Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

322

2, 95;x =

0, 41;x =

0, 41 2,95;x≤≤

0,99;F =

1,2

1, 68 2,576 14, 48 500 0,168 1, 67;xxtSn

=± = ± ⋅ = ±

3,35;x =

0,01;x =

0,01 3,35.m≤≤ 

19.9. Определение закона распределения

случайной величины

Îáû÷íî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå èçâåñòåí

è èìååòñÿ îãðàíè÷åííîå ÷èñëî íàáëþäåíèé (âûáîðêà). Ïðè åãî îï-

ðåäåëåíèè çàäàþòñÿ íåêîòîðûì èçâåñòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ

è çàòåì ïðîâåðÿþò ýòó ãèïîòåçó íà çíà÷èìîñòü.

Ïðîñòåéøèì ìåòîäîì ïðîâåðêè ãèïîòåçû î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ

ÿâëÿåòñÿ âèçóàëüíûé. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû ïî

âûáîðêå è àíàëèçó åå âíåøíåãî âèäà. Ìåòîä íå òî÷åí. Íàèáîëåå

ïîëíàÿ è òî÷íàÿ ïðîâåðêà ñîîòâåòñòâèÿ âûáðàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

ðåàëüíîìó ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ê. Ïèðñîíà.

Ñòàòèñòèêà Ïèðñîíà èìååò âèä

()

расч

nP m

−

χ=

∑

, (19.30)

ãäå n — êîëè÷åñòâî ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèé ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû Õ (îáúåì âûáîðêè); k — ÷èñëî èíòåðâàëîâ;

—

òåîðåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â j-é èí-

òåðâàë;

— îæèäàåìîå (òåîðåòè÷åñêîå) êîëè÷åñòâî ïîïàäàíèé ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû â j-é èíòåðâàë;

— êîëè÷åñòâî ïîïàäàíèé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â j-é èíòåðâàë â ðåçóëüòàòå îïûòà.

Òåîðåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â j-é

èíòåðâàë

x∆

äëÿ èññëåäóåìîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ

(

)

x ðàñ-

ñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå

(

)

fxdx

∆

∫

Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ñòàòèñòèêè Ïèðñîíà (19.30)

íà

n è ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (19.1), ïîëó÷èì

()

расч

−

χ=

∑

(19.31)

323

Ðàññ÷èòûâàòü çíà÷åíèå

расч

χ ìîæíî êàê ïî ôîðìóëå (19.30),

òàê è ïî ôîðìóëå (19.31).

Âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå

расч

χ ÿâëÿåòñÿ (ïðèáëèçèòåëüíî)

-ðàñïðåäåëåíèåì ñ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû

1kbν= − −

, (19.32)

ãäå

— ÷èñëî èíòåðâàëîâ;

— ÷èñëî ïàðàìåòðîâ âåðîÿòíîñòíîé ìîäå-

ëè, êîòîðûå äîëæíû áûòü îöåíåíû ïî òåì æå äàííûì.

Îòêëîíåíèå îò ïðîâåðÿåìîé ìîäåëè âñåãäà áóäåò ïðèâîäèòü ê

óâåëè÷åíèþ çíà÷åíèÿ

расч

χ .

Çíà÷èìîñòü âûáðàííîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ

ñðàâíåíèåì ðàññ÷èòàííîãî è òàáëè÷íîãî (òåîðåòè÷åñêîãî) çíà÷åíèÿ

χ ñ ν ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α ïîêàçûâàåò âå-

ðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå

χ ïðåâûñèò ðàñ÷åòíîå

çíà÷åíèå

расч

.χ Â âèäå ôîðìóëû ýòî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

(

)

расч

α= χ ≥χ

(19.33)

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ

χ ïîÿñíÿåòñÿ

ðèñ. 19.9. Ïî îñè àáñöèññ îòëîæåíû çíà÷åíèÿ

χ . Èíäåêñ ν îçíà-

÷àåò, ÷òî ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ôóíê-

öèè ñ

ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îòìå÷åííàÿ íà ýòîé îñè òî÷êà

()

îçíà÷àåò, ÷òî ïëîùàäü ïîä êðèâîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íà èí-

òåðâàëå

()

(

)

α∞ ðàâíà óðîâíþ çíà÷èìîñòè α .

()

χα

Ðèñ. 19.9. Ïëîòíîñòü χ

-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ν ñòåïåíÿìè ñâîáîäû

324

Òàêèì îáðàçîì, åñëè

()

расч ν

≤

α ïðè òîì æå ÷èñëå ñòåïåíåé

ñâîáîäû è ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè

, òî âåðîÿòíîñòü ñî-

îòâåòñòâèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

âûáðàííîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò áîëüøå èëè ðàâíà

.α

Åñëè îæèäàåìûå ÷àñòîòû ñëèøêîì ìàëû äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ

-ðàñïðåäåëåíèÿ, òî èõ íàäî îáúåäèíèòü â îäèí áîëåå êðóïíûé

èíòåðâàë. Çíà÷åíèå ÷àñòîò íå äîëæíî áûòü ìåíüøå 5—10. Ïðè îáú-

åäèíåíèè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî ÷èñëî èíòåðâàëîâ íå äîëæíî

áûòü ñëèøêîì ìàëûì.

 Ïðèìåð 19.9. Äëÿ óñëîâèé ïðèìåðîâ 19.1 è 19.4 îïðåäåëèòü çíà÷è-

ìîñòü ñîîòâåòñòâèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

íîðìàëüíîìó.

Ðåøåíèå.

Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ïðèìåðà 19.4, çàïèøåì ôóíêöèþ ïëîò-

íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â âèäå

()

0,168

21,448

−

⋅

π⋅

(19.34)

Ðåçóëüòàòû îáðàáîòêè âûáîðêè òàáë. 19.2 (ïðèìåð 19.1) ïðåäñòàâëåíû

â ïåðâûõ òðåõ ñòðî÷êàõ òàáë. 19.6. Çäåñü æå ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû îñ-

òàëüíûõ ðàñ÷åòîâ.

Òàáëèöà 19.6

–4÷–3 –3÷–2 –2÷–1 –1÷0 0÷1 1÷2 2÷3 3÷4

6 25 72 133 120 88 46 10

0,168

1, 448

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

0,01426 0,0668 0,209 0,4522 0,7157 0,897 0,9748 0,996

0,168

1, 44 8

x −

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

0,00199 0,0143 0,0668 0,209 0,209 0,7157 0,897 0,996

0,01227 0,053 0,1422 0,2433 0,2634 0,1813 0,0778 0,021

6,135 26,275 71,08 121,64 131,71 90,67 38,9 10,55

()

nP m

−

0,003 0,062 0,012 1,062 1,041 0,079 1,296 0,029

Òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â j-é

èíòåðâàë äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (19.34) ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëå

()

0,168

2 1,448

0,168 0,168

eФ Ф.

1, 448 1, 448

2 1, 448

Pdx

−

⋅

−−

⎛⎞⎛⎞

==−

⎜⎟⎜⎟

π⋅

⎝⎠⎝⎠

∫

325

Èíòåãðàë âåðîÿòíîñòè

()

Фe

udt

−

−∞

∫

íàõîäèì ïî òàáëèöàì. Åãî çíà÷åíèÿ çàïèñàíû â òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòðîêàõ

òàáë. 19.6. Òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-

÷èíû â j-é èíòåðâàë ïðåäñòàâëåíû â ïÿòîé ñòðîêå ýòîé òàáëèöû. Ðàñ÷åò

ñòàòèñòèêè Ïèðñîíà ïðîâåäåì ïî ôîðìóëå (19.30), ñëàãàåìûå êîòîðîé ïðåä-

ñòàâëåíû â ïîñëåäíåé ñòðîêå:

()

3, 611.

расч

nP m

−

χ= =

∑

Óðîâåíü çíà÷èìîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

(

)

расч

α= χ ≥χ

ïðè

êîëè÷åñòâå ñòåïåíåé ñâîáîäû

18215kbν= − − = − − =

. Óðîâíè çíà÷èìîñòè â

çàâèñèìîñòè îò çàäàííîãî çíà÷åíèÿ

íàõîäèì ïî òàáëèöàì (ñì., íàïðè-

ìåð, ðàáîòó [8], ñ. 74). Èìååì

3χ=

ïðè

0, 7;α=

4, 35χ=

ïðè

0, 5.α=

Ïðèíèìàåì çàâèñèìîñòü

χ îò α íà èíòåðâàëå 0,5 äî 0,7 ëèíåéíîé

(ðèñ. 19.10).

иск

4,35

3,611

00,5

0,7

Ðèñ. 19.10. Îïðåäåëåíèå óðîâíÿ çíà÷èìîñòè

Èç ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ:

иск

4,35 3 3, 611 3

0, 7 0, 7 0, 7

−−

−−α

326

Îòñþäà îïðåäåëÿåì óðîâåíü çíà÷èìîñòè

иск

0, 611 0, 2

0,7 0, 61.

1, 35

⋅

α= − =

Òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà

ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,61, ïðèíèìàåòñÿ. 

Упражнения

ТЕСТ 19.1

Ïëîùàäü, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû è îñüþ àáñöèññ, ìåíüøå åäèíèöû, ðàâíà åäèíèöå, áîëüøå åäè-

íèöû. (Óêàæèòå ïðàâèëüíûé îòâåò.)

ЗАДАЧИ

19.1. Ïðè îáñëåäîâàíèè äîõîäíîñòè èíâåñòèöèé óäàëîñü óñòàíî-

âèòü, ÷òî èç 250 ïðîåêòîâ òîëüêî 16 èìåþò äîõîäíîñòü îò 20 äî 30%

ãîäîâûõ. Íàéòè ÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ äîõîäíîñòè èíâåñòèöèé â óêà-

çàííûé èíòåðâàë.

19.2. Ïðîâåäåíî îáñëåäîâàíèå 12 èíâåñòèöèîííûõ ïðîåêòîâ íà

äîõîäíîñòü èíâåñòèöèé. Ïîëó÷åííàÿ âûáîðêà ïðåäñòàâëåíà â òàáëè-

öå. Îïðåäåëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå äîõîäíîñòè, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå

êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå è âûáîðî÷íîå ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå.

Íîìåð

ïðîåêòà

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Äîõîäíîñòü 19 23 17 20 27 26 16 19 25 15 29 18

19.3. Äëÿ çàäà÷è 19.2 íàéòè äèàïàçîí èçìåíåíèÿ äîõîäíîñòè èí-

âåñòèöèé, èñïîëüçóÿ «ïðàâèëî òðåõ ñèãì».

19.4. Äëÿ óñëîâèé çàäà÷è 19.2 îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåð-

âàë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äëÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè

0, 95.F =

327

ЦЕНОВАЯ МОДЕЛЬ

КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ

20.1. Статистическое описание характеристик

проекта

20.2. Определение коэффициента бета

20.3. Оценка качества регрессионной модели

20.4. Использование коэффициента бета

для определения доходности и риска

реальных инвестиционных проектов

20.1. Статистическое описание

характеристик проекта

Äîõîäíîñòü ïðîåêòà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ åãî õàðàêòåðè-

ñòèê. Äîõîäíîñòü, íàïðèìåð, ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ âíóòðåííåé

íîðìîé äîõîäíîñòè ïðîåêòà èëè äîõîäíîñòüþ àêöèé. Ýòè çàïëàíè-

ðîâàííûå ïàðàìåòðû ÿâëÿþòñÿ, â îáùåì ñëó÷àå, ñëó÷àéíûìè âåëè-

÷èíàìè. Ïîýòîìó äëÿ èõ îïèñàíèÿ èñïîëüçóþòñÿ âåðîÿòíîñòíûå

õàðàêòåðèñòèêè. Ê ýòèì õàðàêòåðèñòèêàì ïðåæäå âñåãî îòíîñÿòñÿ:

• ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå;

• ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå (ñòàíäàðòíîå) îòêëîíåíèå;

• äèñïåðñèÿ;

• êîâàðèàöèÿ;

• êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ñðåäíåâûáîðî÷íîå çíà÷åíèå) îïðåäå-

ëÿåò íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå îæèäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,

íàïðèìåð äîõîäíîñòè. Åñëè âñå ñëó÷àéíûå èñõîäíûå âåëè÷èíû òåõ-

íèêî-ýêîíîìè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ïðîåêòà âûáðàíû âåðíî, òî îíè,

êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ýòèõ âåëè÷èí.

Äèñïåðñèÿ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå õàðàêòåðèçóþò ðàç-

áðîñ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

×åì áîëüøå ýòè âåëè÷èíû, òåì áîëüøå ðàçáðîñ. Íàïðèìåð, ñðåäíèé

âîçðàñò äâóõ ãðóïï ó÷àùèõñÿ ñîñòàâëÿåò 25 ëåò. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷-

íîå îòêëîíåíèå âîçðàñòà â ïåðâîé ãðóïïå ðàâíî 1,2 ãîäà, à âî âòî-

ðîé — 2,8 ãîäà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçáðîñ ó÷àùèõñÿ ïî âîçðàñòó

âî âòîðîé ãðóïïå áîëüøå. Çàìåòèì, ÷òî äèñïåðñèþ íàõîäÿò, âîçâîäÿ

â êâàäðàò ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå.

Глава 20

328

Êîâàðèàöèÿ õàðàêòåðèçóåò ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ ñëó÷àéíûìè âåëè-

÷èíàìè. Íàïðèìåð, åñëè êîâàðèàöèÿ ìåæäó äâóìÿ äîõîäíîñòÿìè öåí-

íûõ áóìàã ÿâëÿåòñÿ áîëüøîé ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé, òî óâåëè-

÷åíèå äîõîäíîñòè îäíîé öåííîé áóìàãè, êàê ïðàâèëî, ïðèâåäåò

ê óâåëè÷åíèþ äîõîäíîñòè äðóãîé. Ïðè ðàâåíñòâå êîâàðèàöèè íóëþ

ñâÿçü ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè îòñóòñòâóåò. Åñëè êîâàðèàöèÿ

ÿâëÿåòñÿ áîëüøîé ïî ìîäóëþ îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, òî óâåëè-

÷åíèå äîõîäíîñòè îäíîé öåííîé áóìàãè, êàê ïðàâèëî, ïðèâåäåò

ê óìåíüøåíèþ äîõîäíîñòè äðóãîé.

Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, òàê æå êàê è êîâàðèàöèÿ, õàðàêòåðèçóåò

ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Â îòëè÷èå îò êîâàðèà-

öèè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííîé âåëè÷èíîé.

Åãî çíà÷åíèÿ ëåæàò â èíòåðâàëå îò ìèíóñ åäèíèöû äî åäèíèöû.

Áîëüøîå çíà÷åíèå ïðè îöåíêå ðèñêà ïðîåêòîâ ïðèíèìàåò åãî

êîëè÷åñòâåííàÿ îöåíêà. Â êà÷åñòâå ìåðû èçìåðåíèÿ ðèñêà ÷àñòî èñ-

ïîëüçóåòñÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå. Ïðîñòåéøåå îáîñíî-

âàíèå ýòîãî âûáîðà ïðèâîäèòñÿ íèæå.

Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé

(

)

q ñëó÷àéíûõ äîõîä-

íîñòåé

q äâóõ èíâåñòèöèîííûõ ïðîåêòîâ ïîêàçàíà íà ðèñ. 20.1.

Ðèñ. 20.1. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé

ñëó÷àéíûõ äîõîäíîñòåé äâóõ èíâåñòèöèîííûõ ïðîåêòîâ

Ïðè îäèíàêîâûõ çíà÷åíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âíóòðåí-

íåé íîðìû äîõîäíîñòè ïðîåêò ñ ðàñïðåäåëåíèåì

f èìååò ìåíüøèå

ðàçáðîñû âàðèàíòîâ äîõîäà îòíîñèòåëüíî îæèäàåìîãî à (ñì. ðèñ. 20.1).

Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå äîõîäíîñòè

ïåðâîãî ïðîåêòà

σ ìåíüøå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ äî-

õîäíîñòè âòîðîãî ïðîåêòà

σ , ò.å. âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

σ<σ.

Ïîýòîìó ïåðâûé ïðîåêò èìååò ìåíüøèé óðîâåíü ðèñêà ïî ñðàâíå-

íèþ ñî âòîðûì. Ïðè

0σ→ ïðîåêò ñòàíîâèòñÿ áåçðèñêîâûì, òàê êàê

329

äîõîäíîñòü âñåãäà îñòàåòñÿ ðàâíîé ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ à.

Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ìåðîé

ðèñêà äîõîäíîñòè ïðîåêòà ìîæåò ñëóæèòü ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îò-

êëîíåíèå.

Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà ñòàòèñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè èñ-

ïîëüçóþò âûáîðêó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

x , ãäå 1, 2, ..., ;in= n — ÷èñ-

ëî íàáëþäåíèé. Äîâîëüíî ÷àñòî ñ÷èòàþò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

ïîä÷èíåíà íîðìàëüíîìó çàêîíó. Ýòà ãèïîòåçà ìîæåò áûòü ïðîâåðå-

íà ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû è åå àíàëèçà. Íàèáîëåå ïîëíàÿ è

òî÷íàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåçû î òåîðåòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè ïðîèçâî-

äèòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà (èëè êðèòåðèÿ

).χ

Ïîäðîáíî ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ðàññìîòðåíû íàìè â ãë. 19.

Çäåñü ïðèâåäåíû î ñ í î â í û å ô î ð ì ó ë û, èñïîëüçóåìûå ïðè

ðàñ÷åòàõ.

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

∑

(20.1)

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

a ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ äîâåðè-

òåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ

1F =−α ëåæèò â äîâåðèòåëüíîì èíòåðâàëå

tS n a x tS n

αα

− ≤≤+ (20.2)

ãäå α — óðîâåíü çíà÷èìîñòè; t

— êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ, îïðåäåëÿå-

ìûé ïî òàáëèöå t-ðàñïðåäåëåíèÿ (ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà) ïî

èçâåñòíîìó

α è ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû 1nν= − ; âûáîðî÷íàÿ

äèñïåðñèÿ

()

−

∑

(20.3)

Äèñïåðñèÿ

σ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå σ ÿâëÿþòñÿ

âàæíûìè ïîêàçàòåëÿìè îöåíêè óðîâíÿ èíâåñòèöèîííûõ ðèñêîâ.

Çíà÷åíèå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè (20.3) áëèçêî ïî ñâîåé âåëè÷èíå

äèñïåðñèè

σ . Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ äèñïåðñèè è ñðåäíåêâàä-

ðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàõîäÿòñÿ ïî

ôîðìóëàì

() ()

;

nS nS

⎫

−−

⎪

≤σ ≤

⎪

⎬

−−

⎪

≤σ≤

⎪

⎭

(20.4)

330

Êîýôôèöèåíòû b è c îïðåäåëÿþòñÿ ïî χ

-ðàñïðåäåëåíèþ ñëå-

äóþùèì îáðàçîì. Çàäàþòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ F ïîïàäàíèÿ

âåëè÷èíû (20.3) â äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. Ïî òàáëèöàì äëÿ ÷èñëà

ñòåïåíåé ñâîáîäû

1nν= − è

;

FF−+

α= α=

íàõîäÿò b è c .

Ïðè îöåíêå ðèñêîâ ñëåäóåò ïðèíÿòü âî âíèìàíèå êîâàðèàöèþ

äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàññ÷èòû-

âàåòñÿ ïî ôîðìóëå

()

ij i i j j

S xxx x

=−−

∑∑

(20.5)

Åñëè ïîêàçàòåëè ñðåäíèõ îæèäàåìûõ äîõîäîâ ðàçëè÷íûõ ïðîåê-

òîâ îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé, òî ýòè ïðîåêòû ñðàâíèâàþò ïðè ïî-

ìîùè êîýôôèöèåíòà âàðèàöèè

=≈ (20.6)

Â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ áûâàþò çàäàíû âåðîÿòíîñòè

i -ãî íàáëþäåíèÿ

p . Â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû (20.1) è (20.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

xxp

∑

(20.7)

 Ïðèìåð 20.1. Èìåþòñÿ òðè ïðîåêòà ñ ïàðàìåòðàìè, ïðèâåäåííûìè â

òàáë. 20.1. Îöåíèòü ñòåïåíü ðèñêà ïî êàæäîìó èç ïðîåêòîâ.

Òàáëèöà 20.1

Ïðîåêò 1 Ïðîåêò 2 Ïðîåêò 3

Âîçìîæíîå çíà÷åíèå

êîíúþíêòóðû

èíâåñòèöèîííîãî

ðûíêà

Ðàñ÷åò-

íûé

×ÏÄ

Âåðîÿò-

íîñòü

Ðàñ÷åò-

íûé

×ÏÄ

Âåðîÿò-

íîñòü

Ðàñ÷åò-

íûé

×ÏÄ

Âåðîÿò-

íîñòü

Âûñîêîå 1200 0,25 1600 0,2 2000 0,2

Ñðåäíåå 1000 0,5 900 0,6 1200 0,7

Íèçêîå 400 0,25 200 0,2 600 0,1

Ðåøåíèå.

Äëÿ êàæäîãî èç ïðîåêòîâ íàéäåì îæèäàåìûé äîõîä è ñðåäíåå êâàäðà-

òè÷íîå îòêëîíåíèå ïî ôîðìóëàì

1200 0, 25 1000 0,5 400 0, 25 900;

1600 0, 2 900 0, 6 200 0, 2 900;

2000 0, 2 1200 0, 7 600 0,1 1300;

=⋅+⋅+⋅=

=++⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅=

()()()

222

1200 900 0, 25 1000 900 0,5 400 900 0, 25 300;S =−⋅+−⋅+−⋅=

()()()

222

1600 900 0, 2 900 900 0, 6 200 900 0, 2 443;S =−⋅+−⋅+−⋅=

()()()

222

2000 1300 0, 2 1200 1300 0, 7 600 1300 0,1 392.S =−⋅+−⋅+−⋅=

331

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñâåäåíû â òàáë. 20.2.

Òàáëèöà 20.2

Âàðèàíò

Ñðåäíèé

îæèäàåìûé äîõîä

Ñðåäíåå

êâàäðàòè÷íîå

îòêëîíåíèå

Êîýôôèöèåíò

âàðèàöèè

Ïðîåêò 1 900 300 0,33

Ïðîåêò 2 900 443 0,49

Ïðîåêò 3 1300 392 0,30

Èç ñðàâíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ïðîåêòîâ 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíèé îæèäàå-

ìûé äîõîä ïî íèì îäèíàêîâ, íî áîëåå ðèñêîâàííûì ÿâëÿåòñÿ ïðîåêò 2, òàê

êàê ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ó íåãî áîëüøå, ÷åì ó ïðîåêòà 1. Ïî-

ñêîëüêó ñðåäíèå îæèäàåìûå äîõîäû ó ïðîåêòîâ 1 è 3 ðàçëè÷íû, òî ñðàâíèâàòü

èõ ñëåäóåò ïî êîýôôèöèåíòó âàðèàöèè. Ïðîåêò 3 íàäåæíåå, òàê êàê êîýôôè-

öèåíò âàðèàöèè ó íåãî ìåíüøå. 

Îöåíêà ðèñêà ïðîåêòà äëÿ èíâåñòîðà ÿâëÿåòñÿ âàæíîé çàäà÷åé.

Îò ðèñêîâûõ ïðîåêòîâ èíâåñòîð ïîòðåáóåò áîëåå âûñîêèé äîõîä.

Ðàçíîñòü ìåæäó äîõîäíîñòüþ êîíêðåòíîãî ïðîåêòà è äîõîäíîñòüþ

áåçðèñêîâûõ èíâåñòèöèé íàçûâàåòñÿ ïðåìèåé çà ðèñê. Â êà÷åñòâå

áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ â ÑØÀ ñ÷èòàþò êàçíà÷åéñêèå âåêñåëÿ (ñì.

òàáë. 12.4).

Ñòàâêà ñðàâíåíèÿ, èñïîëüçóåìàÿ ïðè îïðåäåëåíèè êà÷åñòâà ïðî-

åêòà (ñì. § 12.4), äîâîëüíî ñèëüíî çàâèñèò îò ðèñêà. Âîçìîæíûå

çíà÷åíèÿ ñòàâêè ñðàâíåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ èíâåñòèöèé ïðè-

âåäåíû â òàáë. 12.5.

20.2. Определение коэффициента бета

Øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðè àíàëèçå õàðàêòåðèñòèê èíâåñòèöèîííî-

ãî ïðîåêòà è öåííûõ áóìàã íàøåë êîýôôèöèåíò áåòà

()

. Ýòîò êîýô-

ôèöèåíò ââîäèòñÿ êàê îäíà èç õàðàêòåðèñòèê ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã

è èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíîê ðèñêà ðàçëè÷íûõ àêòèâîâ.

Îöåíêà ýôôåêòèâíîñòè ïîðòôåëÿ ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâå ñðàâíåíèÿ

õàðàêòåðèñòèê ïîðòôåëÿ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè ðûíêà â öåëîì. Ïóñòü

âðåìåííîé èíòåðâàë, íà êîòîðîì îöåíèâàåòñÿ ýôôåêòèâíîñòü ïîðòôå-

ëÿ, ðàçáèò íà Ò ïåðèîäîâ. Íàïðèìåð, åñëè âðåìåííîé èíòåðâàë ðàâåí

÷åòûðåì ãîäàì, à ïåðèîä — êâàðòàëó, òî Ò = 16. Ñðåäíÿÿ äîõîäíîñòü

ïîðòôåëÿ çà ýòîò èíòåðâàë âðåìåíè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

∑

, (20.8)

ãäå t = 1, 2, ..., Ò — íîìåð ïåðèîäà;

— äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ çà ïå-

ðèîä t .