Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

482

îïèñûâàåò ðåàëüíîñòü. Îäíàêî ïîçæå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíî-

ãîïåðèîäíûå ìîäåëè, ïðåäóñìàòðèâàþùèå â áóäóùåì, â îáùåì ñëó-

÷àå, ëþáîå êîëè÷åñòâî öåí àêòèâà. Â ïðåäåëå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ

ìîäåëè ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Â ýòîì ñëó÷àå ê áåñêîíå÷íîñòè

ñòðåìèòñÿ êîëè÷åñòâî áóäóùèõ öåí ýòîé ìîäåëè.

Нижнее состояние

Верхнее состояние

Ðèñ. 30.1. Ñõåìà îäíîïåðèîäíîé áèíîìèíàëüíîé ìîäåëè öåíû îïöèîíà

Ïóñòü öåíà èñïîëíåíèÿ ðàâíà

S . Âëàäåëåö (ïîêóïàòåëü) îï-

öèîíà âîñïîëüçóåòñÿ ñâîèì ïðàâîì íà ïîêóïêó àêòèâà, åñëè öåíà

ýòîãî àêòèâà â ìîìåíò

tT= áóäåò âûøå öåíû èñïîëíåíèÿ, ò.å. åñëè

Su S> èëè

Sd S> . Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà

0Su S−> èëè

0Sd S−> îïöèîí áóäåò èñïîëíåí, â ïðîòèâíîì

ñëó÷àå âûïëàòû áóäóò ðàâíû íóëþ. Ñêàçàííîå ìîæíî çàïèñàòü â

âèäå ñèñòåìû

{

}

{}

max 0, ;

max 0, ,

FSuS

FSdS

⎫

=−

⎬

=−

⎭

(30.1)

ãäå ,

FF — äîõîäû âëàäåëüöà îïöèîíà, èëè öåíà îïöèîíà, äëÿ ìîìåíòà èñ-

ïîëíåíèÿ îïöèîíà â âåðõíåì è íèæíåì ïîëîæåíèÿõ ñîîòâåòñòâåííî.

Òàêèì îáðàçîì, ïî ôîðìóëàì (30.1) îïðåäåëÿþò äîõîä ïîêóïà-

òåëÿ îïöèîíà. Äëÿ ïðîäàâöà îïöèîíà ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóë

(30.1) îïðåäåëÿþò åãî ðàñõîäû. ×òîáû îïðåäåëèòü äîõîäû ïðîäàâöà,

ïîëó÷åííûì ðåçóëüòàòàì ñëåäóåò ïðèñâîèòü çíàê ìèíóñ.

Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè öåíû îïöèîíà F ïî èçâåñòíûì

ïðèâåäåííûì âûøå äàííûì è ãîäîâîé áåçðèñêîâîé ñèëå ðîñòà

δ .

Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.

1. Èíâåñòîð ïîêóïàåò îäíó àêöèþ è ïðîäàåò

îïöèîíîâ êîëë.

Â êîíöå ïåðèîäà

T â âåðõíåì ñîñòîÿíèè èíâåñòîð ïîëó÷èò çà

àêöèþ

Su ðóá., à ïî k îïöèîíàì êîëë âûïëàòèò ñóììó

kF âëà-

483

äåëüöó îïöèîíà. Â íèæíåì ñîñòîÿíèè èíâåñòîð ïîëó÷èò çà àêöèþ

ðóá., à ïî îïöèîíàì âûïëàòèò ñóììó

kF ( и

FF îïðåäåëÿþò-

ñÿ âûðàæåíèåì (30.1)). Òàêèì îáðàçîì, ïëàòåæè (äîõîä èíâåñòîðà)

â êîíöå ïåðèîäà

T îò ýòîãî ïîðòôåëÿ ñîñòàâÿò äëÿ âåðõíåãî ñî-

ñòîÿíèÿ

Su kF− , à äëÿ íèæíåãî ñîñòîÿíèÿ —

Sd kF− . Â áåçðèñêî-

âîì ïîðòôåëå äîõîä èíâåñòîðà íå äîëæåí èçìåíèòüñÿ îò áóäóùåé

ñèòóàöèè íà ðûíêå. Ïîýòîìó ïðè ôîðìèðîâàíèè áåçðèñêîâîãî

ïîðòôåëÿ ïðèíèìàåì ïëàòåæ äëÿ âåðõíåãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíûì ïëà-

òåæó äëÿ íèæíåãî ñîñòîÿíèÿ, ò.å.

Su kF Sd kF−=−

Îòñþäà íàõîäèì ôîðìóëó äëÿ êîëè÷åñòâà â ïîðòôåëå ïðîäàííûõ

îïöèîíîâ:

Su Sd

−

(30.2)

Âåëè÷èíà, ðàññ÷èòàííàÿ ïî ôîðìóëå (30.2), íàçûâàåòñÿ òàêæå

êîýôôèöèåíòîì ïîëíîãî õåäæèðîâàíèÿ.

Öåíà ïðèîáðåòåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîðòôåëÿ â íà÷àëüíûé ìî-

ìåíò ðàâíà ñòîèìîñòè àêòèâà

S ìèíóñ ïðåìèÿ çà k îïöèîíîâ, ò.å.

SkF=− (30.3)

Ýòà âåëè÷èíà äîëæíà áûòü ðàâíà ãàðàíòèðîâàííîé âûïëàòå

Su kF−

â ìîìåíò

tT= , äèñêîíòèðîâàííîé íà ìîìåíò 0t = , ò.å.

()

SkF SukF

−δ

−= −

Îòñþäà íàõîäèì öåíó îïöèîíà êîëë

Su kF

−δ

−

=−

(30.4)

 Ïðèìåð 30.1. Ïðè çàêëþ÷åíèè îïöèîííîãî êîíòðàêòà öåíà àêöèè

350 руб.S =

Öåíà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà êîëë ÷åðåç ãîä íà ýòó àêöèþ ðàâíà

395 руб.S =

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àêöèÿ íà ìîìåíò èñïîëíåíèÿ áóäåò ñòî-

èòü ëèáî

425 руб.,Su =

ëèáî

275 руб.Sd =

Áåçðèñêîâóþ ñòàâêó íàðàùåíèÿ

ïðèíèìàåì ðàâíîé 14% ãîäîâûõ.

Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïîëíîãî õåäæèðîâàíèÿ, öåíó îïöèîíà, ñòîè-

ìîñòü ïîðòôåëÿ, ñîñòîÿùåãî èç îäíîé àêöèè è ïðîäàííûõ îïöèîíîâ êîëë,

áóäóùèå ïëàòåæè.

Ðåøåíèå.

Ïî ôîðìóëàì (30.1) íàõîäèì âûïëàòû ïî îïöèîíó â âåðõíåì ñîñòîÿíèè

öåíû àêòèâà

425 395 30 руб.

FSuS=−= − =

è â íèæíåì ñîñòîÿíèè

0руб.

F =

Êîëè÷åñòâî ïðîäàííûõ îïöèîíîâ, èëè êîýôôèöèåíò ïîëíîãî

õåäæèðîâàíèÿ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (30.2):

484

425 275

30 0

Su Sd

−−

== =

−−

Êîëè÷åñòâî ïðîäàííûõ èíâåñòîðîì îïöèîíîâ ðàâíî ïÿòè.

Ñèëó ðîñòà íàõîäèì ïî ôîðìóëå (2.8):

(

)

(

)

ln 1 ln 1 0,14 0,1310283, или 13,1%.iδ= + = + = ≈

Öåíà îïöèîíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (30.4):

0,131

350 425 5 30

ee21,75руб.

Su kF

−δ −

−

−⋅

=− ⋅ = − ⋅ =

Ñòîèìîñòü ïîðòôåëÿ èç îäíîé àêöèè è ïÿòè ïðîäàííûõ îïöèîíîâ êîëë

â ìîìåíò åãî ôîðìèðîâàíèÿ íàõîäÿò ïî ôîðìóëå (30.3):

350 5 21, 75 241, 25 руб.PSkF=− = −⋅ =

Äîõîäû èíâåñòîðà îò ýòîãî ïîðòôåëÿ ïî îêîí÷àíèè ñðîêà îïöèîíà â

ëþáîì èç ñîñòîÿíèé, ò.å. ïðè ëþáîì çíà÷åíèè öåíû àêòèâà ÷åðåç ãîä, ñî-

ñòàâÿò:

 äëÿ âåðõíåãî ñîñòîÿíèÿ

425 5 30 275 руб.;

Su kF−=−⋅=

 äëÿ íèæíåãî ñîñòîÿíèÿ

275 5 0 275 руб.

Sd kF−=−⋅=



2. Èíâåñòîð ïîêóïàåò àêöèè è áåçðèñêîâûå àêòèâû. Ïðè ýòîì

ñôîðìèðîâàííûé ïîðòôåëü òî÷íî ïîâòîðÿåò âûïëàòû ïî îïöèîíó

êîëë íà îäíó èç ýòèõ àêöèé. Ïðè÷åì âûïëàòû ïî ýòîìó îïöèîíó îï-

ðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (30.1). Îïðåäåëèì ñîñòàâ ïîðòôåëÿ èç àêöèé

è áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ.

Ïóñòü ñôîðìèðîâàííûé ïîðòôåëü, ýêâèâàëåíòíûé îïöèîíó êîëë,

ñîñòîèò èç áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ íà

b ðóá. è ∆ øòóê àêöèé. Äëÿ ýòèõ

óñëîâèé âûïëàòû ïî ðàññìàòðèâàåìîìó ïîðòôåëþ â âåðõíåì è íèæ-

íåì ñîñòîÿíèÿõ â êîíöå ïåðèîäà

T ïðè óñëîâèè, ÷òî äîõîäíîñòü

áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ðàâíà

δ , ñîñòàâÿò

FSub

δ⋅

=∆+⋅

FSdb

δ⋅

=∆+⋅

Ðåøèâ ýòè óðàâíåíèÿ, íàõîäèì ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà

и:b∆

;e.

ud d u

FF uFdF

Su Sd u d

−δ⋅

−−

∆= = ⋅

−−

(30.5)

Òàê êàê ïëàòåæè, ïîðîæäàåìûå îïöèîíîì êîëë è ïîðòôåëåì,

ðàâíû, ÷òî ñëåäóåò èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è, òî ñîâðåìåííûå ñòîèìî-

ñòè ïîðòôåëÿ è îïöèîíà òàêæå äîëæíû áûòü ðàâíûìè, ò.å.

485

Sb=⋅∆+

(30.6)

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (30.6) ïî öåíå àêöèè, íàéäåì, ÷òî äåëüòà

îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé îò öåíû îïöèîíà ïî öåíå

àêöèè:

∂

∆=

∂

(30.7)

Ñîïîñòàâèâ (30.5) ñ (30.2), íàéäåì òàêæå ñâÿçü ìåæäó äåëüòîé

îïöèîíà è êîýôôèöèåíòîì ïîëíîãî õåäæèðîâàíèÿ:

∆=

(30.8)

 Ïðèìåð 30.2. Óñëîâèÿ ïðèìåðà 30.1.

Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî àêöèé è ñòîèìîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ýêâè-

âàëåíòíîãî ïîðòôåëÿ, à òàêæå öåíó îïöèîíà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (30.6).

Ðåøåíèå.

Êîëè÷åñòâî àêöèé â ýêâèâàëåíòíîì ïîðòôåëå íàõîäèì ïî ïåðâîé ôîð-

ìóëå (30.5):

30 0

0, 2,

425 275

Su Sd

−

∆= = =

−−

ò.å. 0,2 àêöèè.

Ñòîèìîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ýêâèâàëåíòíîãî ïîðòôåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ

ïî âòîðîé ôîðìóëå (30.5). Ïðåäâàðèòåëüíî íàõîäèì

425 275

350 350

ud==

òîãäà

0,131

425 275

030

350 350

ee48,25руб.

425 275

350 350

uF dF

−δ −

⋅− ⋅

−

=⋅= ⋅=−

−

Çíàê ìèíóñ ïåðåä çíà÷åíèåì öåíû áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ îçíà÷àåò, ÷òî

èíâåñòîð çàíÿë ïîä áåçðèñêîâûé ïðîöåíò 48,25 ðóá. íà èõ ïîêóïêó.

Öåíà îïöèîíà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (30.6):

350 0, 2 48,25 21, 75 руб.FS b=⋅∆+= ⋅ − =



30.2. Биноминальная модель цены

европейского однопериодного

опциона пут

Âëàäåëåö îïöèîíà âîñïîëüçóåòñÿ ñâîèì ïðàâîì íà ïðîäàæó àê-

òèâà, åñëè öåíà ýòîãî àêòèâà â ìîìåíò

tT= áóäåò íèæå öåíû èñ-

ïîëíåíèÿ, ò.å. åñëè

Su S< èëè

Sd S< . Ïîýòîìó îïöèîí ïóò áóäåò

èñïîëíåí ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà

0SSu−> è

0SSd−>, â

486

ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûïëàòû áóäóò ðàâíû íóëþ. Ïîýòîìó âûïëàòû

â âåðõíåì è íèæíåì ñîñòîÿíèÿõ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëàì

{}

max 0,

FSSu

FSSd

⎫

=−

⎬

=−

⎭

(30.9)

Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà èíâåñòîð ïîêóïàåò àêöèè è áåçðèñ-

êîâûå àêòèâû. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ íàéäåì öåíó îïöèîíà. Ïóñòü òàê æå,

êàê è ïðåæäå, èíâåñòîð ïîêóïàåò áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ íà b ðóá. è

∆

øòóê àêöèé. Ïðè ýòîì ñôîðìèðîâàííûé ïîðòôåëü òî÷íî ïîâòîðÿåò

âûïëàòû ïî îïöèîíó ïóò, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (30.9), íà îäíó

èç àêöèé.

Äëÿ óêàçàííûõ óñëîâèé âûïëàòû ïî ðàññìàòðèâàåìîìó ïîðòôå-

ëþ â âåðõíåì è â íèæíåì ñîñòîÿíèÿõ â êîíöå ïåðèîäà Ò, òàê æå

êàê è ïðåæäå, ñîñòàâÿò

FSub

δ⋅

=∆+⋅ ;

FSdb

δ⋅

=∆+⋅ .

Ðåøèâ ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà

и b∆ íàäî èñ-

ïîëüçîâàòü ôîðìóëû (30.5).

Òàê êàê ïëàòåæè, ïîðîæäàåìûå îïöèîíîì ïóò è ïîðòôåëåì,

ðàâíû, ÷òî ñëåäóåò èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è, òî ñîâðåìåííûå ñòîèìî-

ñòè ïîðòôåëÿ è îïöèîíà òàêæå äîëæíû áûòü ðàâíûìè, ò.å. äëÿ åå

ðàñ÷åòà íàäî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (30.6).

Äåëüòà îïöèîíà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (30.7), à ñâÿçü

ìåæäó äåëüòîé îïöèîíà è êîýôôèöèåíòîì ïîëíîãî õåäæèðîâàíèÿ —

ñîîòíîøåíèåì (30.8).

Ïðèìåð 30.3. Öåíà ñïîò àêöèè

360

уб.,S =

à öåíà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà

ïóò íà ýòó àêöèþ

395 руб.S =

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àêöèÿ íà ìîìåíò èñïîë-

íåíèÿ (÷åðåç ãîä) áóäåò ñòîèòü ëèáî

425 руб.,Su =

ëèáî

275

уб.Sd =

Áåç-

ðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà

13,1%δ=

ãîäîâûõ.

Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî àêöèé è ñòîèìîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ýêâè-

âàëåíòíîãî ïîðòôåëÿ, à òàêæå öåíó îïöèîíà.

Ðåøåíèå.

Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (30.9),

0 руб., 395 275 120 руб.

FF==−=

Êîëè÷åñòâî àêöèé â ýêâèâàëåíòíîì ïîðòôåëå íàõîäèì ïî ïåðâîé ôîð-

ìóëå (30.5):

0 120

0,8,

425 275

Su Sd

−

∆= = =−

−−

ò.å. –0,8 àêöèè.

Çíàê ìèíóñ ïåðåä çíà÷åíèåì êîëè÷åñòâà àêöèé îçíà÷àåò, ÷òî èíâåñòîð

çàíÿë ïîä áåçðèñêîâûé ïðîöåíò

0,8 360 288 руб.⋅=

íà èõ ïîêóïêó.

487

Ñòîèìîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ýêâèâàëåíòíîãî ïîðòôåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ

ïî âòîðîé ôîðìóëå (30.5). Ïðåäâàðèòåëüíî íàõîäèì

425 275

360 360

ud==

Òîãäà

0,131

425 275

120 0

360 360

e e 298,25 руб.

425 275

360 360

uF dF

−δ −

⋅− ⋅

−

=⋅= ⋅=

−

Öåíà îïöèîíà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (30.6):

360 0,8 298,25 10, 25 руб.FS b=⋅∆+=− ⋅ + =



30.3. Взаимосвязь цен европейских

однопериодных опционов колл и пут

Îáîçíà÷èì öåíû îïöèîíîâ êîëë è ïóò и

KП

FF ñîîòâåòñòâåííî.

Öåíó îïöèîíà â îáùåì âèäå ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ïîäñòàâèâ â (30.6)

ôîðìóëó (30.5). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

(

)

(

)

1e 1e .

FFdFu

−δ −δ

⎡⎤

=−−−

⎢⎥

⎣⎦

−

(30.10)

Ïîäñòàâèâ â ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó (30.1), íàéäåì öåíó îïöèîíà

êîëë:

(

)

{}

(

)

{}

1e max0, 1e max0, .

FdSuSuSdS

−δ −δ

⎡⎤

=− −−− −

⎢⎥

⎣⎦

−

(30.11)

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà öåíû îïöèîíà ïóò ïîäñòà-

âèì â (30.10) ñîîòíîøåíèå (30.9):

(

)

{}

(

)

{}

1e max0, 1e max0, .

FdSSuuSSd

−δ −δ

⎡⎤

=− −−− −

⎢⎥

⎣⎦

−

(30.12)

Âû÷èòàÿ (30.11) èç (30.12), íàéäåì

(

)

{}{}

()

{}{}

1e max0, max0,

ПK

dSSuSuS

uSSdSdS

−δ

⎡⎤

−−−−−

⎣⎦

⎢⎥

−=

⎢⎥

−

⎡⎤

−− − − −

⎣⎦

(30.13)

Âîçìîæíû òðè âàðèàíòà çíà÷åíèé öåíû ïîñòàâêè ïðè ïðåîáðà-

çîâàíèè ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ (ðèñ. 30.2): 1) Sd < S

< Su;

2) S

> Su; 3) S

< Sd.

488

Ðèñ. 30.2. Òðè âàðèàíòà çíà÷åíèé öåíû ïîñòàâêè

Â êàæäîé èç òðåõ ñèòóàöèé âûðàæåíèå (30.13) ñâîäèòñÿ ê îäíîé

è òîé æå ôîðìóëå. Ðàññìîòðèì ïåðâóþ èç íèõ, â ýòîì ñëó÷àå

{} {}

000

00 0

max 0, 0; max 0, ;

max 0, ; max 0, 0.

S Su Su S Su S

S Sd S Sd Sd S

−= −=−

−=− −=

Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ â (30.13), íàéäåì

(

)

()

(

)

()

1e 1e

ПK

FF d SuS u SSd

−δ −δ

−δ

⎡⎤

−= −− −−− − =

⎢⎥

⎣⎦

−

=− +

Îòñþäà ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ âçàèìîñâÿçè öåí åâðîïåéñêèõ îä-

íîïåðèîäíûõ îïöèîíîâ êîëë è ïóò:

ПK

FFSS

−δ

−+= (30.14)

Èç ýòîé ôîðìóëû, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî öåíà ïîðòôåëÿ, ñî-

ñòîÿùåãî èç àêöèè, êóïëåííîãî îïöèîíà ïóò (èíâåñòîð ïëàòèò ïðåìèþ

â ðàçìåðå F

) è ïðîäàííîãî îïöèîíà êîëë (èíâåñòîð ïîëó÷àåò ïðåìèþ

â ðàçìåðå F

), ðàâíà ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè îò öåíû èñïîëíåíèÿ,

äèñêîíòèðîâàííîé íà íàñòîÿùèé ìîìåíò ïî áåçðèñêîâîé ñèëå ðîñòà.

30.4. Биноминальная модель цены

европейского двухпериодного

опциона колл

Äëÿ äâóõïåðèîäíîé áèíîìèíàëüíîé ìîäåëè åâðîïåéñêîãî îï-

öèîíà êîëë âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ öåí ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 30.3.

Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå î á î ç í à ÷ å í è ÿ:

S — öåíà ñïîò (òåêóùàÿ öåíà) àêöèè;

Su — âûñîêàÿ öåíà àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà;

489

Sd — íèçêàÿ öåíà àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà;

Suu — âûñîêàÿ öåíà àêöèè â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà ïðè âûñîêîé öåíå

àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà;

Sud — íèçêàÿ öåíà àêöèè â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà ïðè âûñîêîé öåíå

àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà;

Sdu — âûñîêàÿ öåíà àêöèè â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà ïðè íèçêîé öåíå

àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà;

Sdd

— íèçêàÿ öåíà àêöèè â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà ïðè íèçêîé öåíå

àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà;

S — öåíà èñïîëíåíèÿ â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà;

δ — áåçðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà;

F — öåíà îïöèîíà.

Ðèñ. 30.3. Äâóõïåðèîäíàÿ ìîäåëü îïöèîíà

Âûïëàòû â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëàì

{}

max 0, ;

max 0, .

F Suu S

FSudS

F Sdu S

FSddS

⎫

=−

⎪

=−

⎪

⎬

=−

⎪

=−

⎪

⎭

(30.15)

Ïîëîæèì, ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå,

Suu S> . Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

åñëè

Suu S< , öåíà îïöèîíà ðàâíà íóëþ. Äëÿ ðàñ÷åòà òåêóùåé öå-

íû îïöèîíà (äëÿ ìîìåíòà t = 0) ïî õàðàêòåðèñòèêàì îïöèîíà,

èìåþùèì ìåñòî â ìîìåíò

2tT= , ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ôîð-

ìóëà (30.4), çàïèñàííàÿ â âèäå

Su kF

−δ⋅

−

=−

490

ãäå êîýôôèöèåíò ïîëíîãî õåäæèðîâàíèÿ k ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå

Su Sd

−

;

— öåíà îïöèîíà â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà äëÿ

âûñîêîé è íèçêîé öåí àêöèè â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà ñîîòâåòñò-

âåííî.

Äëÿ ðàñ÷åòà öåíû îïöèîíà êîëë íàäî çíàòü öåíû и

FF. Äëÿ

îïðåäåëåíèÿ ýòèõ öåí òàêæå èñïîëüçóþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (30.4) è

(30.2). Ïðè ýòîì õàðàêòåðèñòèêè äëÿ êîíöà ïåðâîãî ïåðèîäà ðàñ-

ñ÷èòûâàþòñÿ ïî õàðàêòåðèñòèêàì äëÿ êîíöà âòîðîãî ïåðèîäà. Òàêèì

îáðàçîì, âûðàæåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà

FF ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

uuu

Suu k F

−δ

−

=−

ãäå ;

uu ud

Suu Sud

−

ddu

Sdu k F

−δ

−

=−

ãäå

du dd

Sdu Sdd

−

30.5. Биноминальная модель цены

европейского многопериодного

опциона колл

Ïðîâåäåííûå â § 30.4 èññëåäîâàíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè íà îñíîâå

ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïðè ýòîì áèíîìèíàëüíàÿ ìîäåëü öåíû

ìíîãîïåðèîäíîãî åâðîïåéñêîãî îïöèîíà êîëë ìîæåò áûòü òàêæå

ïîñòðîåíà íà îñíîâå ïîðòôåëÿ èç àêöèé è áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ.

Äëÿ îäíîïåðèîäíîãî îïöèîíà êîëë öåíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì

(30.4), (30.6) è (30.10). Ôîðìóëó (30.10) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

ee,

FF F

ud ud

δδ

−δ − δ

−−

(30.16)

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

−

(30.17)

Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

ud ud

δ⋅ δ⋅

−−

−=− =

−−

(30.18)

Ïîäñòàâèâ (30.17) è (30.18) â (30.16), ïîëó÷èì

()

1e.

FpF pF

−δ⋅

=+− ⋅

⎡⎤

⎣⎦

(30.19)

Èç ôîðìóë (30.17) è (30.18) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ñîîò-

íîøåíèÿ

<< ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

01.p<< (30.20)

491

Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà p óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì, ïðåäú-

ÿâëÿåìûì ê âåðîÿòíîñòè. Åñëè

p ðàññìàòðèâàòü êàê âåðîÿòíîñòü,

òî íà ðàññìîòðåííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî âçãëÿíóòü ïî-

íîâîìó. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (30.19) öåíà îïöèîíà êîëë ÿâëÿåòñÿ ñðåä-

íåé öåíîé â ìîìåíò

tT= , äèñêîíòèðîâàííîé ïî áåçðèñêîâîé ñèëå

ðîñòà

δ íà íà÷àëüíûé ìîìåíò 0t = . Âåñàìè îñðåäíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ

âåðîÿòíîñòü

p ïîÿâëåíèÿ áóäóùåé öåíû

F è âåðîÿòíîñòü

1 p−

ïîÿâëåíèÿ áóäóùåé öåíû

F . Ðàññìîòðåííûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ

íåéòðàëüíîé ê ðèñêó îöåíêîé.

Ìåòîä íåéòðàëüíîé ê ðèñêó îöåíêè èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìíîãîïå-

ðèîäíûõ ìîäåëåé. Ïðè ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñ÷èòàþò, ÷òî âåëè÷èíû

,иud δ ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Åñëè èíòåðâàë T ðàçáèâàåòñÿ íà

äâà ïåðèîäà, òî ïðè èçâåñòíûõ

FF â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà

ôîðìóëà (30.19) ïðèíèìàåò âèä

()

1e.

FpF pF

−δ⋅

=+− ⋅⎡⎤

⎣⎦

(30.21)

Ôîðìóëà (30.19) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà è äëÿ îïðåäåëåíèÿ

FF ïðè èçâåñòíûõ âåëè÷èíàõ ,, и

uu ud du dd

FFF F, îïðåäåëÿåìûõ

ñîîòíîøåíèÿìè (30.15). Òàêèì îáðàçîì,

()

1e;

uuu ud

FpF pF

−δ⋅

=+− ⋅

⎡⎤

⎣⎦

(30.22)

()

1e.

ddu dd

FpF pF

−δ⋅

=+− ⋅⎡⎤

⎣⎦

(30.23)

Ïîäñòàâèâ ( 30.22) è (30.23) â (30.21) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî

ud du

FF= ,

ïîëó÷èì

() ()

(

)

()

{}

121 e

e1max0,.

dd ud uu

Ti ii

FpFppFpF

pp SudS

−δ⋅

−

−δ⋅ −

⎡⎤

=− + − + =

⎢⎥

⎣⎦

=− −

∑

(30.24)

Îáîçíà÷èì

(

)

()

ini

−

, ãäå n — êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ ìîäåëè.

Äëÿ

2n = èìååì

(

)

()

!2 !

−

. Ïðè 0i = (ïåðâîå ñëàãàåìîå â (30.24))

ïîëó÷èì

(

)

()

0! 2 0 !

−

, ïðè 1i = (âòîðîå ñëàãàåìîå â (30.24)) ïîëó-