûé çàêîí÷èòñÿ óñòàíîâëåíèåì

ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà. Èññëåäîâàíèå ïåðåõîäíîãî ðåæèìà ïðîâå-

äåì äëÿ ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè Êîááà—Äóãëàñà (17.1). Äëÿ

óäåëüíîãî âíóòðåííåãî âàëîâîãî ïðîäóêòà èìååì

YKL

yA Ak

LLL

α−α

⎛⎞⎛⎞

==⋅ ⋅ =⋅

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

. (17.6)

Òî÷êó

íàõîäÿò èç óðàâíåíèÿ

kAk

λ=ρ⋅ ⋅ ,

−α

ρ⋅

−α

ρ⋅

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(17.7)

à òî÷êó



— èç óðàâíåíèÿ

Аk

α−

ρ⋅α⋅ ⋅ = λ ;

;

−α

α⋅ρ⋅

−α

α⋅ρ⋅

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠



. (17.8)

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (17.3) äëÿ ïðîèçâîäñòâåííîé

ôóíêöèè Êîááà—Äóãëàñà (17.6) ïðèîáðåòàåò âèä

kAk

=−λ +ρ⋅ ⋅

Ââåäÿ çàìåíó

,e,e

kuuk

λλ−

== ïîëó÷èì

ee e e,

tt t t

uuAu

−λ⋅ −λ⋅ −λ⋅ α −α⋅λ⋅

⋅−⋅λ⋅=−λ⋅⋅+ρ⋅⋅⋅

275

èëè

()

−α ⋅λ⋅

=ρ⋅ ⋅ ⋅ .

Ýòî óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè:

()

Adt

−α ⋅λ⋅

=ρ⋅ ⋅ ,

åãî ðåøåíèå èìååò âèä

(

)

()

−α ⋅λ⋅

−α

ρ⋅ ⋅

−α λ −α

Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ íàõîäèì èç óñëîâèÿ

0t = ,

(

)

0:uk=

kс

−α

ρ⋅

;

сk

−α

ρ⋅

=−

Òîãäà

()

−α ⋅λ⋅

−α

⎛⎞

ρ⋅ ⋅ ρ⋅

⎜⎟

=+−

⎜⎟

λλ

⎝⎠

Ïîäñòàâèâ ñþäà

(

)

−α

ρ⋅

(ñì. (17.7)), ïîëó÷èì

()

010

uk k k

−α −α

−α

−α ⋅λ⋅

−α

⎛⎞

=⋅+−

⎜⎟

⎝⎠

Ó÷èòûâàÿ çàìåíó

= íàéäåì

()

010

kt k k k

−α −α

−α

−−αλ −α⋅λ⋅

−α

⎡⎤

⎛⎞

=⋅+−

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎣⎦

;

()

() ()

()

010

kt k k k

−α −α

−α

−−α⋅λ⋅

−α

⎛⎞

=+−⋅

⎜⎟

⎝⎠

(17.9)

Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, èìååì

()

lim .

kt k

→∞

Âèä ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿåìîãî òðàåêòîðèåé (17.9),

çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí

,kk



. Ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ

ôîíäîâîîðóæåííîñòè

îò âðåìåíè, ÿâëÿþùàÿñÿ èñõîäíûì äèô-

ôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì

kAk

=−λ +ρ⋅ ⋅

, áóäåò ïîëîæèòåëü-

276

íîé ïðè âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè è îòðèöàòåëüíîé — ïðè óáûâàþ-

ùåé. Ïîëîæèâ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ ïîëîæèòåëüíîé, ïîëó÷èì

0;kAk

−λ + ρ⋅ ⋅ >

−α

ρ⋅

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

(

)

−α

ρ⋅

, ïîëó÷èì âîçðàñòàþùèé ïåðåõîä-

íûé ïðîöåññ ïðè

kk<

è óáûâàþùèé — ïðè

kk>

Ïðîâåäåì èññëåäîâàíèå ôóíêöèè (17 .9) íà íàëè÷èå òî÷êè ïåðå-

ãèáà. Äëÿ ýòèõ öåëåé îïðåäåëèì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ è ïðèðàâíÿåì

åå íóëþ:

()

d k dk dk dk

AAk

dt dt dt

α−

=−λ +ρ⋅ ⋅ = −λ+α⋅ρ⋅ ⋅ = .

Òî÷êà ïåðåãèáà èìååò ìåñòî ïðè

;

−α

α⋅ρ⋅

−α

α⋅ρ⋅

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Ñîïîñòàâèâ ýòî ñ (17.8), íàõîäèì, ÷òî ïåðåãèá èìååò ìåñòî â òî÷êå

kk=



Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî âûäåëèòü òðè òèïà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà

ïðèìåíèòåëüíî ê ôîíäîâîîðóæåííîñòè (ðèñ. 17.3):

kk<



(âíà÷àëå óñêîðåííûé ðîñò ôîíäîâîîðóæåííîñòè, êî-

òîðûé ïðè äîñòèæåíèè



ñìåíÿåòñÿ çàìåäëåííûì ðîñòîì);

kk k<<



(çàìåäëåííûé ðîñò ôîíäîâîîðóæåííîñòè);

kk> (çàìåäëÿþùååñÿ ïàäåíèå ôîíäîâîîðóæåííîñòè, ò.å.

«ïîåäàíèå ôîíäîâ»).



Ðèñ. 17.3. Òðè òèïà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà

277

 Ïðèìåð 17.1. Ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ âàëîâîãî âûïóñêà ñòðàíû

èìååò âèä

0,4 0,6

YKL=

. Âàëîâîé âíóòðåííèé ïðîäóêò è îñíîâíûå ïðîèçâîä-

ñòâåííûå ôîíäû ïðåäñòàâëåíû â ìëðä ðóá., à ÷èñëåííîñòü çàíÿòûõ — â ìëí

÷åë. Íîðìà íàêîïëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé

0, 2,ρ=

äîëÿ âûáûâøèõ çà ãîä

îñíîâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôîíäîâ

0, 03,µ=

ãîäîâîé òåìï ïðèðîñòà ÷èñëà

çàíÿòûõ â ïðîèçâîäñòâå

0, 02,ν=

óäåëüíàÿ ôîíäîâîîðóæåííîñòü â íà÷àëü-

íûé ìîìåíò âðåìåíè k

= 4 òûñ. ðóá./÷åë.

Îïðåäåëèòü óäåëüíóþ ôîíäîâîîðóæåííîñòü

íà ñòàöèîíàðíîé òðàåê-

òîðèè è òî÷êó



, íàðîäíî-õîçÿéñòâåííóþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà íà

ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè, óäåëüíûå èíâåñòèöèè íà îäíîãî çàíÿòîãî íà ñòà-

öèîíàðíîé òðàåêòîðèè, ñðåäíåäóøåâîå ïîòðåáëåíèå íà îäíîãî çàíÿòîãî íà

ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè è â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, à òàêæå âðåìÿ

ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà.

Ðåøåíèå.

Óäåëüíûé âàëîâîé âíóòðåííèé ïðîäóêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

0,4 0,6

0,4

YK L

LL L

⎛⎞ ⎛⎞

== ⋅ =

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

Íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè óäåëüíóþ ôîíäîâîîðóæåííîñòü

k è òî÷-

êó



íàõîäÿò èç ñîîòíîøåíèé (17.7) è (17.8) ïðè

0, 02 0, 03 0, 05λ=ν+µ= + =

;

10,4

1α

0, 2

10,08 тыс. руб. чел.

0, 05

−

ρ⋅

⎛⎞

== =

⎜⎟

⎝⎠

;

10,4

1α

0, 4 0, 2

2,19 тыс. руб. чел.

0, 05

−

α⋅ρ⋅ ⋅

⎛⎞

== =

⎜⎟

⎝⎠



Íàðîäíî-õîçÿéñòâåííàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà íà ñòàöèîíàðíîé òðà-

åêòîðèè

(

)

0 0 0,4

10,08 2,56 тыс. руб. чел.yk== =

Óäåëüíûå èíâåñòèöèè íà îäíîãî çàíÿòîãî íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè

0, 2 2, 56 0, 51 тыс. руб. чел.iy=ρ⋅ = ⋅ =

Ñðåäíåäóøåâîå ïîòðåáëåíèå íà îäíîãî çàíÿòîãî íà ñòàöèîíàðíîé òðà-

åêòîðèè

()

1 0,8 2, 56 2, 05 тыс. руб. чел.cy=−ρ = ⋅ =

Íàðîäíî-õîçÿéñòâåííàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà â íà÷àëüíûé ìîìåíò

âðåìåíè

α0,4

41,74

ыс. руб. чел.yk== =

Ñðåäíåäóøåâîå ïîòðåáëåíèå íà îäíîãî çàíÿòîãî â íà÷àëüíûé ìîìåíò

âðåìåíè

(

)

1 0,8 1,74 1, 39 тыс. руб. чел.cy=−ρ = ⋅ =

278

Òðàåêòîðèÿ ôîíäîâîîðóæåííîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (17.9) è ïðè

ïîëó÷åííûõ äàííûõ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

()

(

)

0,6 0,6 0,03

44e.

kt k

−

=+ − ⋅

Ïðîöåññ ñ÷èòàþò óñòàíîâèâøèìñÿ ïðè

()

0, 9kt k=⋅

. Ïîýòîìó, ïîäñòà-

âèâ ñþäà

(

)

0,9 10, 08 9, 072kt =⋅ =

, ïîëó÷èì äëÿ

4 тыс. руб. чел.:k =

()

;e43,24072,9

03,06,0 t−

⋅−=−

.94,6e;e7,14755,3

03,003,0

=⋅−=−

− tt

Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî t, íàéäåì âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðî-

öåññà

пер

. Ïðîëîãàðèôìèðîâàâ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæå-

íèÿ, ïîëó÷èì

пер

ln 6,94 1,94

64,6 лет.

0,03 0,03

t ===



17.3. «Золотое правило» накопления

Îïòèìàëüíàÿ íîðìà íàêîïëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ «çîëîòîìó

ïðàâèëó» íàêîïëåíèÿ Ý. Ôåëïñà, îáåñïå÷èâàåò ðàâíîâåñíûé ýêîíî-

ìè÷åñêèé ðîñò ñ ìàêñèìàëüíûì óðîâíåì ïîòðåáëåíèÿ.

Íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè ôóíêöèÿ óäåëüíîãî ïîòðåáëåíèÿ

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

() ()

()

() ()

00 0

11 1 1

cyАk А

−α

ρ⋅

⎛⎞

= −ρ = −ρ ⋅ = −ρ ⋅ = ⋅ −ρ ρ

⎜⎟

⎝⎠

Ïðîâåäåì èññëåäîâàíèå ýòîé ôóíêöèè îò íîðìû íàêîïëåíèÿ

íà ýêñòðåìóì. Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì åå ïî íîðìå íàêîïëå-

íèÿ, ïðèðàâíÿåì ïðîèçâîäíóþ íóëþ è ðåøèì óðàâíåíèå

()

110.

dc A

αα

−

−α

−α −α

αα

−α −α

αα

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

=⋅−ρ+−ρρ=

⎜⎟

⎢⎥

ρ−α

⎝⎠

⎣⎦

⎛⎞ ⎛⎞

ρ−ρρα

⎛⎞ ⎛⎞

=⋅−+α+α=⋅−+=

⎜⎟ ⎜⎟

−α ρ −α ρ

λλ

⎝⎠ ⎝⎠

Â òî÷êå

max

ρ=α èìååò ìåñòî ìàêñèìóì ôóíêöèè, òàê êàê ëåâåå

ýòîé òî÷êè ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà, ò.å. ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò,

à ïðàâåå — îòðèöàòåëüíà, ò.å. ôóíêöèÿ óáûâàåò. Òàêèì îáðàçîì,

íàèáîëüøåå ïîòðåáëåíèå äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàâåíñòâå íîðìû íàêîï-

ëåíèÿ ýëàñòè÷íîñòè âûïóñêà ïî ôîíäàì. Íà ïðàêòèêå íîðìà íàêîï-

ëåíèÿ âñåãäà ìåíüøå îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ò.å. èìååò ìåñòî íå-

äîíàêîïëåíèå (ðèñ. 17.4).

279

()с ρ

Ðèñ. 17.4. Ãðàôèê óäåëüíîãî ïîòðåáëåíèÿ îò íîðìû íàêîïëåíèÿ

Â îáùåì ñëó÷àå óäåëüíîå ïîòðåáëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

()() ()

() ()

()

010

11 1 e

cyAk Akkk

−α −α

−α

−−αλ

α−α

⎛⎞

= −ρ = −ρ ⋅ = −ρ ⋅ + − ⋅

⎜⎟

⎝⎠

Óñòàíîâèâ

ρ=α, ïîëó÷èì îïòèìàëüíóþ òðàåêòîðèþ óäåëüíîãî

ïîòðåáëåíèÿ:

()

() ()

()

010

cAkkk

−α −α

−α

−−αλ

−α

⎛⎞

=−α ⋅ + − ⋅

⎜⎟

⎝⎠

;

()

() ()

()

010

cAkkk

−α −α

−α

−−αλ

−α

⎛⎞

=−α ⋅ + − ⋅

⎜⎟

⎝⎠

Íà÷àëüíîå ïîòðåáëåíèå â ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâèò

()

1cAk

=−α ⋅ ,

à íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè —

()

cAk A

−α

α⋅

⎛⎞

=−α ⋅ =−α ⋅

⎜⎟

⎝⎠

Åñëè æå

ρ<α, òî íà÷àëüíîå ïîòðåáëåíèå

()

1cAk

=−ρ ⋅



, à íà

ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè —

()

11 .

cAk A

−α

ρ⋅

⎛⎞

=−ρ ⋅ =−ρ ⋅

⎜⎟

⎝⎠



280

Ïîñêîëüêó ρ<α, òî

cc>



;

cc<



, (17.10)

òàê êàê

()()

()

()()

()

α−α α−α

−ρ ρ < −α α . (17.11)

Äåéñòâèòåëüíî, çàïèøåì (17.11) â âèäå

()

(

)

()

(

)

α−α α−α

−α α −α α

⎡⎤⎡ ⎤

−ρ ⋅ρ < −α ⋅α

⎢⎥⎢ ⎥

⎣⎦⎣ ⎦

;

() ()

αα

ρα

−ρ ⋅ < −α ⋅

−ρ −α

Ïóñòü

=α−∆

. Òîãäà ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ïðèíèìàåò âèä

() ()

αα

α−∆ρ α

−α+∆ρ ⋅ < −α ⋅

−α+∆ρ −α

;

()

()()

α−α+∆ρ

−α+∆ρ

⎛⎞

⎜⎟

−α α−∆ρ −α

⎝⎠

;

∆ρ

⎛⎞

−α

⎜⎟

∆ρ

−α

⎝⎠

−

Ðàçëîæèì ëåâóþ ÷àñòü â ðÿä è îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ ïåðâûìè ñëà-

ãàåìûìè:

()

111

⎛⎞

∆ρ ∆ρ ∆ρ

⎛⎞

+−<+

⎜⎟

α−α α −α

⎝⎠

;

()

∆ρ

∆ρ ∆ρ ∆ρ

+−− <+

α−α α −α

α−α

;

()

111

∆ρ α

−− <

−α α −α −α

;

()

111

∆ρ α

−<+−

α−α −α −α

;

()

∆ρ

−<

α−α

Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâà (17.10) è (17.11) èìåþò ìåñòî. Òðà-

åêòîðèè óäåëüíîãî ïîòðåáëåíèÿ äëÿ

ρ=α è ρ<α ïðåäñòàâëåíû íà

ðèñ. 17.5, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî âûèãðûø â òåêóùåì ïîòðåáëåíèè

281

ïðèâîäèò ê ïðîèãðûøó â áëèæàéøåé ïåðñïåêòèâå. Â ìîìåíò

t ýòî-

ãî âûèãðûøà óæå íå áóäåò, à ïîòîì ïîòðåáëåíèå áóäåò ìåíüøå îï-

òèìàëüíîãî.

Ðèñ. 17.5. Òðàåêòîðèè óäåëüíîãî ïîòðåáëåíèÿ

 Ïðèìåð 17.2. Óñëîâèÿ ïðèìåðà 17.1. Íîðìà íàêîïëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ

ðàâíîé

0, 4ρ=

Ðåøåíèå.

Íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè óäåëüíàÿ ôîíäîâîîðóæåííîñòü

k è òî÷êà :k



10,4

0, 4

32 тыс. руб. чел.

0, 05

−

−α

ρ⋅

⎛⎞

== =

⎜⎟

⎝⎠

10,4

0, 4 0, 4

6,95 тыс. руб. чел.

0, 05

−

−α

α⋅ρ⋅ ⋅

⎛⎞

== =

⎜⎟

⎝⎠



Íàðîäíî-õîçÿéñòâåííàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà íà ñòàöèîíàðíîé

òðàåêòîðèè

()

00 0,4

32 4 тыс. руб. чел.yk

===

Óäåëüíûå èíâåñòèöèè íà îäíîãî çàíÿòîãî íà ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèè

0, 4 4 1,6

ыс. руб. чел.iy=ρ⋅ = ⋅ =

Ñðåäíåäóøåâîå ïîòðåáëåíèå íà îäíîãî çàíÿòîãî íà ñòàöèîíàðíîé òðà-

åêòîðèè

()

1 0,6 4 2, 4 тыс. руб . чел.cy=−ρ = ⋅=

Íàðîäíî-õîçÿéñòâåííàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà â íà÷àëüíûé ìîìåíò

âðåìåíè

0,4

41,74

ыс. руб. чел.yk

== =