Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

332

Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ïîðòôåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðà-

æåíèåì:

().

pptp

σ= −

−

∑

(20.9)

Äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ ñðàâíèâàåòñÿ ñ äîõîäíîñòüþ àíàëîãîâ ðû-

íî÷íîãî ïîðòôåëÿ, íàïðèìåð ñ èíäåêñîì S&P500 (ôîíäîâûé ðû-

íî÷íûé èíäåêñ Standard&Poors 500). S&P500 íàõîäèòñÿ èç ñðåäíå-

âçâåøåííûõ êóðñîâ àêöèé 500 íàèáîëåå êðóïíûõ êîìïàíèé ÑØÀ.

Ââåäåì ñëåäóþùèå î á î ç í à ÷ å í è ÿ:

— äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ çà ïåðèîä ;t

,mt

a — äîõîäíîñòü àíàëîãà ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ çà ïåðèîä ;t

a — áåçðèñêîâàÿ ñòàâêà çà ïåðèîä ;t

,tptt

aa=−

— èçáûòî÷íàÿ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ çà ïåðèîä ;t

,tmtt

xa a=−— èçáûòî÷íàÿ äîõîäíîñòü àíàëîãà ðûíî÷íîãî ïîðò-

ôåëÿ çà ïåðèîä t.

Ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå àíàëèçà òî÷êè ìîæíî ïîñòðîèòü â

ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ãäå ïî îñè àáñöèññ

îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè àíàëîãà ðûíî÷íî-

ãî ïîðòôåëÿ x

, à ïî îñè îðäèíàò — çíà÷åíèÿ èçáûòî÷íîé äîõîäíî-

ñòè ïîðòôåëÿ

y (ðèñ. 20.2).

Ðèñ. 20.2. Ôóíêöèÿ ðåãðåññèè èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ

îò èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè àíàëîãà ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ

Ýòè äâå ïåðåìåííûå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Â òåî-

ðèè êîððåëÿöèîííî-ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà äâå òàêèå ïåðåìåííûå

ìîæíî ñâÿçàòü ñîîòíîøåíèåì

(

)

ttx

yfx=+ε, (20.10)

ãäå

(

)

fx y=



— äåòåðìèíèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ðåãðåññèè îò ;

x ε —

âîçìóùåíèå â òî÷êå

x , ÿâëÿþùååñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.

333

Îáû÷íî ñ÷èòàþò, ÷òî ôóíêöèÿ ðåãðåññèè ýôôåêòèâíîñòè ïîðò-

ôåëÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îò ýôôåêòèâíîñòè ðûíêà, ò.å.

(

)

txp t

fx y x==α+β⋅



;

tp tx

yx=α +

⋅+ε

, (20.11)

ãäå

— êîîðäèíàòà ïåðåñå÷åíèÿ ôóíêöèè ðåãðåññèè ñ îñüþ

y ;

tgβ= θ — áåòà ïîðòôåëÿ (ñì. ðèñ. 20.2).

Åñëè ïðè

α=

, à óãîë

45 ,θ=

òî õàðàêòåðèñòèêè ïîðòôåëÿ â

ñðåäíåì ñîîòâåòñòâóþò ðûíî÷íûì, à

tg45 1.β= = Êîýôôèöèåíòû

óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

;

xy x y

−⋅

β=

−

(20.12)

yxα= −β⋅

(20.13)

ãäå

;

tt tt

xy xy

∑

(20.14)

;;

yx x

∑∑

(20.15)

∑

(20.16)

×àñòî ôîðìóëó äëÿ áåòà ïîðòôåëÿ çàïèñûâàþò â âèäå

β=

, (20.17)

ãäå

,xy

— êîâàðèàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

x è

y ;

σ — äèñïåðñèÿ

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

x .

Äåéñòâèòåëüíî, èìååì

ñëåäóþùèå

òîæäåñòâà:

()()

xy t t

xxyy

σ= − −=

−

∑

()

tt t t

xy xy yx x y

=−−+⋅

−

∑

()

;

xy x y

=−⋅

−

()

222

xt tt

xx x xxx

TTT

σ= − = − + =

−−

∑∑

⎡⎤

−

⎢⎥

⎣⎦

−

334

Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â (20.12), ïîëó÷èì (20.17).

Ôóíêöèþ ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ îò áåòà ïîðòôåëÿ íàé-

äåì êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ

y ,

îïðåäåëÿåìîå âòîðûì óðàâíåíèåì (20.11):

tp txp tx

yx x=α +β⋅ +ε =α +β⋅ +ε .

Çäåñü

ε= , òàê êàê êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèè âû÷èñëÿþòñÿ ìåòî-

äîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç îïðåäåëåíèÿ èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè

ïîðòôåëÿ è èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè àíàëîãà ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ

ñëåäóåò

;

tpttp

aaaa=−=−

,tmttm

xa aa a=−=−,

ãäå

— ñðåäíÿÿ çà èññëåäóåìûé ïåðèîä äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ; a —

ñðåäíÿÿ çà èññëåäóåìûé ïåðèîä äîõîäíîñòü áåçðèñêîâîãî àêòèâà;

a — ñðåäíÿÿ çà èññëåäóåìûé ïåðèîä äîõîäíîñòü ðûíêà.

Ïîäñòàâèâ äâà ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿ â ïðåäûäóùåå è ïåðåíåñÿ

a âïðàâî, ïîëó÷èì

(

)

pp m

aaaa=α + + − β (20.18)

Ýôôåêòèâíîñòü óïðàâëåíèÿ ïîðòôåëåì ìîæåò áûòü îöåíåíà ñ

ïîìîùüþ àïîñòåðèîðíîé ðûíî÷íîé ëèíèè ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã

(Security Market Line, SML). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ SML ïîëàãàþò

α=.

Òàêîé ïîðòôåëü íàçûâàþò ýòàëîííûì. Äîõîäíîñòü ýòàëîííîãî

ïîðòôåëÿ ëèíåéíûì îáðàçîì çàâèñèò îò êîýôôèöèåíòà áåòà:

(

)

эт m

aaaa=+ −

, (20.19)

ãäå

эт

a — ñðåäíÿÿ çà èññëåäóåìûé ïåðèîä äîõîäíîñòü ýòàëîííîãî

ïîðòôåëÿ.

Âèä àïîñòåðèîðíîé SML ïîêàçàí íà ðèñ. 20.3.

эт

Ðèñ. 20.3. Àïîñòåðèîðíàÿ

ðûíî÷íàÿ ëèíèÿ ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã (SML)

335

Òàêèì îáðàçîì, äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíê-

öèåé îò áåòà. Ïðè óâåëè÷åíèè áåòà äîõîäíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ. Ñ äðó-

ãîé ñòîðîíû, èçâåñòíî, ÷òî äîõîäíîñòü àêòèâà óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè

óâåëè÷åíèè ðèñêà. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò áåòà ìîæíî òðàêòîâàòü

êàê ïîêàçàòåëü ðèñêà. Ñðåäíÿÿ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ ðàâíà ñðåäíåé

äîõîäíîñòè ðûíêà ïðè

β=β = . Îáû÷íî ñ÷èòàþò, ÷òî ïðè

óðîâåíü ðèñêà ñðåäíèé, ïðè

— íèçêèé, ïðè

— âûñîêèé.

Îäíîé èç ìåð ýôôåêòèâíîñòè óïðàâëåíèÿ ïîðòôåëåì ÿâëÿåòñÿ

ðàçíîñòü ìåæäó ñðåäíåé äîõîäíîñòüþ ïîðòôåëÿ

(20.18) è äîõîä-

íîñòüþ ýòàëîííîãî ïîðòôåëÿ

эт

a (20.19):

ppэт

aaα= − (20.20)

Âåëè÷èíà

íàçûâàåòñÿ àïîñòåðèîðíîé àëüôà.

Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ðåãðåññèè ïîðòôåëÿ è îïðåäåëåíèå ðàçíî-

ñòè ìåæäó ñðåäíåé äîõîäíîñòüþ ïîðòôåëÿ è äîõîäíîñòüþ ýòàëîííî-

ãî ïîðòôåëÿ α

ïðîâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó:

• ñîñòàâëÿþò òàáëèöû ïåðèîäè÷åñêèõ äîõîäíîñòåé èññëåäóåìî-

ãî ïîðòôåëÿ, ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ è áåçðèñêîâîãî àêòèâà;

• îïðåäåëÿþò áåòà è àëüôà ïîðòôåëÿ;

• ñòðîÿò ôóíêöèþ ðåãðåññèè ïîðòôåëÿ;

• îïðåäåëÿþò ðàçíîñòü ìåæäó ñðåäíåé äîõîäíîñòüþ ïîðòôåëÿ

è äîõîäíîñòüþ ýòàëîííîãî ïîðòôåëÿ.

 Ïðèìåð 20.2. Â òàáë. 20.3 ïðèâåäåíû ïåðèîäè÷åñêèå çíà÷åíèÿ äîõîä-

íîñòåé çà êâàðòàë â ïðîöåíòàõ èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ, ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ

è áåçðèñêîâîãî àêòèâà çà 16 êâàðòàëîâ (4 ãîäà) [44].

Îïðåäåëèòü áåòà è àëüôà ïîðòôåëÿ è ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðåãðåññèè

ïîðòôåëÿ.

Òàáëèöà 20.3

Êâàðòàë 1-é 2-é 3-é 4-é 5-é 6-é 7-é 8-é 9-é

Èññëåäóåìûé

ïîðòôåëü,

–8,77 –6,03 14,14 24,96 3,71 10,65 –0,22 0,27 –3,08

Ðûíî÷íûé

ïîðòôåëü,

,mt

–5,86 –2,94 13,77 14,82 11,91 11,55 –0,78 0,02 –2,52

Áåçðèñêîâûé àêòèâ,

2,97 3,06 2,85 1,88 1,9 2 2,22 2,11 2,16

Êâàðòàë 10-é 11-é 12-é 13-é 14-é 15-é 16-é Èòîãî

Èññëåäóåìûé

ïîðòôåëü,

–6,72 8,58 1,15 7,87 5,92 –3,1 13,61 62,94

Ðûíî÷íûé ïîðò-

ôåëü,

,mt

–1,85 8,73 1,63 10,82 7,24 –2,78 14,36 78,12

Áåçðèñêîâûé àêòèâ,

2,34 2,44 2,4 1,89 1,94 1,72 1,75 35,63

336

Ðåøåíèå.

Ñðåäíèå äîõîäíîñòè çà êâàðòàë èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ, ðûíî÷íîãî

ïîðòôåëÿ è áåçðèñêîâîãî àêòèâà:

162,94

3, 93%

ppt

===

∑

;

178,12

4,88%

mmt

===

∑

;

135,63

2, 23%

===

∑

Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (20.19), ïîëó÷èì âûðàæå-

íèå äëÿ äîõîäíîñòè ýòàëîííîãî ïîðòôåëÿ îò êîýôôèöèåíòà áåòà, ò.å. âûðà-

æåíèå äëÿ àïîñòåðèîðíîé SML:

2, 23 2, 65

эт

a =+β

Ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 20.4.

4,88

а =

3, 93

а =

2, 23а =

0, 95

аα+ =

2, 23 2, 65

эт

а =+β

Ðèñ. 20.4. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé äîõîäíîñòåé ýòàëîííîãî ïîðòôåëÿ

è èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ îò êîýôôèöèåíòà áåòà

Ñðåäíÿÿ èçáûòî÷íàÿ äîõîäíîñòü çà êâàðòàë èññëåäóåìîãî è ðûíî÷íîãî

ïîðòôåëåé ðàâíà

()

1, 7 % ;

pt t p

yaaaa

=−=−=

∑

()

2,65%.

mt t m

xaaaa

=−=−=

∑

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà

tt t t

xy x y ïðèâåäåíû â òàáë. 20.4.

337

Òàáëèöà 20.4

Êâàðòàë

aa=−

,tmtt

xa a=−

1-é –11,74 –8,83 137,83 77,97 103,66

2-é –9,09 –6 82,63 36 54,54

3-é 11,29 10,92 127,46 119,25 123,29

4-é 23,08 12,94 532,69 167,44 298,66

5-é 1,81 10,01 3,28 100,2 18,12

6-é 8,65 9,55 74,82 91,2 82,61

7-é –2,44 –3 5,95 9 7,32

8-é –1,84 –2,09 3,39 4,37 3,85

9-é –5,24 –4,68 27,46 21,9 24,52

10-é –9,06 –4,19 82,08 17,56 37,96

11-é 6,14 6,29 37,7 39,56 38,62

12-é –1,25 –0,77 1,56 0,59 0,96

13-é 5,98 8,93 35,76 79,74 53,4

14-é 3,98 5,3 15,84 28,09 21,09

15-é –4,82 –4,5 23,23 20,25 21,69

16-é 11,86 12,61 140,66 159,01 149,55

Èòîãî 27,31 42,49 1332,34 972,13 1039,84

Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòàìè, ïðèâåäåííûìè â òàáë. 20.4, ïîëó÷èì

1039,84 972,13

64,99; 60, 76

16 16

tt t

xy x== ==

Êîâàðèàöèÿ ðûíî÷íîãî è èññëåäóåìîãî ïîðòôåëåé

()

64,99 2,65 1,7 64,52.

115

xy t t

xy x y

⎡⎤

σ= −⋅= − ⋅ =

⎣⎦

−

Äèñïåðñèÿ ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ

(

)

222 2

60,76 2, 65 57,32.

115

⎡⎤

σ= − = − =

⎢⎥

⎣⎦

−

Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (20.17), ïîëó÷èì çíà÷åíèå áåòà èññëåäóåìîãî

ïîðòôåëÿ:

64, 49

1,126.

57,32

β= =

Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíÿÿ áåòà ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ ðàâíà åäèíèöå. Ïî-

ñêîëüêó ñðåäíÿÿ áåòà èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ áîëüøå ñðåäíåãî áåòà ðûíî÷-

íîãî ïîðòôåëÿ, òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ìåíåäæåð èññëåäóåìîãî ïîðò-

ôåëÿ áûë îòíîñèòåëüíî àãðåññèâåí.

Àëüôà ïîðòôåëÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå (20.13):

1, 7 1, 1 2 6 2, 65 1, 2 8

yxα= −β= − ⋅ =−

338

Òàê êàê àëüôà ïîðòôåëÿ îòðèöàòåëüíà, ò.å. äîõîäíîñòü èññëåäóåìîãî

ïîðòôåëÿ íèæå äîõîäíîñòè ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ, òî óïðàâëåíèå äàííûì

ïîðòôåëåì ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåýôôåêòèâíîå.

Ôóíêöèþ äîõîäíîñòè èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ îò êîýôôèöèåíòà áåòà

íàéäåì, ïîäñòàâèâ â (20.18) ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ:

(

)

1, 28 2, 23 4, 88 2, 23 0, 95 2, 65 .

a =− + + − β= + ⋅β

Çàâèñèìîñòü äîõîäíîñòè èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ îò áåòà ïîðòôåëÿ ñì. íà

ðèñ. 20.4.

Ôóíêöèþ ðåãðåññèè ïîðòôåëÿ íàéäåì, ïîäñòàâèâ â (20.11) çíà÷åíèÿ äëÿ

àëüôà è áåòà ïîðòôåëåé:

1, 28 1,126 .

x=− +



Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 20.5.



Ðèñ. 20.5. Ôóíêöèÿ ðåãðåññèè 

20.3. Оценка качества

регрессионной модели

Ïîñòðîåííàÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü íóæäàåòñÿ â ïðîâåðêå åå ñî-

îòâåòñòâèÿ ðåàëüíûì ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì. Ïðè îöåíêå êà÷åñòâà

ôóíêöèè ðåãðåññèè ïðîâåðÿåòñÿ çíà÷èìîñòü êîýôôèöèåíòîâ óðàâ-

íåíèÿ, ñòåïåíü òåñíîòû âçàèìîñâÿçè èññëåäóåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí

x è

y , êà÷åñòâî ïîäáîðà ôîðìû êðèâîé. Â îáùåì âèäå ôóíê-

öèÿ

(

)

fx y=



ìîæåò èìåòü ñàìûé ðàçëè÷íûé âèä. Â íàøåì ñëó÷àå

â êà÷åñòâå ýòîé ôóíêöèè âûáðàíà ïðÿìàÿ ëèíèÿ (20.11).

Çíà÷èìîñòü êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè

αβ

ïðîâåðÿåòñÿ ïî

t-êðèòåðèþ Ñòüþäåíòà. Ýòè êîýôôèöèåíòû ïðèçíàþòñÿ çíà÷èìûìè

ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ, åñëè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

339

;tt

,tt

(20.21)

ãäå

;

αβ

σσ

; (20.22)

()

OCT OCT

;;

αβ

σσ

σ= σ=

−

∑

(20.23)

()

OCT

σ= −

−

∑



(20.24)

Çíà÷åíèå

t âûáèðàåòñÿ èç òàáëèöû t-êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ äî-

âåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè

1F =−α è ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû Ò – 2,

ãäå Ò — îáúåì âûáîðêè. Ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà (20.21) êî-

ýôôèöèåíò ñ÷èòàåòñÿ çíà÷èìûì ñ âåðîÿòíîñòüþ F. Çäåñü

— óðî-

âåíü çíà÷èìîñòè.

Òåñíîòó âçàèìîñâÿçè

x è

y ïðîâåðÿþò ïðè ïîìîùè êîýôôè-

öèåíòà êîððåëÿöèè

22 22

xy x y

xx yy

−⋅

σσ

−⋅ −

(20.25)

ãäå

()

222

;

xt t

yt t

xx x x

yy y y

⎫

⎡⎤

σ− − = −

⎪

⎢⎥

⎣⎦

−−

⎪

⎬

⎪

⎡⎤

σ= − = −

⎪

⎢⎥

⎣⎦

−−

⎭

∑

(20.26)

Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ëåæèò â ïðåäåëàõ

11r−≤ ≤ . Ïðè çíà-

÷åíèè êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, áëèçêîì ê åäèíèöå èëè ìèíóñ

åäèíèöå, ñâÿçü ñèëüíàÿ, ïðè çíà÷åíèè, áëèçêîì ê íóëþ, — ñëàáàÿ.

Çíà÷èìîñòü êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿò-

íîñòüþ

1F =−α îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ t-êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà ïî

ôîðìóëå

tt> , (20.27)

ãäå

−

; êîëè÷åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî Ò – 2.

Çíà÷åíèå r

íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äåòåðìèíàöèè. ×åì

áîëüøå r

, òåì ëó÷øå âûáðàííàÿ ôóíêöèÿ àïïðîêñèìèðóåò ôàêòè-

÷åñêèå äàííûå. Â íàøåì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè ïîêà-

340

çûâàåò òó ÷àñòü èçìåíåíèé èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè èññëåäóåìîãî

ïîðòôåëÿ çà çàäàííûé èíòåðâàë âðåìåíè, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ èçìå-

íåíèÿìè èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ.

Êîýôôèöèåíò íåîïðåäåëåííîñòè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

1.hr=− (20.28)

Êîýôôèöèåíò íåîïðåäåëåííîñòè ïîêàçûâàåò ÷àñòü èçìåíåíèé

èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè èññëåäóåìîãî ïîðòôåëÿ, êîòîðàÿ íå ñâÿçàíà

ñ èçìåíåíèÿìè èçáûòî÷íîé äîõîäíîñòè ðûíî÷íîãî ïîðòôåëÿ.

Êà÷åñòâî ïîäáîðà ôîðìû êðèâîé îöåíèâàåòñÿ ïî êðèòåðèþ Äàð-

áèíà—Óîòñîíà. Äëÿ ýòîãî ïðîâîäèòñÿ àíàëèç îñòàòêîâ

ttx

yyε= −



(20.29)

Åñëè ìîäåëü ôóíêöèè ðåãðåññèè àäåêâàòíà ôîðìå ïîäîáðàííîé

êðèâîé, òî ñîñåäíèå çíà÷åíèÿ îñòàòêîâ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà.

Ýòà íåçàâèñèìîñòü ïðîâåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Äàðáèíà—Óîò-

ñîíà:

21 .

−

⎛⎞

εε

⎜⎟

=⋅ −

⎜⎟

⎝⎠

∑

(20.30)

Ïî òàáëèöå Äàðáèíà—Óîòñîíà äëÿ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âå-

ðîÿòíîñòè

1F =−α îïðåäåëÿþò êðèòè÷åñêèå ãðàíèöû, ïîçâîëÿþ-

ùèå âûíåñòè ñóæäåíèå î íàëè÷èè àâòîêîððåëÿöèè (ðèñ. 20.6).

Çàäàâøèñü óðîâíåì çíà÷èìîñòè α è çíàÿ êîëè÷åñòâî êîìáèíà-

öèé Ò, íàõîäÿò èç òàáëèöû çíà÷åíèÿ

dd.

4 d

−

d−

Ðèñ. 20.6. Ãðàíèöû Äàðáèíà—Óîòñîíà, ïîçâîëÿþùèå âûíåñòè ñóæäåíèå

î íàëè÷èè àâòîêîððåëÿöèè

Ïðè 4

dd d<<− àâòîêîððåëÿöèÿ îñòàòêîâ îòñóòñòâóåò. Ïðè

dd< è 4

dd>− àâòîêîððåëÿöèÿ èìååò ìåñòî. Åñëè îáíàðóæåíà

ñóùåñòâåííàÿ àâòîêîððåëÿöèÿ îñòàòêîâ, òî ñëåäóåò ïåðåñìîòðåòü

ôîðìó âûáðàííîé êðèâîé.

 Ïðèìåð 20.3. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðà 20.2, ïðîâåðèòü ïîëó÷åííûå

â ýòîì ïðèìåðå ðåçóëüòàòû íà àäåêâàòíîñòü ðåàëüíûì ñòàòèñòè÷åñêèì äàí-

íûì, ðàññ÷èòàòü êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè, äåòåðìèíàöèè è íåîïðåäåëåí-

íîñòè.

Ðåøåíèå.

Ðàñ÷åò ïðåäñòàâëåí â òàáë. 20.5.

341

Òàáëèöà 20.5

Êâàðòàë

()

x−

1xx−

εε

1-é –0,52 0,27 131,79 —

2-é –1,05 1,1 74,82 0,55

3-é 0,27 0,07 68,39 –0,28

4-é 9,79 95,84 105,88 2,64

5-é –8,18 66,91 54,17 –80,08

6-é –0,82 0,67 47,61 6,71

7-é 2,22 4,93 31,92 –1,82

8-é 1,79 3,2 22,47 3,97

9-é 1,31 1,72 53,73 2,34

10-é –3,06 9,36 46,79 –4,01

11-é 0,34 0,12 13,25 –1,42

12-é –0,89 0,79 11,7 0,3

13-é –2,8 7,84 39,44 –2,49

14-é –0,71 0,5 7,02 1,99

15-é 1,53 2,34 51,12 –1,09

16-é –1,06 1,12 99,2 –1,62

Èòîãî –0,06 196,78 859,3 –73,93

Ïî ôîðìóëàì (20.24), (20.23) è (20.22) íàõîäèì

OCT

197,36 3, 75 3, 75

3, 75; 0,94; 0,128

16 859,3

αβ

σ= = σ= = σ= =

;

1, 28 1,126

1, 36; 8, 8 .

0,94 0,128

αβ

== = =

Èç òàáëèöû t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû

16 2 14ν= − =

èìååì ïðè

1, 3t =

0,89F =

è ïðè

6, 6t = 0,99999.F =

Òà-

êèì îáðàçîì, êàê ñëåäóåò èç (20.21), êîýôôèöèåíò

ïðèíèìàåòñÿ çíà÷è-

ìûì ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,89, à êîýôôèöèåíò

— ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,99999.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ïî ôîðìóëå (20.25) íàéäåì

äèñïåðñèè (èñõîäíûå äàííûå ïðèâåäåíû â òàáë. 20.4):

(

)

60,76 2,65 57, 32; 7,57;

16 1332,34

1, 7 85,74; 9, 26.

15 16

σ= − = σ=

⎛⎞

σ= − = σ=

⎜⎟

⎝⎠

Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ è

,xy

, ðàññ÷èòàííîå â ïðèìåðå 20.2,

â (20.25), ïîëó÷èì

64,52

0,92.

7,57 9, 26

r ==

⋅