Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
302
ТЕСТ 18.3
Âíèìàòåëüíî ïîñìîòðèòå íà ïðèâåäåííûå âûñêàçûâàíèÿ. Ïî-
äóìàéòå, êàêèå èç íèõ îòíîñÿòñÿ ê ïðîåêòàì, ïðèãîäíûì äëÿ
äàëüíåéøåãî ðàññìîòðåíèÿ.
1. Óðîâåíü êàòàñòðîôè÷åñêîãî ðèñêà ïðîåêòà ðàâåí 0,002.
2. Óðîâåíü äîïóñòèìîãî ðèñêà ïðîåêòà ðàâåí 0,015.
3. Óðîâåíü êàòàñòðîôè÷åñêîãî ðèñêà ïðîåêòà ðàâåí 0,00087.
4. Óðîâåíü êðèòè÷åñêîãî ðèñêà ïðîåêòà ðàâåí 0,0099.
5. Óðîâåíü äîïóñòèìîãî ðèñêà ïðîåêòà ðàâåí 0,0015.
6. Óðîâåíü êðèòè÷åñêîãî ðèñêà ïðîåêòà ðàâåí 0,0099.
ЗАДАЧИ
18.1. Ôóíêöèè ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ èìåþò âèä
0,4
0,5
1
;qsp
p
==
,
ãäå q — êîëè÷åñòâî ïîêóïàåìîãî òîâàðà; s — êîëè÷åñòâî ïðåäëà-
ãàåìîãî íà ïðîäàæó òîâàðà;
0p > — öåíà òîâàðà.
Îïðåäåëèòü ðàâíîâåñíóþ öåíó, ýëàñòè÷íîñòü ñïðîñà è ïðåä-
ëîæåíèÿ ïî ýòîé öåíå, èçìåíåíèå äîõîäà ïðè èçìåíåíèè öåíû
íà
3%± .
18.2. ×èñòûé ïðèâåäåííûé äîõîä èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà
äëÿ áàçîâîãî ñöåíàðèÿ ïðè öåíå ðåàëèçàöèè åäèíèöû ïðîäóê-
öèè 12,5 ðóá./øò. ðàâåí 38,72 ìëí ðóá. Ïðè èçìåíåíèè öåíû åäè-
íèöû ïðîäóêöèè äî 13,1 ðóá./øò. ÷èñòûé ïðèâåäåííûé äîõîä
ñîñòàâèò 42,1 ìëí ðóá. Îïðåäåëèòü ýëàñòè÷íîñòü ÷èñòîãî ïðèâå-
äåííîãî äîõîäà ïî öåíå ðåàëèçàöèè.
18.3. Ïóñòü îáúåì ïðîäàæ ðàâåí 12 ìëí ðóá., ïîñòîÿííûå
èçäåðæêè — 3,5 ìëí ðóá., à ïåðåìåííûå èçäåðæêè ñîñòàâëÿþò
32% îáúåìà ïðîäàæ. Îïðåäåëèòü èíäåêñ áåçîïàñíîñòè è óäàëåí-
íîñòü îáúåìà ïðîäàæ îò òî÷êè áåçóáûòî÷íîñòè, óñòîé÷èâîñòü
äîõîäà äî óïëàòû ïðîöåíòîâ è íàëîãîâ ïî îòíîøåíèþ ê âûïëà-
÷èâàåìûì ïðîöåíòàì ïî êðåäèòó â 10 ìëí ðóá. ïðè êðåäèòíîé
ñòàâêå 14% ãîäîâûõ, à òàêæå êîìáèíèðîâàííûé ðû÷àã.
303
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
19.1. Статистика и ее задачи
19.2. Генеральная совокупность и выборки
19.3. Гистограмма и статистическая функция
распределения
19.4. Свойства функции распределения
19.5. Моменты распределения случайной
величины
19.6. Числовые характеристики выборочного
распределения
19.7. Основные статистические распределения
19.8. Доверительные интервалы
и доверительные пределы
19.9. Определение закона распределения
случайной величины
19.1. Статистика и ее задачи
Ñòàòèñòèêà êàê ðàçäåë íàóêè îá óïðàâëåíèè ãîñóäàðñòâîì, ñáî-
ðå, êëàññèôèêàöèè è îáñóæäåíèè ñâåäåíèé î ñîñòîÿíèè îáùåñòâà
è ãîñóäàðñòâà çàðîäèëàñü â XVII â. Îäíàêî ñòàòèñòè÷åñêèé ó÷åò ñó-
ùåñòâîâàë â ãëóáîêîé äðåâíîñòè. Òàê, çà 5 òûñ. ëåò äî íîâîé ýðû
ïðîâîäèëèñü ïåðåïèñè íàñåëåíèÿ â Êèòàå, âåëñÿ ó÷åò èìóùåñòâà
ãðàæäàí â Äðåâíåì Ðèìå è ò.ä.
 ñîâðåìåííîì ïîíèìàíèè ñòàòèñòèêà — ýòî ðåãèñòðàöèÿ,
îïèñàíèå è àíàëèç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, ïîëó÷àåìûõ â ðå-
çóëüòàòå íàáëþäåíèÿ ìàññîâûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.
Âàæíåéøåé çàäà÷åé ñòàòèñòèêè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå çàêîíà
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) ïî
ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì. Çàêîíîìåðíîñòè, íàáëþäàåìûå â ñëó÷àéíûõ
ìàññîâûõ ÿâëåíèÿõ, ïðîÿâëÿþòñÿ òåì òî÷íåå, ÷åì áîëüøå îáúåì ñòà-
òèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Íà ïðàêòèêå, êàê ïðàâèëî, ìû èìååì îã-
ðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Ïîýòîìó ïðè
îïðåäåëåíèè çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàñ÷åòà
óðîâíÿ äîâåðèÿ ê íåìó. Îòñþäà ñëåäóåò çàäà÷à ïðîâåðêè ïðàâäîïîäî-
áèÿ ãèïîòåç, ïðåäïîëàãàþùàÿ âûÿâëåíèå â ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíî-
ìåðíîñòÿõ ýëåìåíòîâ ñëó÷àéíîñòè.  ÷àñòíîñòè, ìîæåò áûòü ïðîâå-
Глава 19
304
ðåíà ãèïîòåçà î òîì, ÷òî äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíÿåòñÿ
çàäàííîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.
×àñòî ïðè îáðàáîòêå ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ âîçíèêàåò çàäà÷à
îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ, à íå ñàìîãî çàêîíà.
19.2. Генеральная совокупность
и выборки
Ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ íàçûâàþòñÿ âñå âîçìîæíûå íàáëþäå-
íèÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ïîêàçàòåëÿ, âñå èñõîäû èñïûòàíèÿ èëè âñÿ
ñîâîêóïíîñòü ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X . Ïðèìåðîì ãåíå-
ðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ìîæåò áûòü âñå íàñåëåíèå ñòðàíû. Òàêàÿ ñî-
âîêóïíîñòü èíîãäà èçó÷àåòñÿ ïóòåì ïåðåïèñè íàñåëåíèÿ.  ýòîé ñî-
âîêóïíîñòè íàñ ìîãóò èíòåðåñîâàòü, íàïðèìåð, äîõîäû æèòåëåé.
Ýòî êîëè÷åñòâåííûé ïðèçíàê ñîâîêóïíîñòè. Äðóãèì ïðèìåðîì ãå-
íåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ÿâëÿþòñÿ âñå èçãîòîâëåííûå íà äàííîì
ñòàíêå äåòàëè. Ýòè äåòàëè ìîãóò áûòü áðàêîâàííûìè è ãîäíûìè.
Ýòîò ïðèçíàê äåòàëåé ÿâëÿåòñÿ êà÷åñòâåííûì.
Âûáîðêîé íàçûâàåòñÿ âûáîð ÷àñòè îáúåêòîâ èç ãåíåðàëüíîé ñî-
âîêóïíîñòè, ïðè÷åì âûáîð îòäåëüíûõ îáúåêòîâ ïðîèñõîäèò íåçàâè-
ñèìî îäèí îò äðóãîãî. Ïðèìåðîì âûáîðêè îáúåìîì
n ìîæåò ÿâ-
ëÿòüñÿ íåçàâèñèìûé âûáîð èç âñåõ èçãîòîâëåííûõ íà äàííîì ñòàíêå
äåòàëåé â êîëè÷åñòâå
n øòóê. Ðåçóëüòàòîì âûáîðêè îáúåìîì n ÿâ-
ëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü
12
, , ...,
n
xx x çíà÷åíèé ïðèçíàêà.
Îáû÷íî ïîä öåëüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ïîíèìàþò îï-
ðåäåëåíèå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èëè åãî õàðàêòåðèñòèê ïî âûáîðêå.
19.3. Гистограмма и статистическая
функция распределения
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçó÷àåòñÿ íåêîòîðàÿ âåëè÷èíà X . Ïóñòü çà-
êîí ðàñïðåäåëåíèÿ
X íàì íå èçâåñòåí. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ýòîò
çàêîí èç îïûòà. Ñ ýòîé öåëüþ íàä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
X ïðîèç-
âîäèòñÿ ðÿä íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì âû-
áîðêó
12
, , ...,
n
xx x èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ ïðèçíàêîì X .
Ïðè áîëüøîì ÷èñëå íàáëþäåíèé ïðîñòàÿ âûáîðêà ñòàíîâèòñÿ
ñëèøêîì ãðîìîçäêîé è íåóäîáíîé äëÿ àíàëèçà. Äëÿ ïðèäàíèÿ åé
áîëüøåé íàãëÿäíîñòè ñòðîèòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä. Äëÿ ýòîãî ðàç-
äåëèì âåñü äèàïàçîí ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå îïûòà çíà÷åíèé íà
èíòåðâàëû è ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî çíà÷åíèé
j
m
, ïðèõîäÿùèõñÿ
íà êàæäûé j-é èíòåðâàë. Íàéäåì ÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû â j-é èíòåðâàë ïî ôîðìóëå
305
.
j
j
m
p
n
=
(19.1)
Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ òàêæå ñòàòèñòèêîé. Âîîáùå ãîâîðÿ,
ñòàòèñòèêà — ýòî ëþáîå ÷èñëî, âû÷èñëåííîå ïî âûáîðêå.
Çàíåñåì ïîëó÷åííûå äàííûå â òàáë. 19.1, â êîòîðîé èíòåðâàëû
ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå èõ âîçðàñòàíèÿ âäîëü îñè àáñöèññ.
Òàáëèöà 19.1
j
J
12
xx÷
23
xx÷
…
1
j
j
xx
+
÷
…
1kk
xx
+
÷
j
p
1
p
2
p
…
j
p
…
k
p
Çäåñü
j
J
— èíòåðâàë âäîëü îñè àáñöèññ ïîä íîìåðîì
j
; k —
÷èñëî èíòåðâàëîâ;
1
,
j
j
xx
+
— ãðàíèöû èíòåðâàëîâ ïîä íîìåðàìè j
è
1
j
+ ; 1k + — ÷èñëî ãðàíèö.
Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ïðåäñòàâëåííûé â òàáë. 19.1, íàçûâàåòñÿ
èíòåðâàëüíûì. Åñëè ÷àñòîòà çàäàíà äëÿ ñëó÷àéíîé äèñêðåòíîé âåëè-
÷èíû, òî ðÿä íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì.
Î÷åâèäíî, ÷òî
1
1.
k
j
j
p
=
=
∑
Ïðèìåð 19.1. Ïðîèçâåäåíî 500 èçìåðåíèé öåíû ïðîäóêòà. Ïîñëå
ïðåäâàðèòåëüíîé îáðàáîòêè âûáîðêè, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé îòíîøåíèå
öåíû ïðîäóêòà ê íîìèíàëüíîé öåíå ýòîãî ïðîäóêòà (â ïðîöåíòàõ), ðåçóëüòà-
òû ñâåäåíû â òàáë. 19.2 (äâå âåðõíèå ñòðîêè).
Îïðåäåëèòü ÷àñòîòû ïîïàäàíèÿ îøèáêè â çàäàííûå èíòåðâàëû.
Ðåøåíèå.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïî ôîðìóëå (19.1) ïðåäñòàâëåíû â ïîñëåäíåé ñòðîêå
òàáë. 19.2.
Òàáëèöà 19.2
j
J
,%
–40÷–30 –30÷–20 –20÷–10 –10÷0 0÷10 10÷20 20÷30 30÷40
j
т
6 25 72 133 120 88 46 10
j
p
0,012 0,05 0,144 0,266 0,24 0,176 0,092 0,02
Åñëè ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íà-
õîäÿòñÿ â òî÷íîñòè íà ãðàíèöå äâóõ èíòåðâàëîâ, òî ÷èñòî óñëîâíî
ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ïîëîâèíó ýòèõ çíà÷åíèé ïðèáàâèòü ê ïðåäû-
äóùåìó èíòåðâàëó, à äðóãóþ ïîëîâèíó — ê ïîñëåäóþùåìó. Ìîæíî
òàêæå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ öåëèêîì îòíåñòè êàê ê ïðåäûäóùåìó
èíòåðâàëó, òàê è ê ïîñëåäóþùåìó.
Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôèêà, íàçû-
âàåìîãî ãèñòîãðàììîé. Ïðè ýòîì ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ
306
èíòåðâàëû, è íà êàæäîì èç ýòèõ èíòåðâàëîâ ñòðîèòñÿ ïðÿìîóãîëü-
íèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà ÷àñòîòå äàííîãî èíòåðâàëà. Ïðè óâå-
ëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ ìîæíî âûáèðàòü âñå áîëåå è áîëåå ìåëêèå
èíòåðâàëû. Ïðè ýòîì ãèñòîãðàììà ïðèáëèæàåòñÿ ê íåêîòîðîé êðè-
âîé, ÿâëÿþùåéñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû
X . Ôóíê-
öèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè êîëè-
÷åñòâî îïûòîâ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à èíòåðâàëû — ê íóëþ.
Ïðèìåð 19.2. Ïîñòðîèòü ãèñòîãðàììó äëÿ äàííûõ ïðèìåðà 19.1.
Ðåøåíèå.
Ãèñòîãðàììà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 19.1.
Ðèñ. 19.1. Ãèñòîãðàììà
Ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó ìîæíî ïðèáëèæåííî ïîñòðîèòü ñòàòè-
ñòè÷åñêóþ (âûáîðî÷íóþ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû Õ. Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà âûáîðî÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
(
)
()
()
()
()
()
1
121
2312
1
1
1
1
1
1
0;
;
;
...
;
1;
1.
k
kkj
j
k
kk j
j
k
Fx x
Fx x x p
Fx x x p p
Fx x x p
Fx x x p
Fx x
−
−
=
+
=
+
≤=
<≤ =
<≤ = +
<≤ =
<≤ = =
<=
∑
∑
(19.2)
Ïðèìåð 19.3. Äëÿ óñëîâèé ïðèìåðà 19.1 ïîñòðîèòü òàáëèöó è ãðàôèê
ñòàòèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ðåøåíèå.
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ïî ôîðìóëàì (19.2),
ïðåäñòàâëåíà â òàáë. 19.3. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ïîêàçàí íà ðèñ. 19.2.
307
Òàáëèöà 19.3
J
j
–40÷–30 –30÷–20 –20÷–10 –10÷0 0÷10 10÷20 20÷30 30÷40
F(x) 0,012 0,062 0,206 0,472 0,712 0,888 0,98 1,0
Ðèñ. 19.2. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ è óìåíüøåíèè èíòåðâàëà ñòàòè-
ñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíîâèòñÿ âñå áëèæå ê ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
òàêæå ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè êîëè÷åñòâî îïûòîâ ñòðåìèòñÿ
ê áåñêîíå÷íîñòè, à èíòåðâàëû — ê íóëþ.
19.4. Свойства функции распределения
Ïðè ïîìîùè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óêàçàòü âåðîÿò-
íîñòü òîãî, ÷òî êàê äèñêðåòíàÿ, òàê è íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè-
÷èíà ïîïàäóò â çàäàííûé ïîëóîòêðûòûé ïðîìåæóòîê:
.aXb≤<
Ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà ïðèðàùåíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà
ýòîì ïðîìåæóòêå, ò.å.
(
)
(
)
(
)
.
P
aXb Fb Fa≤<= −
(19.3)
Ïóñòü èìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ âåëè÷èíà
X
ñ íåïðåðûâíîé è
äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
(
)
Fx. Âåðîÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ ýòîé âåëè÷èíû â ïðîìåæóòîê îò
x äî xx+∆ ðàâíà
(
)
(
)
(
)
.
P
xX x Fx x Fx<<= +∆−
Ðàññìîòðèì ïðåäåë:
(
)
(
)
() ()
0
lim .
x
Fx x Fx
Fx fx
x
∆→
+∆ −
′
==
∆
(19.4)
Ôóíêöèÿ
(
)
(
)
fx Fx
′
= íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íå-
ïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
.X
308
Ïðè çàäàííîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîïàäåò â çàäàííûé ïðîìåæóòîê
aXb≤<
(ðèñ. 19.3), åñòü
()()()()
.
b
a
P
aXb Fb Fa fxdx≤<= − =
∫
(19.5)
Ðèñ. 19.3. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïëîòíîñòü ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ïî ôîðìóëå
() ()
.
x
Fx f xdx
−∞
=
∫
(19.6)
Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ:
1) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
(
)
0;fx≥
2) èíòåãðàë â áåñêîíå÷íûõ ïðåäåëàõ îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-
íèÿ ðàâåí åäèíèöå:
()
1.fxdx
∞
−∞
=
∫
19.5. Моменты распределения
случайной величины
Íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþòñÿ íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû.
Íà÷àëüíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà
s äèñêðåòíîé è íåïðåðûâíîé ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñîîòíîøåíèÿ âèäà
[]
1
;
n
s
sii
i
Xxp
=
α=
∑
(19.7)
309
[]
()
.
s
s
X
xf xdx
∞
−∞
α=
∫
(19.8)
Ïåðâûé íà÷àëüíûé ìîìåíò íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäà-
íèåì. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè
[]
M
X
èëè :
x
m
[] []
1
1
;
n
ii
i
M
XXxp
=
=α =
∑
(19.9)
[] []
()
1
.
M
XXxfxdx
∞
−∞
=α =
∫
(19.10)
Ïîëüçóÿñü çíàêîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ôîðìóëû (19.7)
è (19.8) ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíó:
[]
.
s
s
XMX
⎡⎤
α=
⎣⎦
(19.11)
Äåéñòâèòåëüíî, ôîðìóëû (19.10) è (19.11) ïî ñòðóêòóðå ïîëíî-
ñòüþ àíàëîãè÷íû ôîðìóëàì (19.7) è (19.8) ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî â
íèõ âìåñòî
i
x è
x
ñòîÿò ñîîòâåòñòâåííî
s
i
x è
.
s
x
Òàêèì îáðàçîì,
íà÷àëüíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà
s
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñòåïåíè
s ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Öåíòðàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíå Õ,
íàçûâàåòñÿ îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X îò åå ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî îæèäàíèÿ:
.
x
Х
Xm=−
Öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà
s ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íà-
çûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñòåïåíè
s
ñîîòâåòñòâóþùåé
öåíòðàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
()
.
s
s
sx
XMX MXm
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
µ= = −
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
(19.12)
Âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû è îáîçíà÷àåòñÿ
D
X
⎡⎤
⎣⎦
:
()
()
2
2
.
x
DX X M X m
⎡⎤
⎡⎤
=µ = −
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
(19.13)
Äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèé äèñêðåòíîé è íå-
ïðåðûâíîé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû
()
2
1
;
n
ixi
i
D
Xxmp
=
⎡⎤
=−
⎣⎦
∑
(19.14)
()
()
2
.
x
D
Xxmfxdx
∞
−∞
⎡⎤
=−
⎣⎦
∫
(19.15)
310
Äèñïåðñèÿ (âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò) ìîæåò áûòü âûðàæåíà
÷åðåç âòîðîé íà÷àëüíûé ìîìåíò è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Äåé-
ñòâèòåëüíî,
()
[]
2
222
22 2
2
2
.
xxx
xx
DX M X M X m M X mMX m
MX m m
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤
==−=− +=
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎡⎤
=−=α−
⎣⎦
Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóåò ðàññåèâàíèå çíà-
÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
Êâàäðàòíûé êîðåíü èç äèñïåðñèè íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðà-
òè÷íûì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
.XDX
⎡⎤ ⎡⎤
σ=
⎣⎦ ⎣⎦
(19.16)
Òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ñëóæèò äëÿ õàðàêòåðèñòèêè àñèì-
ìåòðèè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, òî âñå öåí-
òðàëüíûå ìîìåíòû íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ðàâíû íóëþ.
Ìîìåíòàìè ðàñïðåäåëåíèÿ øèðîêî ïîëüçóþòñÿ òîãäà, êîãäà çà-
êîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåèçâåñòåí.
19.6. Числовые характеристики
выборочного распределения
Êàæäîé ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêå (ìîìåíòó) ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû
X ñîîòâåòñòâóåò åå âûáîðî÷íàÿ àíàëîãèÿ. Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â êà÷åñòâå àíàëîãèè èñïîëüçó-
þò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå îïûòà çíà÷å-
íèé, âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå
1
1
n
i
i
xx
n
=
=
∑
, (19.17)
ãäå
i
x — çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàðåãèñòðèðîâàííîå â i-ì
îïûòå;
n — ÷èñëî îïûòîâ.
Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ ñðåäíåå àðèô-
ìåòè÷åñêîå ñõîäèòñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ.
Âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî îäíîé èç ñëåäóþùèõ
ôîðìóë:
() ()
22
2
1
1
;
n
ii
i
sMxx xx
n
=
=−= −
∑
(19.18)
()
2
22
1
1
.
11
n
i
i
n
Ss xx
nn
=
== −
−−
∑
(19.19)
311
Âåëè÷èíó s íàçûâàþò âûáîðî÷íûì ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì,
à âåëè÷èíó
S — âûáîðî÷íûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì.
Åñëè âûáîðêà çàäàíà â âèäå ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà, òî ôîðìóëû
(19.17), (19.18), (19.19) óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
1
;
k
jj
j
xxp
=
=
∑
(19.20)
()
2
2
1
;
k
jj
j
sxxp
=
=−
∑
(19.21)
()
2
22
1
,
11
k
jj
j
nn
Ss xxp
nn
=
== −
−−
∑
(19.22)
ãäå
1
2
jj
j
xx
x
+
+
=
— ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â j-ì
èíòåðâàëå;
j
p
— ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â j-é èí-
òåðâàë;
k — ÷èñëî èíòåðâàëîâ.
Äëÿ äèñêðåòíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà çíà÷åíèÿ
j
x
,
j
p
è k îò-
íîñÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåìó çíà÷åíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîëó-
÷åííîìó â ðåçóëüòàòå îïûòà.
Èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ ìîìåíòû âûáîðêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.
Ïðèìåð 19.4. Äëÿ óñëîâèé ïðèìåðà 19.1 îïðåäåëèòü âûáîðî÷íûå
ñðåäíþþ è äèñïåðñèþ.
Ðåøåíèå.
 òàáë. 19.2 äëÿ ÷àñòîò ïîïàäàíèÿ îøèáêè â çàäàííûå èíòåðâàëû âìå-
ñòî èíòåðâàëîâ
j
J
ââåäåì ñðåäíåå çíà÷åíèå
j
x
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â
j-ì èíòåðâàëå. Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâèì â òàáë. 19.4.
Òàáëèöà 19.4
j
x
–35 –25 –15 –5 5 15 25 35
j
p
0,012 0,05 0,144 0,266 0,24 0,176 0,092 0,02
Äëÿ ðàñ÷åòà âûáîðî÷íûõ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè èñïîëüçóåì ôîðìóëû
(19.20) è (19.21):
1
35 0, 012 25 0, 05 15 0,144 5 0, 266
5 0, 24 15 0,176 25 0,092 35 0, 02 1, 68;
k
jj
j
xxp
=
==−⋅−⋅−⋅−⋅+
+⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
∑