Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

502

Ñêàçàííîå ïîçâîëÿåò óïðàâëÿòü ïîðòôåëåì, ñîñòîÿùèì èç àêöèé

è âûïèñàííûõ îïöèîíîâ êîëë íà íèõ. Ïðè èçìåíåíèè öåíû àêöèè

èíâåñòîð ïî íîâîé äåëüòå ìîæåò ñôîðìèðîâàòü íîâûé õåäæèðîâàí-

íûé ïîðòôåëü.

Òàê êàê â õåäæèðîâàííîì ïîðòôåëå íà îäèí ïðîäàííûé îïöèîí

êîëë ïðèõîäèòñÿ ñ àêöèé, ãäå

с =∆, òî â õåäæèðîâàííûé ïîðòôåëü

ïðîäàííûìè îïöèîíàìè âõîäèò

сК=∆ àêöèé. Òàêèì îáðàçîì,

êîëè÷åñòâî âõîäÿùèõ â õåäæèðîâàííûé ïîðòôåëü àêöèé

С è îï-

öèîíîâ

К îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

.СК=∆ (30.33)

 Ïðèìåð 30.8. Èíâåñòîð ôîðìèðóåò ïîðòôåëü èç àêöèé è 200 âûïè-

ñàííûõ îïöèîíîâ êîëë. Äåëüòà îïöèîíà â ìîìåíò ôîðìèðîâàíèÿ ðàâíà 0,4.

Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî àêöèé õåäæèðîâàííîãî ïîðòôåëÿ.

Ðåøåíèå.

Êîëè÷åñòâî àêöèé õåäæèðîâàííîãî ïîðòôåëÿ íàõîäèì ïî ôîðìóëå (30.33):

200 200 0, 4 80.С =⋅∆=⋅=

Òàêèì îáðàçîì, õåäæèðîâàííûé ïîðòôåëü ñîñòîèò èç 200 âûïèñàííûõ

îïöèîíîâ êîëë è 80 àêöèé. 

Àíàëîãè÷íîå õåäæèðîâàíèå ìîæíî ïðîâåñòè òàêæå ïðè ïîìîùè

îïöèîíîâ ïóò. Ðàññìîòðèì ïîðòôåëü, ñîñòîÿùèé èç

∆ àêöèé è îä-

íîãî êóïëåííîãî îïöèîíà ïóò. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè öåíû îïöèîíà

ïóò îò öåíû àêòèâà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 30.8 (âåðõíÿÿ êðèâàÿ).

F∆

∆

SS−∆

∆



Ðèñ. 30.8. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ïîêàçàòåëåé îïöèîíà ïóò

îò öåíû àêòèâà

Íèæíÿÿ êðèâàÿ (ñì. ðèñ. 30.8) ÿâëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ äåëüòû îï-

öèîíà îò öåíû àêöèè. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ öåíû îïöèîíà îò öåíû àê-

öèè óáûâàþùàÿ, òî äåëüòà îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîé âåëè÷è-

íîé. Èçìåíÿåòñÿ äåëüòà îïöèîíà îò –1 äî 0. Èíâåñòîð ïîêóïàåò

îïöèîí ïóò è

∆ àêöèé. Õåäæèðîâàííûé ïîðòôåëü ñîñòàâëåí äëÿ òî÷-

503

êè S (ñì. ðèñ. 30.8). Ïóñòü öåíà àêöèè ïîíèçèëàñü íà S∆ . Ýòî ïðèâå-

äåò ê ñíèæåíèþ öåíû ïîðòôåëÿ íà

S∆⋅∆. Öåíà îïöèîíà ïóò âîçðàñòåò

ïðè ýòîì íà âåëè÷èíó

tg ,FS S=∆ ⋅ α=∆ ⋅∆ ÷òî ïðèâåäåò ê óâåëè÷åíèþ

öåíû ïîðòôåëÿ. Â ðåçóëüòàòå öåíà ïîðòôåëÿ îñòàíåòñÿ ïðåæíåé.

Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå õåäæèðîâà-

íèå. Ñõåìà ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ïîêàçàíà íà ðèñ. 30.9.

Ðèñ. 30.9. Ñõåìà ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ

Èíâåñòîð ïðîäàë åâðîïåéñêèé îïöèîí êîëë â ìîìåíò 0t = . Â ýòîò

ìîìåíò öåíà àêöèè ìåíüøå öåíû èñïîëíåíèÿ

SS< . Åñëè ýòî ñî-

îòíîøåíèå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ äî ìîìåíòà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà, òî

èíâåñòîðó íå íóæíî ïðèîáðåòàòü àêöèþ, ÷òîáû ïîêðûòü îïöèîí,

òàê êàê îïöèîí íå áóäåò èñïîëíåí. Â ñëó÷àå ïðåâûøåíèÿ ðûíî÷íîé

öåíû àêöèè íàä öåíîé ïîãàøåíèÿ â ìîìåíò, ëåæàùèé íåñêîëüêî

ïðàâåå òî÷êè

tt= , èíâåñòîð êóïèò àêöèþ, ÷òîáû ïîêðûòü îïöèîí.

Â òî÷êå

tt= èíâåñòîð ïðîäàñò àêöèþ, â òî÷êå

tt= êóïèò, â òî÷êå

tt= ïðîäàñò. Åñëè â ìîìåíò èñïîëíåíèÿ ó èíâåñòîðà áóäåò àêöèÿ,

îí ïðîäàñò åå ïðè èñïîëíåíèè îïöèîíà ïîêóïàòåëþ îïöèîíà ïî

öåíå

S , ò.å. ïî òîé æå öåíå, ÷òî è êóïèë, à åãî ïðèáûëü ñîñòàâèò

ïðåìèÿ çà îïöèîí. Åñëè â ìîìåíò èñïîëíåíèÿ ó èíâåñòîðà íå áóäåò

àêöèè, òî îïöèîí íå áóäåò èñïîëíåí, à åãî ïðèáûëü òàêæå ñîñòàâèò

ïðåìèÿ çà îïöèîí. Ýòè ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû ïðè îòñóòñòâèè

íàêëàäíûõ ðàñõîäîâ è ïðè ðàâåíñòâå öåí ïîêóïêè è ïðîäàæè àêöèè

öåíå èñïîëíåíèÿ. Êàê ïðàâèëî, öåíà ïðîäàæè íèæå öåíû èñïîëíå-

íèÿ, à öåíà ïîêóïêè âûøå öåíû èñïîëíåíèÿ. Ýòî ïðèâåäåò ê äî-

ïîëíèòåëüíûì ðàñõîäàì äëÿ èíâåñòîðà. Ïîýòîìó åñëè êîëåáàíèÿ

êðèâîé öåíû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé

SS< äîñòàòî÷íî ÷àñòû, òî

ðàñõîä ìîæåò ïðåâûñèòü äîõîä.

30.10. Активы с чертами опционов. Варант

Âàðàíò — ýòî îïöèîí êîëë, âûïèñàííûé ïðåäïðèÿòèåì íà ñâîè

àêöèè. Â îòëè÷èå îò îïöèîíîâ êîëë âàðàíòû âûïèñûâàþòñÿ â îãðà-

íè÷åííîì êîëè÷åñòâå. Îáùåå êîëè÷åñòâî âàðàíòîâ îïðåäåëåííîãî

504

òèïà ñîêðàùàåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ìåðå èõ èñïîëíåíèÿ. Èñïîëíåíèå

âàðàíòîâ âåäåò èõ ê ïîñòîÿííîìó ñîêðàùåíèþ, â òî âðåìÿ êàê èñ-

ïîëíåíèå îïöèîíîâ êîëë íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà ïîëîæåíèè ïðåä-

ïðèÿòèÿ-ýìèòåíòà. Îáû÷íî âàðàíòû âûïèñûâàþòñÿ íà äëèòåëüíûé

ñðîê (íà 5 ëåò è âûøå). Âûïèñûâàþòñÿ áåññðî÷íûå âàðàíòû.

Èíîãäà âàðàíòû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äî äàòû ïîãàøåíèÿ, êàê

àìåðèêàíñêèå îïöèîíû êîëë, èíîãäà äî ìîìåíòà ïîãàøåíèÿ äîëæåí

ïðîéòè îïðåäåëåííûé ñðîê. Öåíà èñïîëíåíèÿ ìîæåò áûòü ôèêñè-

ðîâàííîé èëè èçìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì. Íà÷àëüíàÿ öåíà èñïîëíå-

íèÿ, êàê ïðàâèëî, óñòàíàâëèâàåòñÿ âûøå, à ÷àñòî ñóùåñòâåííî âû-

øå ðûíî÷íîé öåíû àêöèè.

Îäèí âàðàíò äàåò ïðàâî âëàäåëüöó êóïèòü îäíó àêöèþ. Äàëüíåéøåå

äðîáëåíèå àêöèé íà

m øòóê äàåò ïðàâî âëàäåëüöó êóïèòü m àêöèé.

Óñëîâèÿ âàðàíòà ïðèâîäÿòñÿ â ñîãëàøåíèè î âàðàíòå, â êîòî-

ðîì, â ÷àñòíîñòè, îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿ çàùèòû äåðæàòåëÿ âàðàíòà.

Права

Ïðàâî, êàê è âàðàíò, — ýòî îïöèîí êîëë, âûïèñàííûé ïðåä-

ïðèÿòèåì íà ñâîè àêöèè. Ýòîò èíñòðóìåíò äàåò àêöèîíåðàì ïðå-

èìóùåñòâåííûå ïðàâà ïðè ïðèîáðåòåíèè âíîâü âûïóñêàåìûõ

îáûêíîâåííûõ àêöèé. Äëÿ ýòèõ öåëåé êàæäàÿ àêöèÿ, íàõîäÿ-

ùàÿñÿ â îáðàùåíèè, ïîëó÷àåò îäíî ïðàâî. Ïîäïèñíàÿ öåíà íà íî-

âûå àêöèè óñòàíàâëèâàåòñÿ íèæå öåíû ýòîé àêöèè. Ïðè ïîêóïêå

íîâîé àêöèè àêöèîíåð âûïëà÷èâàåò ñóììó, ðàâíóþ ïîäïèñíîé öå-

íå. Íîâûé èíâåñòîð ïåðåä ïîêóïêîé àêöèè ïîêóïàåò ïðàâî, òàê ÷òî

åãî çàòðàòû áóäóò ðàâíû ðûíî÷íîé öåíå àêöèè.

Â îòëè÷èå îò âàðàíòîâ ïðàâà èìåþò êîðîòêèé ñðîê èñïîëíåíèÿ

(0,5÷2,5 ìåñ.). Äî çàäàííîé äàòû ñòàðûå àêöèè ïðîäàþòñÿ âìåñòå

ñ ïðàâàìè ïî öåíå, ðàâíîé öåíå àêöèè ïëþñ öåíà ïðàâà.

Облигации с условием отзыва

Îáëèãàöèÿ ñ óñëîâèåì îòçûâà ïîçâîëÿåò ýìèòåíòó âûêóïèòü åå

äî äàòû ïîãàøåíèÿ ïî öåíå, êàê ïðàâèëî, ïðåâûøàþùåé íîìèíàë.

Òàêàÿ îïåðàöèÿ ýêâèâàëåíòíà îäíîâðåìåííîé ïðîäàæå ïðîñòîé îá-

ëèãàöèè è ïîêóïêå îïöèîíà êîëë. Ïðîäàâàÿ îáëèãàöèþ ñ óñëîâèåì

îòçûâà, ôèðìà îïëà÷èâàåò îïöèîí êîëë çà ñ÷åò áîëåå íèçêîé öåíû

îáëèãàöèè. Ïðîäàâöîì îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ ïîêóïàòåëü îáëèãàöèè.

Îáû÷íî îáëèãàöèÿ ìîæåò áûòü îòîçâàíà ïî ïðîøåñòâèè äëèòåëüíî-

ãî âðåìåíè (5 ëåò è áîëåå).

Конвертируемая бумага

Êîíâåðòèðóåìàÿ áóìàãà — ýòî ôèíàíñîâûé èíñòðóìåíò, êîòî-

ðûé ìîæåò áûòü êîíâåðòèðóåìûì â äðóãèå öåííûå áóìàãè äàííîãî

ïðåäïðèÿòèÿ. Íàïðèìåð, ýòî ìîãóò áûòü îáëèãàöèè èëè ïðèâèëåãè-

ðîâàííûå àêöèè, êîíâåðòèðóåìûå â îáûêíîâåííûå àêöèè.

505

Ïóñòü êîíâåðòèðóåìàÿ îáëèãàöèÿ èìååò íîìèíàë

S . Ýòó îáëè-

ãàöèþ ìîæíî îáìåíÿòü íà

m îáûêíîâåííûõ àêöèé. Âåëè÷èíó m

íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì êîíâåðñèè, à îòíîøåíèå

— öå-

íîé êîíâåðñèè. Êîýôôèöèåíò êîíâåðñèè è öåíà êîíâåðñèè óñòà-

íàâëèâàþòñÿ ïðè âûïóñêå êîíâåðòèðóåìîé áóìàãè. Öåíà êîíâåðñèè

óñòàíàâëèâàåòñÿ âûøå ðûíî÷íîé ñòîèìîñòè îáëèãàöèè. Ïîýòîìó

èíâåñòîðó ïðèõîäèòñÿ æäàòü, ïîêà ðûíî÷íàÿ öåíà àêöèè íå ïðåâû-

ñèò öåíó êîíâåðñèè. Êîíâåðñèîííàÿ ñòîèìîñòü îáëèãàöèè îïðåäå-

ëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

SmP= , ãäå

— ðûíî÷íàÿ öåíà àêöèè.

Êîíâåðñèîííàÿ äîõîäíîñòü ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå

−

×àñòî êîíâåðòèðóåìûå áóìàãè âûïóñêàþòñÿ ñ óñëîâèåì îòçûâà.

Öåíà îòçûâà

от

S áîëüøå íîìèíàëà

S , ò.å.

0от

SS> . Åñëè íà äàí-

íûé ìîìåíò êîíâåðñèîííàÿ ñòîèìîñòü

от

SS> , òî ïðåäïðèÿòèå

ìîæåò ïîáóäèòü èíâåñòîðà îñóùåñòâèòü êîíâåðñèþ, ïîñëàâ ñîîáùå-

íèå îá îòçûâå. Ïðè ýòîì èíâåñòîð ìîæåò îñóùåñòâèòü êîíâåðñèþ,

ïîëó÷èâ àêöèè íà ñóììó

SmP= , èëè ïîëó÷èòü ñóììó

от

S . Òàêèì

îáðàçîì, îáëèãàöèÿ ñ óñëîâèåì îòçûâà íå òîëüêî ìîæåò áûòü îáìåíåíà

íà àêöèè, íî è ïðåäïðèÿòèå èìååò ïðàâî êóïèòü åå ó èíâåñòîðà. Òàêàÿ

îáëèãàöèÿ ñîäåðæèò äâîéíîé îïöèîí, ò.å. èíâåñòîð èìååò ïðàâî îáìå-

íÿòü îáëèãàöèþ íà àêöèè, à ïðåäïðèÿòèå èìååò ïðàâî âûêóïèòü îáëè-

ãàöèþ ó èíâåñòîðà.

Â ïðàêòèêå âñòðå÷àþòñÿ ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå êîíâåðòèðóåìûå

áóìàãè.

Упражнения

ЗАДАЧИ

30.1. Â ìîìåíò çàêëþ÷åíèÿ êîíòðàêòà öåíà àêöèè

28 руб.S = Öåíà

èñïîëíåíèÿ îïöèîíà êîëë ÷åðåç ãîä íà ýòó àêöèþ

30 руб.S = Ïðåäïîëà-

ãàåòñÿ, ÷òî àêöèÿ íà ìîìåíò èñïîëíåíèÿ áóäåò ñòîèòü ëèáî

40 руб.,Su =

ëèáî

20 руб.Sd = Âåëè÷èíó áåçðèñêîâîé ñèëû ðîñòà ïðèíÿòü 10%δ= .

Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïîëíîãî õåäæèðîâàíèÿ, öåíó îïöèîíà,

ñòîèìîñòü ïîðòôåëÿ, ñîñòîÿùåãî èç îäíîé àêöèè è ïðîäàííûõ îï-

öèîíîâ êîëë, áóäóùèå ïëàòåæè, à òàêæå êîëè÷åñòâî àêöèé è ñòîè-

ìîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ýêâèâàëåíòíîãî ïîðòôåëÿ.

30.2. Öåíà ñïîò àêöèè

28 руб.,S = à öåíà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà ïóò

íà ýòó àêöèþ

30 руб.S = Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àêöèÿ íà ìîìåíò èñ-

506

ïîëíåíèÿ (÷åðåç ãîä) áóäåò ñòîèòü ëèáî 40 руб.,Su = ëèáî 20 руб.Sd =

Áåçðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà

10%δ= ãîäîâûõ. Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî àê-

öèé è ñòîèìîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ýêâèâàëåíòíîãî ïîðòôåëÿ,

à òàêæå öåíó îïöèîíà.

30.3. Ïî äàííûì ïðèìåðà 30.1 îïðåäåëèòü öåíó îïöèîíà ïóò

ñ òåìè æå õàðàêòåðèñòèêàìè.

30.4. Öåíà ñïîò àêöèè ðàâíà

уб.S = Öåíà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà

êîëë ÷åðåç ãîä íà ýòó àêöèþ

30 руб.S = Áåçðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà

5%δ= ãîäîâûõ. Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèÿ öåíû àêöèè â êîíöå ãîäà

0, 2.

σ= Ïåðèîä ðàçáèåíèÿ ñîñòàâëÿåò 4 ìåñ., ò.å. 3.n = Îïðåäåëèòü

âåðîÿòíîñòü ïîâûøåíèÿ è ïîíèæåíèÿ êóðñà àêöèè ÷åðåç 4 ìåñ. è

ïîñòðîèòü äåðåâî ðàñïðåäåëåíèÿ öåí àêöèè è îïöèîíà.

30.5. Öåíà ñïîò àêöèè ðàâíà

28 руб.S = Öåíà èñïîëíåíèÿ ÷åðåç

ãîä íà ýòó àêöèþ

30 руб.S = Áåçðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà 5%δ= ãîäîâûõ.

Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå öåíû àêöèè â êîíöå ãîäà

0, 2

σ= . Îïðåäå-

ëèòü öåíó îïöèîíà êîëë è îïöèîíà ïóò ñ óêàçàííûìè õàðàêòåðè-

ñòèêàìè ïî ôîðìóëå Áëýêà—Øîóëçà.

30.6. Èíâåñòîð ôîðìèðóåò ïîðòôåëü èç 100 àêöèé è âûïèñàííûõ

îïöèîíîâ êîëë. Äåëüòà îïöèîíà â ìîìåíò ôîðìèðîâàíèÿ ðàâíà 0,5.

Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî âûïèñàííûõ îïöèîíîâ êîëë õåäæèðîâàííî-

ãî ïîðòôåëÿ.

Часть1

ПОНЯТИЕ

ИНВЕСТИЦИОННОГО

ПОРТФЕЛЯ

ЦЕННЫХ БУМАГ

Глава 31

ДОХОДНОСТЬ И РИСК

ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Глава 32

СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ

Часть 7

508

ДОХОДНОСТЬ И РИСК

ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

31.1. Характеристики портфеля ценных бумаг

31.2. Портфель из двух типов ценных бумаг

31.3. Оптимальный портфель

31.4. Оптимальный портфель с добавлением

безрисковых ценных бумаг

31.5. Рыночный портфель

31.6. Оценка статистических характеристик ценных

бумаг

31.7. Эффективный рынок ценных бумаг

31.1. Характеристики

портфеля ценных бумаг

Åñëè èíâåñòîð ïîêóïàåò öåííûå áóìàãè õîòÿ áû äâóõ âèäîâ, íà-

ïðèìåð àêöèè Ãàçïðîìà è àêöèè Ðîñòåëåêîìà, òî ãîâîðÿò î ïîðòôå-

ëå öåííûõ áóìàã.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîðòôåëü ñîñòàâëåí èç n-ãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ

âèäîâ öåííûõ áóìàã. Äîõîäíîñòè êàæäîé öåííîé áóìàãè ÿâëÿþòñÿ

ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü x

— äîëÿ îò îáùåãî âëîæåíèÿ,

ïðèõîäÿùàÿñÿ íà j-é âèä öåííûõ áóìàã, ïîä÷èíÿþùàÿñÿ ñîîòíîøåíèþ

∑

(31.1)

Îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü (ýôôåêòèâíîñòü)

j-é öåííîé áóìàãè,

âõîäÿùåé â ïîðòôåëü, ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì äîõîä-

íîñòè ýòîé öåííîé áóìàãè. Îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ, ÿâ-

ëÿþùàÿñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì îò ñóììàðíîé äîõîäíîñòè

âõîäÿùèõ â ïîðòôåëü öåííûõ áóìàã, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

axa

∑

(31.2)

Â ïîäðàçäåëå 24.3.2. ìåðîé ðèñêà îïðåäåëåíî ñðåäíåå êâàäðà-

òè÷íîå îòêëîíåíèå èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïîýòîìó ìå-

ðîé ðèñêà ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã áóäåì ñ÷èòàòü ñðåäíåå êâàäðà-

òè÷íîå îòêëîíåíèå åãî äîõîäíîñòè, âû÷èñëÿåìîå êàê êîðåíü

êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè.

Глава 31

509

Äèñïåðñèÿ äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

ijij

σ= σ

∑∑

, (31.3)

ãäå

— êîâàðèàöèÿ ñëó÷àéíûõ äîõîäíîñòåé i-é è j-é öåííûõ áóìàã,

âû÷èñëÿåìàÿ ïî ôîðìóëå

()

(

)

{

}

ij i i j j

EA a A aσ= − − (31.4)

ãäå Å — îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ;

— ñëó÷àéíûå

äîõîäíîñòè i-é è j-é öåííûõ áóìàã ñîîòâåòñòâåííî.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýôôåêòèâíîñòè ðàçëè÷íûõ öåííûõ áóìàã íåêîð-

ðåëèðîâàííû, ò.å.

0при

ijσ= ≠

. Òîãäà (31.4) ïðèíèìàåò âèä

()

{}

jj j j j

EA aσ= − =σ (31.5)

Òàêèì îáðàçîì, åñëè

0при

ijσ= ≠

, òî êîâàðèàöèÿ -й

öåí-

íîé áóìàãè ðàâíà åå äèñïåðñèè. Â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà äëÿ äèñïåð-

ñèè äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã (31.3) ïðèîáðåòàåò âèä

222

σ= σ

∑

(31.6)

Åñëè äåíüãè âëîæåíû â öåííûå áóìàãè ðàâíûìè ÷àñòÿìè, ò.å.

xn=

, òî ôîðìóëû (31.2) è (31.6) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

;

∑

(31.7)

σ= σ

∑

(31.8)

Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü óìåíüøåíèÿ ðèñêà ñíèæåíèÿ äîõîäíîñòè

çà ñ÷åò äèâåðñèôèêàöèè (ðàçíîîáðàçèÿ) ïîðòôåëÿ. Åñëè â ïðàâóþ

÷àñòü (31.8) âìåñòî âñåõ

σ ïîäñòàâèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äèñ-

ïåðñèè

max

σ èç âñåãî íàáîðà äèñïåðñèé

σ , òî ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

max

σ≤ σ

∑

510

Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ðàâíà

max

max max

σ= σ=

∑

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

max

σ≤

(31.9)

Èç âûðàæåíèÿ (31.9) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðîñòå ÷èñëà âèäîâ öåííûõ

áóìàã

, äîõîäíîñòè êîòîðûõ íåêîððåëèðîâàíû, ðèñê ïîðòôåëÿ

óìåíüøàåòñÿ è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè

n →∞. Ýòîò ðåçóëüòàò íàçû-

âàåòñÿ ýôôåêòîì äèâåðñèôèêàöèè ïîðòôåëÿ.

Äëÿ àíàëèçà êîððåëÿöèè íà âåëè÷èíó ðèñêà ïîðòôåëÿ öåííûõ

áóìàã â ôîðìóëå äëÿ äèñïåðñèè äîõîäíîñòè (31.3) âûðàçèì êîâàðèà-

öèþ ñëó÷àéíûõ äîõîäíîñòåé

÷åðåç êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè

ρ=

σσ

(31.10)

Òîãäà (31.3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

()

ii j j ij

σ= σ σ ρ

∑∑

(31.11)

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîëíîé ïðÿìîé êîððåëÿöèè

è ñëó÷àé

ïîëíîé îáðàòíîé êîððåëÿöèè

ρ=−

. Ïðè

ρ=

èìååì

()

11 1 1 1

nn n n n

ii j j ii j j j j

ij i j j

xx x x x

== = = =

⎛⎞⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

σ= σ σ = σ σ = σ

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠⎝⎠

∑∑ ∑ ∑ ∑

òàê êàê ïðè ñóììèðîâàíèè ïî ëþáîé ïåðåìåííîé ïîëó÷èì îäèí

è òîò æå ðåçóëüòàò.

Åñëè äåíüãè âëîæåíû â öåííûå áóìàãè ðàâíûìè ÷àñòÿìè, ò.å.

n= , òî

;

⎛⎞

⎜⎟

σ= σ

⎜⎟

⎝⎠

∑

σ= σ

∑

Ïðè èçìåíåíèè ñîñòàâà ïîðòôåëÿ çà ñ÷åò îòêëîíåíèÿ

îò 1 n

â òó èëè èíóþ ñòîðîíó ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå áóäåò íåñêîëüêî

óâåëè÷èâàòüñÿ èëè óìåíüøàòüñÿ, ò.å. áóäåò ëåæàòü â èíòåðâàëå

min max

σ≤σ≤σ

511

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ïîðòôåëÿ

ïðè ïîëíîé ïðÿìîé êîððåëÿöèè äîõîäíîñòåé âñåõ öåííûõ áóìàã

áóäåò èìåòü òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå îòäåëü-

íûõ öåííûõ áóìàã, ò.å. äèâåðñèôèêàöèÿ íå äàåò ïîëîæèòåëüíî-

ãî ýôôåêòà.

Ïðè ïîëíîé îáðàòíîé êîððåëÿöèè, ò.å. ïðè

=−

, ðàññìîòðèì

ñëó÷àé äâóõ öåííûõ áóìàã. Äëÿ

ij= âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòà

êîððåëÿöèè, îïðåäåëÿåìîé ôîðìóëîé (31.10) , ïðèíèìàåò âèä

jj j

jj jj

σσ

ρ===

σσ σσ

. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ( 31.11) è ó÷èòû-

âàÿ, ÷òî

2n = , ïîëó÷èì

()

22222

11 22 11 22 11 22

piijjij

xx x x xx xx

σ= σ σ ρ=σ+σ−σσ=σ−σ

∑∑

Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîëíîé îáðàòíîé êîððå-

ëÿöèè äèñïåðñèÿ äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ ìîæåò áûòü ðàâíà íóëþ, ò.å.

ðèñê îòñóòñòâóåò. Ýòî èìååò ìåñòî ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùåãî

ñîîòíîøåíèÿ:

11 2 2

.xxσ=σ

Ñîñòàâ òàêîãî ïîðòôåëÿ ìîæíî îïðåäåëèòü, ðåøèâ ñèñòåìó èç ïîëó-

÷åííîãî óðàâíåíèÿ è óðàâíåíèÿ äëÿ äîëåé ïîðòôåëÿ (10.1), ò.å.

⎧

⎪

⎨

−=

⎪

⎩

Ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû èìåþò âèä

;

σσ

+σ σ

x =

+σ σ

 Ïðèìåð 31.1. Â òàáë. 31.1 ïðèâåäåíû õàðàêòåðèñòèêè ÷åòûðåõ òèïîâ

öåííûõ áóìàã.

Òàáëèöà 31.1

j 1 2 3 4

12 10 8 6

2,5 1 0,4 0,4

1. Îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè ïîðòôåëÿ, ñîñòîÿùåãî èç ÷åòûðåõ òèïîâ

öåííûõ áóìàã ïðè ðàâíîìåðíîì âëîæåíèè è ïðè îòñóòñòâèè êîððåëÿöèè

äîõîäíîñòåé ìåæäó áóìàãàìè.