Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

362

Äëÿ çíàêà «ïëþñ» èìååì âåðõíþþ ãðàíèöó äîâåðèòåëüíîãî èí-

òåðâàëà, à äëÿ çíàêà «ìèíóñ» — íèæíþþ (ðèñ. 21.4). Äëÿ îïðåäåëå-

íèÿ âåëè÷èíû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà íàäî äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ

âðåìåíè t èç âåðõíåé ãðàíèöû

max

y âû÷åñòü íèæíþþ ãðàíèöó

min

y , ò.å.

()

max min

21 .

OCT

yy y tS

−

∆= − = + +

−

∑

Íà ðèñ. 21.4 çîíà ðåòðî ïðåäñòàâëåíà âî âðåìåííîì èíòåðâàëå

îò 1 äî 19 (n = 19). Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåð-

âàëà äîñòèãàåòñÿ ïðè

10tt==

, ò.å. íàèìåíüøàÿ äèñïåðñèÿ áóäåò

íàáëþäàòüñÿ â ñåðåäèíå äàííûõ ïî

t .

Ðèñ. 21.4

Åñëè ìû õîòèì ñäåëàòü ïðîãíîç íà l øàãîâ âïåðåä, òî tnl=+.

Òîãäà íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà è äîâå-

ðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïðîãíîçèðóåìîé òî÷êè áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ

ïî ôîðìóëàì

1( )

()

+α

+−

=± ++

−

∑



nl OCT

nlt

yy tS

1( )

21 .

()

+−

∆= + +

−

∑

OCT

nlt

ytS

363

×åì äàëüøå ìîìåíò ïðîãíîçèðîâàíèÿ, òåì øèðå äîâåðèòåëüíûé

èíòåðâàë (ñì. ðèñ. 21.4).

 Ïðèìåð 21.8. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðîâ 21.4—21.7, äàòü ïðîãíîç

äëÿ 12-ãî äíÿ è îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äîâåðèòåëüíîé

âåðîÿòíîñòè F = 0,95.

Ðåøåíèå.

Ïîäñòàâëÿÿ èñõîäíûå äàííûå â (21.9), ïîëó÷èì

0, 75=+



0,545•12 =

= 7,2956. Òàáëè÷íîå çíà÷åíèå t-êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ n – 2 = 8 è

0, 05α=

ðàâíî

2,31t

. Òàê êàê

(1)1099

0,1599; 5,5; 10; ( ) 82,5 ,

12 12

−⋅

===−===

∑

OCT

Stntt

òî

(12 5, 5)

7, 2956 2,31 0,1599 1 0,1 7, 2956 0,469.

82,5

−

=±⋅ ++ =±y

Òàêèì îáðàçîì, ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0,95 çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

íà 12-é äåíü áóäåò íàõîäèòüñÿ â èíòåðâàëå

6,83 7, 76.y<∆ <



Упражнения

ТЕСТ 21.1

Óäàåòñÿ ëè, èñïîëüçóÿ ìåòîä ñãëàæèâàíèÿ îøèáîê, ïðîãíîçèðîâàòü

ñêà÷êè äèíàìè÷åñêîãî ðÿäà?

ЗАДАЧИ

21.1. Â òàáëèöå ïðèâåäåíû äàííûå ïî öåíå àêöèè çà 6 äíåé.

Îïðåäåëèòü ïðîãíîç íà êàæäûé èç ñëåäóþùèõ äíåé, ïîëîæèâ ïðîã-

íîç ïåðâîãî äíÿ ðàâíûì 123.

Äåíü, t 1-é 2-é 3-é 4-é 5-é 6-é

125 131 124 117 126 129

21.2. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðà 21.1, îïðåäåëèòü ìåòîäîì Áîê-

ñà—Äæåíêèíñà ïðîãíîç íà êàæäûé èç ñëåäóþùèõ äíåé, ïîëîæèâ

ïðîãíîç ïåðâîãî äíÿ ðàâíûì 9. Äëÿ íàãëÿäíîñòè òàáë. 21.1 ïðèìå-

ðà 21.1 ïðèâåäåì çäåñü æå.

Äåíü, t 1-é 2-é 3-é 4-é 5-é 6-é 7-é 8-é 9-é 10-é

8,9 9,1 8,9 9,08 8,96 8,9 9,0 9,5 9,6 9,56

21.3. Èñïîëüçóÿ äàííûå ïðèìåðîâ 21.4—21.8, äàòü ïðîãíîç äëÿ

11-ãî è 14-ãî äíåé è îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äîâå-

ðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè F = 0,95.

364

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

22.1. Основные понятия метода Монте-Карло

22.2. Математическая модель результирующего

показателя

22.3. Анализ выбранных переменных

22.4. Законы распределения переменных

и их характеристики

22.5. Компьютерный эксперимент

22.1. Основные понятия метода

Монте-Карло

Äëÿ ó÷åòà âëèÿíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè íà ýôôåêòèâíîñòü ïðîåêòà

èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñïîñîá èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Îäíèì

èç ìåòîäîâ ýòîãî ñïîñîáà ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî. Äîâîëüíî

ïîäðîáíî ýòîò ìåòîä îïèñàí â ðàáîòå [12].

Âïåðâûå îïèñàíèå ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ïîÿâèëîñü â 1949 ã. Íà-

çâàíèå ìåòîäó äàë èçâåñòíûé ñâîèìè êàçèíî ãîðîä Ìîíòå-Êàðëî â

êíÿæåñòâå Ìîíàêî, òàê êàê èìåííî ðóëåòêà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì

ìåõàíè÷åñêèì ãåíåðàòîðîì ïðîöåññà ïîëó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë,

èñïîëüçóåìûõ â äàííîì ìåòîäå. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà Ìîíòå-

Êàðëî ñòðîèòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðåçóëüòèðóþùåãî ïîêàçàòå-

ëÿ êàê ôóíêöèè îò ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìî-

äåëü ïåðåñ÷èòûâàåòñÿ ïðè êàæäîì íîâîì èìèòàöèîííîì ýêñïåðè-

ìåíòå, â òå÷åíèå êîòîðîãî çíà÷åíèÿ îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ ïå-

ðåìåííûõ âûáèðàþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì íà îñíîâå ãåíåðèðîâà-

íèÿ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Ðåçóëüòàòû âñåõ èìèòàöèîííûõ ýêñïåðèìåí-

òîâ îáúåäèíÿþòñÿ â âûáîðêó è àíàëèçèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòè-

÷åñêèõ ìåòîäîâ â öåëÿõ ïîëó÷åíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíî-

ñòåé ðåçóëüòèðóþùåãî ïîêàçàòåëÿ. Â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ çàêîí ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ íå îïðåäåëÿþò, à îãðàíè÷èâàþòñÿ ìîìåíòàìè, õàðàêòå-

ðèçóþùèìè ñòàòèñòè÷åñêèå ïàðàìåòðû îáúåêòà.

Äëÿ àíàëèçà èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû

ñîâðåìåííûå ÝÂÌ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàñ÷åòû ÿâëÿþòñÿ î÷åíü

òðóäîåìêèìè è èõ êîëè÷åñòâî âåëèêî.

Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåðåñóþùåãî ïîêà-

çàòåëÿ, èëè ìîìåíòîâ, ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:

1. Ñòðîèòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðåçóëüòèðóþùåãî ïîêàçàòå-

ëÿ êàê ôóíêöèè îò ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ. Ïîä ïåðåìåííûìè ïî-

Глава 22

365

íèìàþòñÿ âåëè÷èíû, êîòîðûå áóäóò èçìåíÿòüñÿ â ïðîöåññå êîìïüþ-

òåðíîãî ýêñïåðèìåíòà. Ïàðàìåòðû — ýòî òå âåëè÷èíû, êîòîðûå íå

èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè.

2. Ïðîâîäèòñÿ àíàëèç âûáðàííûõ ïåðåìåííûõ. Èç èõ ÷èñëà âû-

áèðàþòñÿ òîëüêî òå, èçìåíåíèå êîòîðûõ ñóùåñòâåííûì îáðàçîì âëèÿ-

åò íà ðåçóëüòàò. Äëÿ ýòèõ öåëåé ìîæíî, íàïðèìåð, ïðîâåñòè àíàëèç

÷óâñòâèòåëüíîñòè èññëåäóåìîãî îñíîâíîãî ïîêàçàòåëÿ îò ðàçëè÷íûõ

ôàêòîðîâ è âûáðàòü òå èç íèõ, ê êîòîðûì ýòîò ïîêàçàòåëü ÿâëÿåòñÿ

íàèáîëåå ÷óâñòâèòåëüíûì.

3. Îïðåäåëÿþòñÿ çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ âûáðàííûõ ïåðåìåííûõ

è êîððåëÿöèîííûå ñâÿçè ìåæäó íèìè.

4. Ïðîâîäèòñÿ êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé èç çà-

äàííîãî êîëè÷åñòâà îïûòîâ. Êîëè÷åñòâî îïûòîâ äîëæíî áûòü äîñ-

òàòî÷íûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé ìîäåëè.

4.1. Äëÿ êàæäîãî îïûòà ãåíåðèðóþòñÿ ñëó÷àéíûå ÷èñëà, ÿâëÿþ-

ùèåñÿ ðåàëèçàöèåé êàæäîé ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé.

4.2. Äëÿ ïîëó÷åííûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ðàññ÷èòûâàþò ðåçóëüòè-

ðóþùèé ïîêàçàòåëü. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò âûáîðêó,

èìåþùóþ êîëè÷åñòâî ïîêàçàòåëåé, ðàâíîå êîëè÷åñòâó îïû-

òîâ.

4.3. Ïðîâîäÿò ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç âûáîðêè íà ïðåäìåò îïðå-

äåëåíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòèðóþùåãî ïîêàçàòåëÿ

èëè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ïðèìåíèì ê ëþáîìó âûõîäíîìó ïîêàçàòåëþ

èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà. Ê òàêèì ïîêàçàòåëÿì ìîãóò îòíîñèòüñÿ, íà-

ïðèìåð, ÷èñòûé ïðèâåäåííûé äîõîä, èíäåêñ ïðèáûëüíîñòè, âíóòðåí-

íÿÿ íîðìà äîõîäíîñòè è ò.ä. Â ðàáîòå [12] ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ìîíòå-

Êàðëî ðàññìîòðåíî íà ïðèìåðå àíàëèçà ÷èñòîãî ïðèâåäåííîãî äîõîäà.

22.2. Математическая модель

результирующего показателя

Â îáùåì ñëó÷àå èññëåäóåìûé, èëè îñíîâíîé, ïîêàçàòåëü ìîæåò

áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ:

(

)

12 12

, , ..., , ..., , , , ..., , ..., ,=

lL k K

F FAA A A BB B B (22.1)

ãäå

— èññëåäóåìûé ïîêàçàòåëü èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà;

A — ïåðå-

ìåííàÿ ïîä íîìåðîì

l ; L — îáùåå êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ;

B —

ïàðàìåòð ïîä íîìåðîì

k ;

— îáùåå êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ.

Ïðåäñòàâëåííûå â ôóíêöèè (22.1) ïåðåìåííûå óäîáíî âûðàçèòü

÷åðåç èõ íîìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ è îòíîñèòåëüíûå ïåðåìåííûå. Íî-

ìèíàëüíûì çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé íàçûâàþò òàêîå åå çíà÷åíèå,

êîòîðîå ïðèñâîåíî åé â áàçèñíîì âàðèàíòå áèçíåñ-ïëàíà. Åñëè îñ-

366

íîâíîé ïîêàçàòåëü ïðîåêòà ïîëó÷åí ïðè ó÷åòå âñåõ íîìèíàëüíûõ

çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, òî åãî òàêæå íàçûâàþò íîìèíàëüíûì. Îòíî-

ñèòåëüíîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé çàïèøåì â âèäå

, (22.2)

ãäå

A — íîìèíàëüíîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé.

Òîãäà ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ ïðèîáðåòàåò âèä

(

)

00 0 0

11 2 2 1 2

, , ..., , ..., , , , ..., , ..., .=

ll LL k K

F f aA a A aA a A B B B B (22.3)

Ðàññìîòðèì ìîäåëü íà ïðèìåðå âíóòðåííåé íîðìû äîõîäíîñòè.

Âíóòðåííÿÿ íîðìà äîõîäíîñòè — ýòî ñòàâêà äèñêîíòèðîâàíèÿ, ïðè

êîòîðîé ïðèâåäåííûå äîõîäû ðàâíû ïðèâåäåííûì ðàñõîäàì. Âíóò-

ðåííÿÿ íîðìà äîõîäíîñòè íàõîäèòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ïðèâåäåííîãî

íèæå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî

Q :

() ()

jjn

КЕ

==+

∑∑

(22.4)

ãäå

K — èíâåñòèöèîííûå ðàñõîäû â ãîäó ïîä íîìåðîì

;

Е — èíâåñòè-

öèîííûå äîõîäû â ãîäó ïîä íîìåðîì

;

n — ñðîê èíâåñòèðîâàíèÿ â

ïðîåêò â ãîäàõ;

n — ïðîäîëæèòåëüíîñòü èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà â

ãîäàõ.

Â óðàâíåíèè (22.4) ïîìèìî âíóòðåííåé íîðìû äîõîäíîñòè

âõîäèò åùå ïÿòü âåëè÷èí: ,

K ,

n , ,n

. Íîìåð ãîäà

ÿâëÿåòñÿ

ïàðàìåòðîì. Îñòàëüíûå ÷åòûðå âåëè÷èíû ìîãóò âûñòóïàòü êàê ïà-

ðàìåòðàìè, òàê è ïåðåìåííûìè. Ñðîê èíâåñòèðîâàíèÿ â ïðîåêò

äëÿ òèïîâûõ èíâåñòèöèîííûõ ïðîåêòîâ íå ïðåâûøàåò òðåõ ëåò.

Îáû÷íî ýòè ñðîêè âûïîëíÿþòñÿ. Ïîýòîìó

n ìîæíî ïðèíÿòü â âè-

äå ïàðàìåòðà. Äëÿ èííîâàöèîííûõ ïðîåêòîâ ýòîò ñðîê ìîæåò äîõî-

äèòü äî äåñÿòè ëåò, è ââîä â ñòðîé èííîâàöèîííîãî îáúåêòà ÿâëÿåò-

ñÿ íåîïðåäåëåííîé çàäà÷åé. Ïîýòîìó ñðîê

n â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿ-

åòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé.

Ñðîê èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà

n òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèáî

êàê ïàðàìåòð, ëèáî êàê ïåðåìåííàÿ. Íàïðèìåð, ïðè î÷åíü áîëüøèõ

ñðîêàõ èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà ýòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â

âèäå ïàðàìåòðà, òàê êàê áîëåå ïîçäíèå ïëàòåæè îêàçûâàþò íåçíà÷è-

òåëüíîå âëèÿíèå íà èññëåäóåìûé ïîêàçàòåëü, ò.å. ýòîò ïîêàçàòåëü

ñëàáî÷óâñòâèòåëåí ê ñðîêó èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà. Íàïðèìåð,

äëÿ ïëàòåæà, âûïëà÷èâàåìîãî ÷åðåç äâàäöàòü ëåò ïîñëå íà÷àëà ïðî-

367

åêòà, ïðè ñòàâêå äèñêîíòèðîâàíèÿ 25% ãîäîâûõ äèñêîíòíûé ìíî-

æèòåëü ðàâåí

()

0,009.

10,25

Ïðè ïëàòåæàõ, íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþùèõñÿ ãîä îò ãîäà, âëèÿ-

íèå ýòîãî ïëàòåæà, íàïðèìåð, íà ÷èñòûé ïðèâåäåííûé äîõîä áóäåò

ìåíåå 1%.

Ïðè íåáîëüøèõ ñðîêàõ èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà, íàïðèìåð äî

10 ëåò, è ïðè íåîïðåäåëåííîñòè ñðîêà æèçíè ïðîäóêòà ýòîò ñðîê

ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé.

Èíâåñòèöèîííûå ðàñõîäû K

è èíâåñòèöèîííûå äîõîäû E

ïðè-

íèìàþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ïåðåìåííûìè âåëè÷èíàìè. Ýòè âåëè÷èíû,

â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ðÿäà ïîêàçàòåëåé, ê êîòîðûì

îòíîñÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, öåíà ñáûòà, îáúåì ñáûòà, ñòàâêè íàëîãîâ,

ïîñòîÿííûå è ïåðåìåííûå èçäåðæêè, çàðàáîòíàÿ ïëàòà è ò.ä.

22.3. Анализ выбранных

переменных

Ïîñëå òîãî êàê îïðåäåëåíû ïåðåìåííûå, ïðîâîäèòñÿ èõ îòáîð

äëÿ ìîäåëè. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷åì áîëüøå ïåðåìåííûõ áóäåò èñïîëü-

çîâàíî â ìîäåëè, òåì òî÷íåå ðåçóëüòàòû. Îäíàêî âêëþ÷åíèå â ìîäåëü

ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ñëàáî âëèÿþò íà ðåçóëüòàò, óñëîæíÿåò ìîäåëü

è, ÷òî ñàìîå ãëàâíîå, çàòðóäíÿåò åå âîñïðèÿòèå. Ïîýòîìó îòáèðàþò

òîëüêî òå ïåðåìåííûå, êîòîðûå ñóùåñòâåííûì îáðàçîì âëèÿþò íà ðå-

çóëüòàò. ×àùå âñåãî äëÿ âûáîðà ïåðåìåííûõ èñïîëüçóþò ÷óâñòâè-

òåëüíîñòü èññëåäóåìîãî ïîêàçàòåëÿ èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà ê èç-

ìåíåíèþ ïåðåìåííîé.

Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè ðàññìîòðåí â § 18.6. Ïîêàçàòåëåì ÷óâ-

ñòâèòåëüíîñòè ïðîåêòà ñëóæèò ýëàñòè÷íîñòü èññëåäóåìîãî ïàðàìåòðà

ïî âàðèàöèè â òî÷êå 100%. Íàïðèìåð, ýëàñòè÷íîñòü âíóòðåííåé

íîðìû äîõîäíîñòè ïî îáúåìó ðåàëèçàöèè ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ïî

ôîðìóëå

()

∆∆

≈

ãäå

Q∆

— ïðèðàùåíèå âíóòðåííåé íîðìû äîõîäíîñòè, ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå ïðèðàùåíèþ îáúåìà ðåàëèçàöèè ïðîäóêöèè

q∆ ; q∆ — ïðè-

ðàùåíèå îáúåìà ðåàëèçàöèè ïðîäóêöèè;

q — íîìèíàëüíûé îáúåì

ðåàëèçàöèè ïðîäóêöèè.

368

Ýëàñòè÷íîñòü âíóòðåííåé íîðìû äîõîäíîñòè ïî îáúåìó ðåàëè-

çàöèè ïîêàçûâàåò, íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ îòíîñèòåëüíî íîìèíàëü-

íîé âåëè÷èíû èçìåíèòñÿ âíóòðåííÿÿ íîðìà äîõîäíîñòè ïðè èçìå-

íåíèè îáúåìà ðåàëèçàöèè íà 1%.

22.4. Законы распределения

переменных

и их характеристики

Ïîñëå îêîí÷àòåëüíîãî âûáîðà ïåðåìåííûõ íóæíî íàéòè çàêîíû

èõ ðàñïðåäåëåíèé è óñòàíîâèòü êîððåëÿöèîííûå ñâÿçè ìåæäó ýòèìè

ïåðåìåííûìè. Îáû÷íî â êà÷åñòâå çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåìåí-

íûõ èñïîëüçóþòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûå, ê ÷èñëó êîòîðûõ ìîæíî îòíå-

ñòè ðàâíîìåðíûé, íîðìàëüíûé, òðåóãîëüíûé. Â ðàáîòå [12] ïðîâåäåí

àíàëèç âëèÿíèÿ òèïà çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ è êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè

ìåæäó ïåðåìåííûìè íà âûõîäíûå õàðàêòåðèñòèêè ìîäåëè. Òàì íà

ïðèìåðå ïðîåêòà ïî ïðîèçâîäñòâó òðóá èññëåäóþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè

÷èñòîãî ïðèâåäåííîãî äîõîäà ïðè äâóõ ïåðåìåííûõ: öåíå ñáûòà è

îáúåìå ñáûòà. Åñëè ïåðåìåííûå ÿâëÿëèñü íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíû-

ìè âåëè÷èíàìè, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðè ðàâíîìåðíîì ðàñ-

ïðåäåëåíèè ïðåâûñèëî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðè ðàâíîáåäðåí-

íîì òðåóãîëüíîì ðàñïðåäåëåíèè íà 1,9%, à ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå

ïðåâûñèëî íà 61%, ò.å. ðèñê ïðîåêòà ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò

îò çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè ó÷åòå êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè ìåæ-

äó ïåðåìåííûìè èñïîëüçîâàëñÿ ðàâíîìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ôóíêöèÿ ðåãðåññèè îáúåìà ïðîäàæ îò öåíû ïðîäàæ ïðèíèìàëàñü ëè-

íåéíîé òèïà

qq p=+β⋅, ãäå q — îáúåì ïðîäàæ; ð — öåíà ïðîäàæ.

Êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè ïðèíèìàëñÿ îòðèöàòåëüíûì è ðàâíûì

0, 7

=− . Â ýòîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå áåç ó÷åòà ñâÿçè ìåíü-

øå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ ó÷åòîì ñâÿçè íà 0,14%, à ñòàíäàðòíîå

îòêëîíåíèå áåç ó÷åòà ñâÿçè ïðåâûñèëî ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñ ó÷å-

òîì ñâÿçè íà 1532%. Òàêèì îáðàçîì, ó÷åò êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè íå-

îáõîäèì ïðè ïðîâåäåíèè àíàëèçà. Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî àíàëèç

ïðîâîäèëñÿ òîëüêî ïðè ó÷åòå äâóõ ïåðåìåííûõ, ÷òî òàêæå ñêàçàëîñü

íà âåëè÷èíå îøèáêè. Ó÷åò áîëüøåãî êîëè÷åñòâà ïåðåìåííûõ ñíèçèò

ýòîò ýôôåêò.

Îïðåäåëèòü çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ è èõ ìîìåíòû

ìîæíî ïî âûáîðêå. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî ñîîò-

âåòñòâóþùèå ìàòåðèàëû ñóùåñòâóþò è îíè äîñòóïíû ðàçðàáîò÷èêó

áèçíåñ-ïëàíà. Â òîì ñëó÷àå, åñëè òàêèå ìàòåðèàëû îòñóòñòâóþò, íà-

ïðèìåð, ïðè ðàçðàáîòêå èííîâàöèîííîãî ïðîåêòà äëÿ âíîâü èçî-

369

áðåòåííîãî ïðîäóêòà, äëÿ îïðåäåëåíèÿ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ïå-

ðåìåííûõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì àíàëîãèé èëè ýêñïåðò-

íûì ìåòîäîì.

Íà÷íåì èçó÷åíèå âîïðîñà ñ îïðåäåëåíèÿ îòäåëüíûõ õàðàêòåðè-

ñòèê (ìîìåíòîâ) çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü âûáîðêà ïðåäñòàâ-

ëåíà â âèäå ñòàöèîíàðíîãî äèíàìè÷åñêîãî ðÿäà. Ðàññìîòðèì äèíà-

ìè÷åñêèé ðÿä îäíîé èç ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð öåíû ïðîäóêòà, èç-

äåðæåê, íàëîãà è ò.ä. Ýòîò ðÿä ïðåäñòàâèì â âèäå

,1 , 2 , ,

, , ..., , . .., ,

ll lt lT

АА А А (22.5)

ãäå

А — çíà÷åíèå ïåðåìåííîé ïîä íîìåðîì l (îáùåå êîëè÷åñòâî ïåðåìåí-

íûõ ðàâíî L); t — íîìåð ïåðèîäà (îáùåå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ ðàâíî Ò).

Â êàæäîì äèíàìè÷åñêîì ðÿäó ïåðåìåííàÿ èìååò ñâîþ ðàçìåð-

íîñòü. Ïîýòîìó ïðè àíàëèçå óäîáíåå ïåðåéòè ê îòíîñèòåëüíûì áåç-

ðàçìåðíûì âåëè÷èíàì, õàðàêòåðèçóþùèì èçìåíåíèå ïåðåìåííîé îò

ïåðèîäà ê ïåðèîäó:

, (22.6)

ãäå

,lt

— çíà÷åíèå ïåðåìåííîé ïîä íîìåðîì

â íà÷àëå ïåðèîäà t ;

А — íîìèíàëüíîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé.

Òåïåðü îò ðÿäà (22.5) ìîæíî ïåðåéòè ê ðÿäó

,1 , 2 , ,

, , ..., , ..., .

ll lt lT

aa a a (22.7)

Îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è êîâàðèàöèé ïåðåìåííûõ i-ãî

è j-ãî òèïîâ áóäåì îïðåäåëÿòü ïî ðÿäó (22.7).

Â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïåðåìåííîé ïîä íîìåðîì

l ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå

∑

llt

(22.8)

Äëÿ ðàñ÷åòà âûáîðî÷íîé êîâàðèàöèè i-é è l-é ïåðåìåííûõ èñ-

ïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà

()()

σ= − ⋅ −

−

∑

il i t i l t l

aaaa

(22.9)

Äèñïåðñèÿ, ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå è êîýôôèöèåíò

êîððåëÿöèè ïîä÷èíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿì

()

;

ll l t l

σ= −

−

∑

;

lll

σ= σ (22.10)

370

σσ

r (22.11)

Âûðàæåíèå (22.9) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòíóþ ìàòðèöó êî-

âàðèàöèé ðàçìåðîì

LL×

. Ãëàâíîé äèàãîíàëüþ ýòîé ìàòðèöû ÿâëÿ-

þòñÿ äèñïåðñèè. Äëÿ àíàëèçà ñòåïåíè ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè

ñëåäóåò îò ìàòðèöû êîâàðèàöèé

σ ïåðåéòè ê ìàòðèöå êîýôôèöè-

åíòîâ êîððåëÿöèé

r (22.11). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû

êîððåëÿöèé ÿâëÿþòñÿ íîðìèðîâàííûìè âåëè÷èíàìè. Èõ çíà÷åíèÿ

èçìåíÿþòñÿ îò –1 äî +1.

Ïðè îïðåäåëåíèè çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

çàäàþòñÿ íåêîòîðûì èçâåñòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ è çàòåì

ïðîâåðÿþò ýòó ãèïîòåçó íà çíà÷èìîñòü, èñïîëüçóÿ âûáîðêó.

Ïðîñòåéøèì ìåòîäîì ïðîâåðêè ãèïîòåçû î çàêîíå ðàñïðåäåëå-

íèÿ ÿâëÿåòñÿ âèçóàëüíûé. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàì-

ìû ïî âûáîðêå è àíàëèçó åå âíåøíåãî âèäà. Ìåòîä íåäîñòàòî÷íî

òî÷åí, íî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïðè îïðåäåëåíèè çàêîíà ðàñïðå-

äåëåíèÿ â íàøåì ñëó÷àå. Íàèáîëåå ïîëíàÿ è òî÷íàÿ ïðîâåðêà ñîîò-

âåòñòâèÿ âûáðàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåàëüíîìó ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïî-

ìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà, ðàññìîòðåííîãî â ãëàâå 19.

22.5. Компьютерный

эксперимент

Ïîñëå ñîñòàâëåíèÿ ìîäåëè ïðîâîäÿò êîìïüþòåðíûé ýêñïåðè-

ìåíò, ñîñòîÿùèé èç ðÿäà îïûòîâ. Äëÿ êàæäîãî îïûòà ãåíåðèðóþòñÿ

ñëó÷àéíûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ ðåàëèçàöèåé êàæäîé ñëó÷àéíîé ïåðå-

ìåííîé. Åñëè ïåðåìåííûå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî ÷èñëà ãåíåðè-

ðóþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Åñëè èìåþòñÿ ïåðåìåííûå ñ ñóùå-

ñòâåííîé êîððåëÿöèîííîé ñâÿçüþ, òî ýòó ñâÿçü ó÷èòûâàþò â ãåíåðà-

òîðå ïåðåìåííûõ. Ïðè ýòîì ìîæíî ïîñòóïèòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì

îáðàçîì. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè äðóã îò

äðóãà òîëüêî äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïîäõîä ìîæåò áûòü îáîáùåí äëÿ ëþ-

áîãî êîëè÷åñòâà ïåðåìåííûõ.

Ïóñòü ñóùåñòâóåò êîððåëÿöèîííàÿ ñâÿçü ìåæäó ïåðåìåííûìè

è a

. Òîãäà çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè ïåðåìåííûìè ïðè ëèíåéíîé

ôóíêöèè ðåãðåññèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

lt l lt l l i lt

aa a aa=+ε= + +ε, (22.12)

ãäå

ll li

aa aa=+ — ôóíêöèÿ ðåãðåññèè;

ε — âîçìóùåíèå ïåðåìåí-

íîé

a , ÿâëÿþùååñÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé, â îïûòå ïîä íîìåðîì t

(çíà÷åíèå ýòîé ïåðåìåííîé èçìåíÿåòñÿ äëÿ êàæäîãî íàáëþäåíèÿ

a ).

371

Êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèè ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî äàííûì âûáîðêè.

Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû

;

li l i

llli

aa a a

aaaa

⎫

−⋅

⎪

⎬

−

⎪

=−

⎪

⎭

(22.13)

ãäå

;

l i jt lt

aa a a

∑

;

llt

∑

;

iit

∑

iit

Òàêèì îáðàçîì, â ýêñïåðèìåíòå ïîä íîìåðîì

ãåíåðèðóåòñÿ

÷èñëî

a è âîçìóùåíèå

ε . Ýòè äâà ÷èñëà ïîäñòàâëÿþòñÿ â ôîðìó-

ëó (22.12) è ðàññ÷èòûâàåòñÿ

a . Çàòåì ÷èñëà

a è

a ïîäñòàâëÿþò-

ñÿ â ìîäåëü íàðÿäó ñ äðóãèìè çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ è ðàññ÷èòû-

âàåòñÿ çíà÷åíèå ðåçóëüòèðóþùåãî ïîêàçàòåëÿ ïîä íîìåðîì t.

Êîëè÷åñòâî îïûòîâ â êîìïüþòåðíîì ýêñïåðèìåíòå äîëæíî áûòü

äîñòàòî÷íûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé ìîäåëè. Íàïðèìåð,

äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîëè÷åñòâà îïûòîâ âåñü äèàïàçîí ïîëó÷åííûõ â

ðåçóëüòàòå ýòèõ îïûòîâ çíà÷åíèé äåëÿò íà èíòåðâàëû. Êîëè÷åñòâî

èíòåðâàëîâ ñëåäóåò âûáèðàòü áîëåå äåñÿòè. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå

÷àñòîò â èíòåðâàëå íå äîëæíî áûòü ìåíüøå 5—10.

È íàêîíåö, ïðîâîäÿò ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç âûáîðêè, ïðè ýòîì

îïðåäåëÿþò ëèáî ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ, ëèáî âèä çàêîíà ðàñïðå-

äåëåíèÿ ðåçóëüòèðóþùåãî ïîêàçàòåëÿ. Äëÿ ýòèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ

ìàòåðèàëû ãëàâû 19.

Упражнения

ЗАДАЧИ

22.1. Ñîñòàâèòü ìîäåëü äëÿ âíóòðåííåé íîðìû äîõîäíîñòè ïðè

óñëîâèè, ÷òî ïåðåìåííûìè ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ èíâåñòèöèîííûå äîõî-

äû è ðàñõîäû, à òàêæå ïðîäîëæèòåëüíîñòü èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà.

22.2. Â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ÷óâñòâèòåëüíîñòè ÷èñ-

òîãî ïðèâåäåííîãî äîõîäà èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà ïîëó÷åíû ðå-

çóëüòàòû, ïðåäñòàâëåííûå â òàáëèöå.

Ïîêàçàòåëü

Öåíà

ïðîäóêòà

Îáúåì

ïðîäàæ

Ñòîèìîñòü

îáîðóäîâàíèÿ

Ñòàâêà

íàëîãà

Çàðàáîòíàÿ

ïëàòà

Ïîñòîÿííûå

èçäåðæêè

×óâñòâèòåëü-

íîñòü

20 15 –2 –6 –3 –9

Îòîáðàòü èç ïåðå÷èñëåííûõ ïîêàçàòåëåé ÷åòûðå ïåðåìåííûå

ìîäåëè.