Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

352

âðåìåíè. Äàííûå ïî ýêîíîìè÷åñêèì ïîêàçàòåëÿì â ðàçëè÷íûå ïå-

ðèîäû âðåìåíè ÿâëÿþòñÿ äèíàìè÷åñêèì ðÿäîì, ò.å. ñîâîêóïíîñòüþ n

çíà÷åíèé íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà y, îïðåäåëÿåìîãî â ðàçëè÷íûå ìî-

ìåíòû âðåìåíè t. Äèíàìè÷åñêèé ðÿä ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

(

)

yft=+ε, (21.2)

ãäå

()

ft y= — äåòåðìèíèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè (òðåíä);

ε —

ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ äåéñòâèåì ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.

Òàê êàê êàæäîå çíà÷åíèå

y ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òî

çíà÷åíèå

()ft â òî÷êå t ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ýòîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Ïîñòðîèòü òðåíäîâóþ ìîäåëü ÿâëåíèÿ (ðèñ. 21.2) — ýòî çíà÷èò

íàéòè äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ

y è õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àé-

íûõ îòêëîíåíèé îò íåå, ïîçâîëÿþùèå îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûé

èíòåðâàë, â ãðàíèöàõ êîòîðîãî ñ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíî-

ñòüþ äîëæíà íàõîäèòüñÿ ïðîãíîçèðóåìàÿ âåëè÷èíà.

Ðèñ. 21.2. Òðåíäîâàÿ ìîäåëü

Ïðè ïîñòðîåíèè òðåíäîâîé ìîäåëè ïðåæäå âñåãî âûáèðàþò ôîð-

ìó êðèâîé òðåíäà, çàòåì ïîäáèðàþò ïàðàìåòðû ýòîé êðèâîé ïî êàêî-

ìó-ëèáî êðèòåðèþ îïòèìàëüíîñòè è, íàêîíåö, ïî ñîâîêóïíîñòè êðè-

òåðèåâ îöåíèâàþò êà÷åñòâî ïîäîáðàííîé êðèâîé.

Â êà÷åñòâå òðåíäà èñïîëüçóþò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, ïàðàáîëó,

ìíîãî÷ëåí n-é ñòåïåíè, ãèïåðáîëó, ýêñïîíåíòó, ëîãàðèôìè÷åñêóþ

ôóíêöèþ è äð. ×àùå âñåãî ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöè-

åé. Ïðè îïèñàíèè ìîäåëè íåëèíåéíîé ôóíêöèåé ñèñòåìà óðàâíå-

íèé äëÿ ðàñ÷åòà ïàðàìåòðîâ êðèâîé ìîæåò îêàçàòüñÿ äîñòàòî÷íî

ñëîæíîé. Ïîýòîìó èíîãäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ íåëèíåéíîé

ôóíêöèè åå ïðèâîäÿò ê ëèíåéíîìó âèäó.

Ñåçîííûì òðåíäîì íàçûâàþò ïåðèîäè÷åñêèå èçìåíåíèÿ ïîêàçàòå-

ëÿ, ñâÿçàííûå, íàïðèìåð, ñ ñåçîííûìè èçìåíåíèÿìè ñïðîñà (îäåæäà,

îáóâü).

353

Ñìåøàííûì ñåçîííûì òðåíäîì íàçûâàþò êîìáèíàöèþ èç ñåçîííî-

ãî è ëþáîãî äðóãîãî ðàññìîòðåííîãî òðåíäà, íàïðèìåð ëèíåéíîãî.

Òðåíäû ðàçëè÷àþò òàêæå ï î ò è ï ó.

Àääèòèâíûì òðåíäîì íàçûâàþò âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü, â êîòî-

ðîé çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà îòêëîíÿþòñÿ â ïîëîæèòåëüíóþ è îòðèöà-

òåëüíóþ ñòîðîíû îò òðåíäà â ñðåäíåì íà îäíó è òó æå âåëè÷èíó.

Ìóëüòèïëèêàòèâíûì òðåíäîì íàçûâàþò âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü,

â êîòîðîé çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà îòêëîíÿþòñÿ â ïîëîæèòåëüíóþ è îò-

ðèöàòåëüíóþ ñòîðîíû îò òðåíäà â ñðåäíåì íà îäèíàêîâûé ïðîöåíò.

21.4.1. КРАТКОСРОЧНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Ïðè êðàòêîñðî÷íîì ïðîãíîçèðîâàíèè ìîäåëü ïðîöåññà (20.2)

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

yaat=++ε (21.3)

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ìåòîäîâ êðàòêîñðî÷íîãî ïðîã-

íîçèðîâàíèÿ [12].

 Ìåòîä Õîëòà îñíîâàí íà îöåíêå ñòåïåíè ëèíåéíîãî ðîñòà

èëè ïàäåíèÿ èññëåäóåìîãî ïîêàçàòåëÿ âî âðåìåíè. Åñëè ïðîãíîç

âû÷èñëÿåòñÿ íà

l ïåðèîäîâ âïåðåä ( tl+ — ãîðèçîíò ïðîãíîçèðîâà-

íèÿ), òî åãî çíà÷åíèå ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíî ïî ôîðìóëå

tl t t

yyal

=+ , (21.4)

ãäå

— òåêóùåå ýêñïîíåíöèàëüíî âçâåøåííîå ñðåäíåå èññëåäóåìîãî

ïîêàçàòåëÿ, îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèÿìè:

(1 )( )

tt tt

yAy Ay a

−−

=+− +

; (21.5)

()(1)

ttt t

aByy Ba

−−

=−+−

, (21.6)

ãäå

— çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ òåêóùåãî ïåðèîäà; À è Â — êîýôôèöèåí-

òû, ëåæàùèå â ïðåäåëàõ îò íóëÿ äî åäèíèöû (ñì. (21.8) è òàáë. 21.6);

— êîýôôèöèåíò, ïî êîòîðîìó îöåíèâàåòñÿ ñòåïåíü ðîñòà êîýôôè-

öèåíòà

a .

 Ìåòîä Õîëòà ñ ìîäèôèêàöèÿìè Ìóèðà îïèñûâàåò âû÷èñëåíèå

ïðîãíîçà íà äîñòàòî÷íî áîëüøîé èíòåðâàë âðåìåíè

l (òåîðåòè÷åñêè — íà

áåñêîíå÷íî áîëüøîé). Â ýòîì ñëó÷àå (21.4) è (21.5) ïðèîáðåòàþò âèä

tl t t

yya l

⎛⎞

=+ +−

⎜⎟

⎝⎠

(1 )

tt t

yAy Ay

−

=+− ,

ãäå

a âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (21.6).

 Ìåòîä äâîéíîãî ñãëàæèâàíèÿ Áðàóíà îñíîâàí íà äîêàçàííîì

Áðàóíîì ïîëîæåíèè, ÷òî â óñëîâèÿõ ëèíåéíîãî òðåíäà ïðîñòîå ýêñ-

354

ïîíåíöèàëüíî âçâåøåííîå ñðåäíåå (21.1) âñåãäà ìåíüøå ëèíåéíîãî

òðåíäà íà âåëè÷èíó

−α

Ïðîãíîç ïî ýòîìó ìåòîäó íà ìîìåíò âðåìåíè

tl+ îïðåäåëÿåòñÿ

ôîðìóëàìè

2();

tl t t t t

yy yyl

=−+ −

−α



(1 ) .

tt t

yy y

−

=α + −α



Äëÿ ïðîãíîçà íà îäèí ïåðèîä (

1l = ) èìååì

(2 )

−α −

−α



 Ìåòîä Áîêñà—Äæåíêèíñà, çàèìñòâîâàííûé èç òåîðèè óïðàâ-

ëåíèÿ, îïðåäåëÿåò ïðîãíîçèðóåìóþ âåëè÷èíó ôîðìóëîé

()

11 10 1tt tt t j

−∞

−− −

=+γε−ε+γε+γε

∑

, (21.7)

ãäå

;

ttt

yyε= − γ— èíòåãðàëüíûé êîýôôèöèåíò óïðàâëåíèÿ;

1−

γ —

äèôôåðåíöèàëüíûé êîýôôèöèåíò óïðàâëåíèÿ (îáû÷íî ïðèíèìàþò

−

γ=);

γ — ïðîïîðöèîíàëüíûé ïîêàçàòåëþ êîýôôèöèåíò óïðàâ-

ëåíèÿ.

 Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìåòîäû Õîëòà, Áðàóíà è Áîêñà—Äæåí-

êèíñà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè áîëåå îáùåé ìîäåëè Âàðäà. Âñå

êîýôôèöèåíòû ýòèõ ìîäåëåé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè

(

)

2A =γ =α −α

;

−α

;

.γ=α (21.8)

Ýòà ñâÿçü ïðåäñòàâëåíà òàêæå â òàáë. 21.6.

Òàáëèöà 21.6

0,05 0,1 0,2 0,3

A =γ

0,098 0,19 0,35 0,51

0,026 0,052 0,111 0,176

0,0025 0,01 0,04 0,09

1−

0 0 0 0

21.4.2. СРЕДНЕСРОЧНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Îäíèì èç íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåìûõ ìåòîäîâ äëÿ ðàñ÷åòà ïà-

ðàìåòðîâ òðåíäà ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ðàññìîòðèì

ñëó÷àé ëèíåéíîé ôóíêöèè òðåíäà, ò.å.

(

)

() .

tytaat==+

355

Ïàðàìåòðû

a è

a âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

;

nt y y t

nt t

ayat

⎧

−⋅

⎪

⎨

−

⎪

=−

⎩

∑

ãäå

;

∑∑

Èíîãäà ýòè ôîðìóëû çàïèñûâàþò â âèäå

(1 )

;

112

(1 )

nny

ay a

⎧

−

⎪

=⋅

⎪

−

⎨

⎪

=−

⎪

⎩

∑

 Ïðèìåð 21.4. Â òàáë. 21.7 ïðèâåäåíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ýêîíîìè÷å-

ñêîãî ïàðàìåòðà çà äåíü. Ïîäîáðàòü òðåíä è ðàññ÷èòàòü åãî ïàðàìåòðû.

Òàáëèöà 21.7 (íà÷àëî)

Äåíü, t

Öåíà,

t⋅

1-é 1,5 1,5 1,29545 0,20455 0,04184

2-é 1,75 3,5 1,8409 –0,0909 0,00826

3-é 2,25 6,75 2,38635 –0,13635 0,01859

4-é 2,75 11 2,9318 –0,1818 0,03305

5-é 3,5 17,5 3,47725 0,02275 0,00052

6-é 4 24 4,0227 –0,0277 0,00052

7-é 4,75 33,25 4,56815 0,18185 0,03307

8-é 5,25 42 5,1136 0,1364 0,0186

9-é 5,75 51,75 5,65905 0,009095 0,00827

10-é 6 60 6,2045 0,2045 0,04182

Èòîãî 37,5 251,25 0,20454

Ðåøåíèå.

Àíàëèç ïðèâåäåííîãî äèíàìè÷åñêîãî ðÿäà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýêñïåðèìåí-

òàëüíûå òî÷êè ðÿäà ãðóïïèðóþòñÿ áëèçêî îò ïðÿìîé ëèíèè, ïîýòîìó â êà-

÷åñòâå òðåíäà èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå

yaat=+

356

Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî ðåçóëüòàòàì

ðàñ÷åòîâ, ïðèâåäåííûì â òàáë. 21.7, â êîòîðîé ïðèâåäåíû òàêæå çíà÷åíèÿ

òðåíäà â èññëåäóåìûõ òî÷êàõ

y , çíà÷åíèÿ îñòàòêîâ ˆ

ttt

yε= −

è êâàäðàò

îñòàòêîâ, êîòîðûå ïîòðåáóþòñÿ ïðè ïðîâåäåíèè ïîñëåäóþùèõ ðàñ÷åòîâ:

37,5

3, 75;

===

∑

( 1) 110

3, 75 251,25

0,54545;

12 1

(1) 1011 5,57

nn y

−−

=⋅ =⋅ =

+⋅−

−

∑

3, 75 5 ,5 0, 54545 0, 75.

ay a

=− = − ⋅ =

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå òðåíäà ýêîíîìè÷åñêîãî ïàðàìåòðà èìååò âèä

0,75 0,54545 .

t=+



 (21.9)

Ïðè îöåíêå êà÷åñòâà òðåíäà ïðîâåðÿåòñÿ çíà÷èìîñòü êîýôôèöè-

åíòîâ óðàâíåíèÿ, ñòåïåíü òåñíîòû âçàèìîñâÿçè y è t, êà÷åñòâî ïîä-

áîðà ôîðìû êðèâîé. Àíàëîãè÷íûé àíàëèç áûë ïðîâåäåí äëÿ ñëó÷àÿ

ðåãðåññèîííîé ìîäåëè â § 20.3.

Äëÿ ïðèíÿòûõ çäåñü îáîçíà÷åíèé êîýôôèöèåíò

a óðàâíåíèÿ

()

yft= ñ÷èòàåòñÿ çíà÷èìûì, åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò t-êðèòåðèþ

Ñòüþäåíòà, ò.å.

> ,

ãäå ;

ai i ai ai

taS S= — ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå äëÿ êîýôôè-

öèåíòà

a .

Çíà÷åíèå t

âûáèðàåòñÿ èç òàáëèöû t-êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ

äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè

1F =−α è ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû

nm− , ãäå m — êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ.

Äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè òðåíäà

22 2

()

;; ,

()

OCT OCT t

a a OCT

SS S

−

== =

−

∑



ãäå n – 2 — ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.

Îòñþäà ñëåäóåò

()

OCT

Stt

−

∑

357

 Ïðèìåð 21.5. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðà 21.4, îïðåäåëèòü çíà÷èìîñòü

êîýôôèöèåíòîâ òðåíäà.

Ðåøåíèå.

Ïðîäîëæèì òàáë. 21.7, âíåñÿ òóäà äàííûå äëÿ

;;

tt y y−−

()();();();

tt t tt

ttyy yy yy

−

−− − − εε



Îêîí÷àíèå òàáë. 21.7

Äåíü, t

tt−

y−

()

−×

×−

()

yy−

()

yy−

1tt−

εε

1-é –4,5 –2,25 10,125 5,0625 6,025

2-é –3,5 –2 7 4 3,645 –0,0186

3-é –2,5 –1,5 3,75 2,25 1,86 0,0124

4-é –1,5 –1 1,5 1 0,669 0,0248

5-é –0,5 –0,25 0,125 0,0625 0,074 –0,0041

6-é 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,074 –0,005

7-é 1,5 1 1,5 1 0,669 –0,0041

8-é 2,5 1,5 3,75 2,25 1,86 0,0249

9-é 3,5 2 7 4 3,645 0,0012

10-é 4,5 2,25 10,125 5,0625 6,025 0,0186

Èòîãî 45,0 24,75 24,546 0,0546

Èñïîëüçóÿ äàííûå òàáë. 21.7, ïîëó÷èì

0, 20454

0,0255675; 0,1599;

2102

OCT OCT

== = =

−−

∑

0, 75

14,83.

0,1599 10

OCT

== =

Îïðåäåëèì

22 2 2

111

(1)(21)

() 2

nnn

ttt

nn n

tt t t tnt nt

===

−= − + = − =

∑∑∑

(1)21 1 (1)4233 (1) 1 ( 1)

232 2 6 26 12

nn n n nn n n nn n nn+++ ++−− +− −

⎛⎞

=−=⋅=⋅=

⎜⎟

⎝⎠

Òîãäà

0,54545

30,98.

10 99

(1)

0,1599

OCT

===

⋅

−

Äëÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû n – 2 = 8, äëÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè

F = 0,99 (óðîâåíü çíà÷èìîñòè

0, 01α= ) ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþ-

äåíòà íàõîäèì

0,01

3, 36.t =

Îòêóäà

0,01ai

tt>

, ò.å. êîýôôèöèåíòû óðàâíå-

íèÿ òðåíäà çíà÷èìû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,99. 

358

Òåñíîòó âçàèìîñâÿçè y è t äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè ïðîâåðÿþò ïðè

ïîìîùè êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè r, à â îáùåì ñëó÷àå — ïðè ïî-

ìîùè èíäåêñà êîððåëÿöèè R. Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿ-

öèè èñïîëüçóåòñÿ â ðåãðåññèîííîì àíàëèçå ïðè èññëåäîâàíèè âçàè-

ìîñâÿçåé ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Â íàøåì ñëó÷àå îäíîé èç

âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, ïðèíèìàþùåå öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ

t = 1, 2, ..., n è íå ÿâëÿþùååñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Îäíàêî àïïà-

ðàò êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñòåïåíü òåñíîòû

âçàèìîñâÿçè ìåæäó èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è âðåìåíåì,

÷òî èñïîëüçóåòñÿ ìíîãèìè àâòîðàìè ïðè ïðîâåäåíèè àíàëèçà ýòîé

âçàèìîñâÿçè, íàïðèìåð â [35].

Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

()( )

() ( )

tty y

tt y y

−−

−⋅ −

∑

∑∑

(21.10)

Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ëåæèò â ïðåäåëàõ

11r−≤ ≤ . Ïðè çíà-

÷åíèè êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, áëèçêîì ê íóëþ, ñâÿçü ñëàáàÿ,

à ê

1±

— ñèëüíàÿ. Ïîñëåäíåå ëåãêî ïîêàçàòü ïîäñòàíîâêîé â ( 21 .10)

óðàâíåíèÿ ïðÿìîé

01tt

yyaat==±



Äåéñòâèòåëüíî,

()

01 01

;

() ( )

12 2

yt nyt a at t n a a

tt y y

aataa

⎛⎞

−±−±

⎜⎟

⎝⎠

−

−⋅ −

⎛⎞

±−

⎜⎟

⎝⎠

∑∑

∑

∓

()

(

)

()

21 1

232

12 2

−

⎛⎞

±−

⎜⎟

⎝⎠

===±

−

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

∑

Çíà÷èìîñòü êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿò-

íîñòüþ

1F =−α îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ t-êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà ïî

ôîðìóëå

> ,

ãäå

21 .

trn r=− −

359

Êîëè÷åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî n – 2.

Èíäåêñ êîððåëÿöèè

R è èíäåêñ äåòåðìèíàöèè

R äëÿ ëþáîé

ôîðìû òðåíäà îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå

()

−

∑



Åñëè ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè

r ðà-

âåí èíäåêñó êîððåëÿöèè R, òî ñâÿçü ìåæäó âðåìåíåì è èññëåäóå-

ìûì ïîêàçàòåëåì ëèíåéíàÿ.

Çíà÷èìîñòü èíäåêñà äåòåðìèíàöèè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíî-

ñòüþ

1F =−α ( α — óðîâåíü çíà÷èìîñòè) îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè

êðèòåðèÿ Ôèøåðà ïî ôîðìóëå

Âåëè÷èíà

íàõîäèòñÿ ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà ïðè

çàäàííûõ ñòåïåíÿõ ñâîáîäû è óðîâíå çíà÷èìîñòè. Êîëè÷åñòâî ñòå-

ïåíåé ñâîáîäû ðàâíî

nm−

è ,mk− ãäå n — ÷èñëî åäèíèö âûáîðêè;

m — ÷èñëî êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ; k — êîëè÷åñòâî óòî÷íÿåìûõ

ïàðàìåòðîâ. Âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

.km<

Âåëè÷èíà

F ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:

OCT

ãäå

111

() ()

;;

nnn

tt t t

ttt

OCT

yyyy

SSy

nm mk n

===

−−

===

−−

∑∑∑



 Ïðèìåð 21.6. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðîâ 21.4 è 21.5, îïðåäåëèòü

òåñíîòó âçàèìîñâÿçè èññëåäóåìîãî ïàðàìåòðà è âðåìåíè ïðè ïîìîùè êîýô-

ôèöèåíòà êîððåëÿöèè è èíäåêñà äåòåðìèíàöèè.

Ðåøåíèå.

Âîñïîëüçóåìñÿ äàííûìè òàáë. 21.7 è åå ïðîäîëæåíèåì:

()( )

45 45

0,9959.

10 99

(1)

24,75

() ( )

24,75

tty y

tt y y

−−

====

⋅

−

⋅

−⋅ −

⋅

∑

∑∑

Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè áëèçêî ê åäèíèöå, ò.å. ñâÿçü ìåæäó

öåíîé è âðåìåíåì òåñíàÿ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷èìîñòè êîýôôèöèåíòà êîð-

ðåëÿöèè íàéäåì

360

20,99598

31,14.

1 1 0,9959

−

== =

−−

Òàê êàê òàáëè÷íîå çíà÷åíèå

0,01

3, 36t =

, òî

> , ÷òî ñâèäåòåëüñòâó-

åò î çíà÷èìîñòè êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè.

Èíäåêñû äåòåðìèíàöèè è êîððåëÿöèè:

()

24,546

0,9918; 0,996.

24,75

()

−

====

−

∑



Èíäåêñ êîððåëÿöèè ïðàêòè÷åñêè ðàâåí êîýôôèöèåíòó êîððåëÿöèè, ÷òî

ãîâîðèò î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè èññëåäóåìîãî ïàðàìåòðà îò âðåìåíè.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷èìîñòè èíäåêñà êîððåëÿöèè âîñïîëüçóåìñÿ êðè-

òåðèåì Ôèøåðà. Èç ïðîäîëæåíèÿ òàáë. 21.7 ñëåäóåò

22 2

()

( ) 24,546; 0,0255675;

tOCT

Syy S

−

=−= = =

−

∑



960.

OCT

Èç òàáëèöû F-ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè

0, 05; 1; 8mk nmα= ν = − = ν = − =

íàõîäèì

5, 32

F =

. Òàê êàê

, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ

10,95F =−α=

ïðèíèìàåòñÿ ãèïîòåçà î çíà÷èìîñòè èíäåêñà äåòåðìèíàöèè. 

Òàê æå êàê è äëÿ ôóíêöèè ðåãðåññèè, êà÷åñòâî ïîäáîðà ôîðìû

òðåíäà îöåíèâàåòñÿ ïî êðèòåðèþ Äàðáèíà—Óîòñîíà. Äëÿ ýòîãî ïðî-

âîäèòñÿ àíàëèç îñòàòêîâ

ttt

yyε= −



Åñëè ìîäåëü òðåíäà àäåêâàòíà ôîðìå ïîäîáðàííîé êðèâîé, òî îñ-

òàòêè äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ìàòåìàòè÷åñêèì

îæèäàíèåì, ðàâíûì íóëþ, è íåçàâèñèìîñòüþ ñîñåäíèõ çíà÷åíèé äðóã

îò äðóãà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ òðåáîâà-

íèå ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà. Ïðîñòåé-

øèé ñïîñîá ïðîâåðêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà ñîîòâåòñòâèå íîð-

ìàëüíîìó çàêîíó ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû. Íåçàâèñèìîñòü

ñîñåäíèõ çíà÷åíèé äðóã îò äðóãà ïðîâåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ

Äàðáèíà—Óîòñîíà:

()

21 .

tt tt

−−

⎛⎞

ε−ε εε

⎜⎟

=≈⋅−

⎜⎟

εε

⎜⎟

⎝⎠

∑∑

361

Åñëè

ε íå çàâèñèò îò

1t −

ε , òî

−

εε =

∑

è d = 2. Ïðè ïîëíîé

àâòîêîððåëÿöèè d ðàâåí íóëþ èëè ÷åòûðåì.

Ïî òàáëèöàì Äàðáèíà—Óîòñîíà äëÿ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé

âåðîÿòíîñòè

1F =−α îïðåäåëÿþò êðèòè÷åñêèå ãðàíèöû, ïîçâî-

ëÿþùèå âûíåñòè ñóæäåíèÿ î íàëè÷èè àâòîêîððåëÿöèè. Çàäàâøèñü

óðîâíåì çíà÷èìîñòè

α è çíàÿ êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé n, íàõîäèì

èç òàáëèöû çíà÷åíèÿ

d è d

. Ïðè 4

dd d<<− àâòîêîððåëÿöèÿ

îñòàòêîâ îòñóòñòâóåò. Ïðè

dd< è 4

dd>− àâòîêîððåëÿöèÿ èìååò

ìåñòî. Åñëè îáíàðóæåíà ñóùåñòâåííàÿ àâòîêîððåëÿöèÿ îñòàòêîâ, òî

ñëåäóåò ïåðåñìîòðåòü ôîðìó âûáðàííîé êðèâîé.

 Ïðèìåð 21.7. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðîâ 21.4—21.6, îöåíèòü êà÷åñò-

âî ïîäáîðà òðåíäà.

Ðåøåíèå.

Ïî òàáëèöå Äàðáèíà—Óîòñîíà ìîæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ

d è

òîëüêî äëÿ

15n ≥ . Çíà÷åíèÿ

d è

d äëÿ n = 15 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 21.3.

0,84 1,07 1,466 2 2,93 3,16 4 d

Ðèñ. 21.3

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

d ìåäëåííî èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè n, áóäåì ñ÷è-

òàòü, ÷òî íàëè÷èå àâòîêîððåëÿöèè îñòàòêîâ íå ïîäòâåðæäàåòñÿ. 

Ïîñêîëüêó ìîäåëèðóåìûé ïðîöåññ ïîäâåðæåí ñëó÷àéíûì âîç-

äåéñòâèÿì, òî ïðîãíîç ìîæåò áûòü ñäåëàí â âèäå äîâåðèòåëüíîãî

èíòåðâàëà. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîãíîçèðóåìîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿ-

åòñÿ ïî òðåíäó, à øèðèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà çàâèñèò îò äèñ-

ïåðñèè îñòàòêîâ, äëèíû ïåðèîäà ïðîãíîçèðîâàíèÿ è äîâåðèòåëüíîé

âåðîÿòíîñòè, ñ êîòîðîé ïðîãíîçèðóåìàÿ âåëè÷èíà ïîïàäåò â äîâåðè-

òåëüíûé èíòåðâàë.

Âûðàæåíèå äëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èí-

òåðâàëà äëÿ ëèíåéíîãî òðåíäà èìååò âèä

1( )

()

tOCT

yytS

−

=± ++

−

∑



ãäå t

— òàáëè÷íîå çíà÷åíèå t-êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ äîâåðèòåëüíîé

âåðîÿòíîñòè

1F =−α è ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû n – 2;

()

OCT

−

∑



— äèñïåðñèÿ îñòàòêîâ.