Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
312
()
()()
()()()
() ( ) ()
2
22
2
1
222
222
35 1, 68 0, 012 25 1, 68 0,05
15 1, 68 0,144 5 1, 68 0, 266 5 1, 68 0, 24
15 1, 68 0,176 25 1, 68 0,092 35 1,68 0,02 209, 7776;
k
jj
j
sxxp
=
=− =−−⋅+−−⋅+
+− − ⋅ +− − ⋅ + − ⋅ +
+− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =
∑
14, 48.s =
19.7. Основные статистические
распределения
Ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ íå òîëüêî èãðàþò ðîëü ýòàëîíà
ïðè îïðåäåëåíèè çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íî
è èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îöåíêè ïðàâäîïîäîáèÿ âûäâèãàåìûõ ãèïîòåç.
 ñòàòèñòèêå ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ çàêîí ðàâíîìåðíîé ïëîòíîñòè, çà-
êîí òðåóãîëüíîé ïëîòíîñòè, çàêîí Ïóàññîíà, íîðìàëüíûé çàêîí ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ. Áîëüøîå çíà÷åíèå â ñòàòèñòèêå èãðàþò òàêæå χ
2
-ðàñïðå-
äåëåíèå è t-ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà.
19.7.1. ЗАКОН РАВНОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà
ïðîìåæóòêå
[
]
,ab, åñëè åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íà ýòîì ïðîìå-
æóòêå ïîñòîÿííà, à âíå ïðîìåæóòêà ðàâíà íóëþ (ðèñ. 19.4).
1
ba−
Ðèñ. 19.4. Ðàâíîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
Òàê êàê
() () ()
1,
bb
b
a
aa
fxdx fxdx f dx fx f b a
∞
−∞
= = =⋅ =⋅ − =
∫∫ ∫
òî
1
.f
ba
=
−
313
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (19.10):
()
() ()
222
.
222
b
b
x
a
a
xdx x b a b a
тxfxdx
ba ba ba
∞
−∞
−+
=====
−− −
∫∫
Äèñïåðñèþ íàõîäèì ïî ôîðìóëå (19.15):
()
()
2
2
2
b
x
a
ba dx
Dxmfxdxx
ba
∞
−∞
+
⎛⎞
=− =− =
⎜⎟
−
⎝⎠
∫∫
()
()
2
32
1
324
b
a
ba
xx
ba x
ba
⎛⎞
+
⎜⎟
=−++ =
⎜⎟
−
⎝⎠
()
(
)
()
()
(
)
()
()
22 22
2
324
baa abb bab a
ba
ba ba
−++ +−
+
=−+=
−−
()
2
2222
444363
12 12
ab
aabbbaba
−
++−−+
==
.
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
(19.16):
.
32
ab
D
−
σ= =
(19.23)
Ïðèìåð 19.5. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà
èíòåðâàëå
[
]
0, 2 .
Îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) íà ýòîì èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë
[
]
1; 1, 5
, à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå è ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ðåøåíèå.
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íà èññëåäóåìîì èíòåðâàëå
()
1
0, 5.
20
fx==
−
Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë
[
]
1; 1, 5
() ()
1,5
1,5
1
1
1 1,5 0,5 0,5 0,5 1,5 1 0,25.P X dx x≤< = = = −=
∫
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
20
1.
22
x
ba
т
−−
===
314
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå
20 2
0, 47.
3
32 32
ab−−
σ= = = ≈
19.7.2. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ íà ïðàêòèêå çàêîí — íîðìàëü-
íûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, èëè çàêîí Ãàóññà, õàðàêòåðèçóåòñÿ ïëîò-
íîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà
()
()
2
2
2
1
e.
2
xm
fx
−
−
σ
=
πσ
(19.24)
Âû÷èñëèì îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîä-
÷èíÿþùåéñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
[]
()
2
2
2
1
e.
2
xm
M
Xxdx
−
∞
−
σ
−∞
=
πσ
∫
Ââåäåì çàìåíó
;
xm
t
−
=
σ
.dx dt=σ (19.25)
Òîãäà
[]
()
2
22
22
2ee.
2
t
tt
m
M
Xtmdttdtdt
∞∞∞
−
−−
−∞ −∞ −∞
σσ
=σ+= +
πσ π π
∫∫∫
Èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, à âòîðîé, íàçûâàå-
ìûé èíòåãðàëîì Ýéëåðà—Ïóàññîíà,
2
e.
t
dt
∞
−
−∞
=π
∫
(19.26)
Òàêèì îáðàçîì,
[
]
.
M
Xm=
Äèñïåðñèÿ
[]
()
()
2
2
2
2
1
e.
2
xm
D
Xxmdx
−
∞
−
σ
−∞
=−
πσ
∫
Èñïîëüçóÿ çàìåíó (19.25), ïîëó÷èì
[]
2
2
2
22
e.
2
t
D
Xtdt
∞
−
−∞
σ⋅ σ
=
πσ
∫
315
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàéäåì
[]
222
22
eee.
ttt
D
Xtd t dt
∞
∞∞
−−−
−∞
−∞ −∞
⎛⎞
σσ
⎛⎞
=−=−+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
π
π
⎝⎠
∫∫
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ñêîáêàõ ðàâíî íóëþ, à âòîðîå — π (ñì.
(19.26)). Îòñþäà
[]
2
.DX =σ
Òàêèì îáðàçîì, âõîäÿùèå â íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ
ïîñòîÿííûå ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, äèñïåðñèåé è
ñðåäíèì êâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì. Ðàçìåðíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ è ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ðàç-
ìåðíîñòüþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X .
Êðèâàÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó èìååò ñèììåò-
ðè÷íûé õîëìîîáðàçíûé âèä (ðèñ. 19.5).
Ðèñ. 19.5. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà îïðåäåëÿåòñÿ ñî-
îòíîøåíèåì:
()
()
2
2
2
1
e.
2
xm
x
Fx dx
−
−
σ
−∞
=
πσ
∫
Ââåäåì çàìåíó
;
xm
t
−
=
σ
.dx dt=σ Òîãäà
()
2
2
1
e.
2
xm
t
Fx dt
−
σ
−
−∞
=
π
∫
(19.27)
316
Èíòåãðàë (19.27) íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè è
íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ôóíêöèÿ
(
)
Fx òà-
áóëèðîâàíà. Èíîãäà ýòó ôóíêöèþ ïðåäñòàâëÿþò â âèäå
(
)
(
)
0, 5 Ф ,Fx x=+
ãäå
()
2
2
0
1
Фe.
2
xm
t
xdt
−
σ
−
=
π
∫
(19.28)
Ôóíêöèÿ
(
)
Ф x íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì âåðîÿòíîñòè.
Ðåøèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Îò òî÷êè
x
m= îòëîæèì îòðåçêè
äëèíîé
σ (ðèñ. 19.6).
f (x)
xm0
2m +σ
m +σ
3m +σ
Ðèñ. 19.6. Ïîÿñíåíèå «ïðàâèëà òðåõ ñèãì»
Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåð-
âàëå
;mX m<<+σ 2;mX m<<+σ 3mXm<<+σ. Èñêîìàÿ âåðîÿò-
íîñòü íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (19.28) ïðè ðàâåíñòâå âåðõíåãî ïðåäåëà
ñîîòâåòñòâåííî 1, 2 è 3. Èñïîëüçóÿ òàáëèöó äëÿ èíòåãðàëà âåðîÿò-
íîñòåé, íàõîäèì
()
2
1
2
0
1
e 0,34134;
2
t
Pm X m dt
−
<<+σ= =
π
∫
()
2
2
2
0
1
2 e 0, 47725 ;
2
t
Pm X m dt
−
<<+σ= =
π
∫
()
2
3
2
0
1
3 e 0, 49 865.
2
t
Pm X m dt
−
<<+σ= =
π
∫
317
Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë
3mX+σ< <∞ ðàâíà
(
)
3 0,5 0, 49865 0,00135.Pm X+σ< <∞= − =
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òî÷íî-
ñòüþ 2,7% âñå ðàññåèâàíèå óêëàäûâàåòñÿ íà ó÷àñòêå
3m ±σ. Ýòî
ïîçâîëÿåò, çíàÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå è ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îðèåíòèðîâî÷íî óêàçàòü èíòåðâàë
åå âîçìîæíûõ çíà÷åíèé. Òàêîé ñïîñîá îöåíêè âîçìîæíûõ çíà÷åíèé
íàçûâàåòñÿ «ïðàâèëîì òðåõ ñèãì».
Ïðèìåð 19.6. Ïðè èçìåðåíèè ðàññòîÿíèÿ âîçìîæíàÿ îøèáêà ðàñïðå-
äåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ýòîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíî 0,8 ñì.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ îò èñ-
òèííîãî íå ïðåâçîéäåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå 1,6 ñì ïðè ñëåäóþùèõ óñ-
ëîâèÿõ:
1) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îøèáêè ðàâíî 1,2 ñì (ñèñòåìàòè÷åñêàÿ
îøèáêà â ñòîðîíó çàâûøåíèÿ);
2) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íóëþ.
Ðåøåíèå.
Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ îøèáêè çàïèøåì â âèäå
()
()
2
2
20,8
1
e.
20,8
xm
fx
−
−
⋅
=
π
1. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ
1, 2m = . Òîãäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
()
()
2
2
1, 2
1,6
20,8
1,6
1
1, 6 1, 6 e .
20,8
x
PX dx
−
−
⋅
−
−<< =
π
∫
Ïóñòü
1, 2
;
0,8
x
t
−
=
0,8dx dt=
. Òîãäà
()
() ( )
22 2
0,5 0,5 3,5
22 2
3,5
111
1, 6 1, 6 e e e
222
0,5 3,5 .
tt t
P X dt dt dt
FF
−
−− −
−−∞−∞
−<< = = + =
πππ
=−−
∫∫∫
Èç òàáëèöû äëÿ ôóíêöèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ [10, ñ. 754] íà-
õîäèì
(
)
0,5 0, 69146;F =
(
)
3, 5 0, 00023F −=
.
Òîãäà
(
)
1, 6 1, 6 0, 69123.PX−<< =
318
2. Ïðè 0m = èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
()
2
2
1,6
20,8
1,6
1
1, 6 1, 6 e .
20,8
x
PX dx
−
⋅
−
−<< =
π
∫
Ââåäåì çàìåíó
;
0,8
x
t =
0,8dx dt=
. Îòñþäà
()
22
22
22
20
12
1, 6 1,6 e e 2 0, 47725 0,9545.
22
tt
P X dt dt
−−
−
−<< = = =⋅ =
ππ
∫∫
19.8. Доверительные интервалы
и доверительные пределы
Äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ïàðàìåòðà θ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X ñ óðîâíåì äîâåðèÿ ð, ïîðîæäåííûì âûáîðêîé
12
, , ...,
n
xx x, íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë ñ ãðàíèöàìè
(
)
11 2
, , ...,
n
wx x x è
(
)
21 2
, , ...,
n
wxx x, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåàëèçàöèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
(
)
11 2
, , ...,
n
WX X X
è
(
)
212
, , ..., ,
n
WXX X
òàêèõ, ÷òî
(
)
12
P
wwp≤θ≤ =
.
Ãðàíè÷íûå òî÷êè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà íàçûâàþòñÿ äîâåðè-
òåëüíûìè ïðåäåëàìè.
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîì çíà÷å-
íèè äèñïåðñèè.
Ïóñòü
12
, , ...,
n
xx x — ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ, ðàñ-
ïðåäåëåííîé íîðìàëüíî è èìåþùåé ïàðàìåòðû
a è σ . Äèñïåðñèÿ
2
σ èçâåñòíà. Ïî âûáîðêå íóæíî îïðåäåëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-
äàíèå
a .  êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îáû÷íî ïðèíèìàþò
ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå
1
1
.
n
i
i
xx
n
=
=
∑
Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå x , ÿâëÿþùååñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû Õ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàñïðåäå-
ëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè
a è nσ , ò.å.
()
()
2
2
2
1
e.
2
xa
n
fx
n
−
−
σ
=
πσ
319
Îòñþäà ìîæíî ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ çàäàííî-
ãî óðîâíÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè F, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå à. Ýòîò èíòåðâàë îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
xt n a xt n−⋅σ ≤ ≤ +⋅σ ,
ãäå t — êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ, îò êîòîðîãî çàâèñèò äîâåðèòåëüíàÿ âåðî-
ÿòíîñòü F.
Íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè îò óðîâíÿ äîâå-
ðèÿ äëÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåíû â òàáë. 19.5.
Òàáëèöà 19.5
t
0,5 1 2 3
F
0,3829 0,6827 0,9545 0,9973
Ïðèìåð 19.7. Äëÿ èçó÷åíèÿ ðàçìåðà êðåñòüÿíñêèõ õîçÿéñòâ ïðîâåäåíà
âûáîðêà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå äàííûå: îáñëåäîâàíî
100 ó÷àñòêîâ,
10xга=
. Îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, â êîòîðîì ñ
âåðîÿòíîñòüþ 0,9545 íàõîäèòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå çåìåëüíûõ ó÷àñòêîâ ïðè
äèñïåðñèè
2
16σ=
.
Ðåøåíèå.
Äëÿ òðåáóåìîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè èç òàáëèö íàõîäèì
2t = .
Òîãäà
2
2161000,8tnσ=⋅ =
. Îòñþäà íàõîäèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë:
9, 2 10, 8.a≤≤
Åñëè äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà è âûáîðêà íåâåëèêà
()
40n <
, òî äî-
âåðèòåëüíûé èíòåðâàë âû÷èñëÿþò ñ ïîìîùüþ t-ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà ïî ôîðìóëå
xt S n a xt S n
αα
− ⋅ ≤≤+ ⋅ ,
ãäå t
α
— êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ, îò êîòîðîãî çàâèñèò äîâåðèòåëüíàÿ âå-
ðîÿòíîñòü.
Ïðè ðàñ÷åòå èñïîëüçóþòñÿ òàáëèöû. Íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî
â ðàçëè÷íûõ èñòî÷íèêàõ òàáëèöû ïðåäñòàâëåíû â ðàçíîé ôîðìå.
Èíòåãðàë âåðîÿòíîñòè äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà èìååò âèä
() ()
t
t
pftdt
α
α
ν
−∞
ν=
∫
,
ãäå
(
)
ft
ν
— ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè Ñòüþäåíòà
ñ
ν ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
320
Ãðàôè÷åñêè èíòåãðàë âåðîÿòíîñòè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 19.7.
()ft
ν
()
t
p
α
ν
1()
t
p
α
−ν
t
α
Ðèñ. 19.7. Èíòåãðàë âåðîÿòíîñòè äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òàáóëèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ
(
)
t
p
α
ν äëÿ
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
t
α
è ν . Ãðàôè÷åñêè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 19.8.
()
f
t
ν
t
α
t
α
Ðèñ. 19.8. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
Çàøòðèõîâàííàÿ ïëîùàäü íà ðèñ. 19.8 ÿâëÿåòñÿ äîâåðèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòüþ
F .
Òàêèì îáðàçîì, ðàñ÷åò ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùåìó à ë ã î -
ð è ò ì ó.
1. Íàõîäÿò
x è S ïî ôîðìóëàì
1
1
n
i
i
xx
n
=
=
∑
;
()
2
2
1
1
1
n
i
i
Sxx
n
=
=−
−
∑
.
321
2. Çàäàþòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ F.
3. Ðàññ÷èòûâàþò
(
)
t
p
α
ν ïî ôîðìóëå
() ()
121 2 1.
tt
Fpp
αα
⎡⎤
=− − ν = ν−
⎣⎦
4. Ïðè èçâåñòíîì êîëè÷åñòâå ñòåïåíåé ñâîáîäû
1nν= − ïî òàá-
ëèöàì íàõîäÿò
t
α
.
5. Îïðåäåëÿþò äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû ïî ôîðìóëå
1, 2
.xxtSn
α
=± (19.29)
Èíîãäà òàáëèöû t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ïðåäñòàâëåíû â âè-
äå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.  ýòèõ òàáëèöàõ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
óðîâíÿ çíà÷èìîñòè
()
21
t
p
α
⎡⎤
α= − ν
⎣⎦
è ðàçíûõ çíà÷åíèé ñòåïåíåé ñâîáîäû
1nν= − ïðèâåäåíû äàííûå
äëÿ
t
α
.  ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷åò ïðîâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùåé ì å ò î -
äèêå.
1. Íàõîäÿò
x è S .
2. Çàäàþòñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè
α .
3. Ðàñc÷èòûâàþò
F
ïî ôîðìóëå
1.F =−α
4. Ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α è ïî èçâåñòíîìó êîëè-
÷åñòâó ñòåïåíåé ñâîáîäû
1nν= − ïî òàáëèöàì íàõîäÿò t
α
.
5. Îïðåäåëÿþò äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû.
Ïðèìåð 19.8. Äëÿ óñëîâèé ïðèìåðîâ 19.1 è 19.4 îïðåäåëèòü äîâåðè-
òåëüíûé èíòåðâàë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äëÿ äîâåðèòåëüíûõ âåðîÿòíî-
ñòåé
1
0, 95F =
è
2
0, 99F =
.
Ðåøåíèå.
 ïðèìåðå 19.4 áûëè îïðåäåëåíû
1, 6 8x =
è
14, 48S =
.
Óðîâíè çíà÷èìîñòè äëÿ ïîñòàâëåííûõ óñëîâèé:
11
1 1 0, 95 0, 05;Fα= − = − =
22
1 1 0,99 0, 01.Fα=− =− =
Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ äîâåðèÿ íàõîäèì èç òàáëèö (ñì., íàïðèìåð,
òàáëèöó â ðàáîòå [8], ñ. 626):
,1
1, 96;t
α
=
,2
2,576.t
α
=
Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì îïðåäåëÿåì äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû è èíòåðâàëû:
1)
1
0, 95 ;F =
1,2
1, 68 1, 96 14, 48 500 1, 68 1, 27;xxtSn
α
=± = ± ⋅ = ±