Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

492

÷èì

(

)

()

1! 2 1 !

−

, ïðè 2i = (òðåòüå ñëàãàåìîå â (30.24)) ïîëó÷èì

(

)

()

2! 2 2 !

−

. Çíà÷åíèÿ öåí

{

}

max 0,

Su d S

−

− îïðåäåëÿþòñÿ

ïî ôîðìóëàì (30.15).

Åñëè èíòåðâàë äëèòåëüíîñòüþ

T ðàçáèòü íà n ïåðèîäîâ, òî

ôîðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà öåíû îïöèîíîâ ïðèîáðåòàåò âèä

(

)

()

{}

e1max0, .

Ti ini

FppSudS

−

−δ −

=− −

∑

(30.25)

Â ýòîé ôîðìóëå ïîêàçàòåëü

ini

Su d

−

ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì çíà÷åíèé

öåíû àêòèâà â êîíöå èíòåðâàëà T, ò.å. â ìîìåíò âðåìåíè

tT= . Ýòî

âîçðàñòàþùèé ðÿä çíà÷åíèé, íà÷èíàÿ ñ

è çàêàí÷èâàÿ

. Öåíà

èñïîëíåíèÿ

S ìîæåò ëåæàòü âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà. Ïîýòîìó

ìîæíî âûäåëèòü òàêîå ìèíèìàëüíîå öåëîå ÷èñëî

im= , ïðè êîòî-

ðîì íà÷èíàåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

mnm

Su d S

−

−≥. Åñëè ýòî

íåðàâåíñòâî ñîáëþäàåòñÿ, òî

{

}

max 0,

ini ini

SudSSudS

−−

−= −

. Â ýòîì

ñëó÷àå (30.25) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(

)

()

(

)

()

e1 e1.

ni ni

Ti iniTi

im im

FS p p ud S p p

−−

−δ − −δ

=−− −

∑∑

(30.26)

Ñóììó âî âòîðîì ñëàãàåìîì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåðîÿò-

íîñòü èñïîëíåíèÿ îïöèîíà êîëë, à âñå âòîðîå ñëàãàåìîå — êàê äèñ-

êîíòèðîâàííûé íà íà÷àëî ïðîöåññà îæèäàåìûé ðàñõîä. Ïåðâîå ñëà-

ãàåìîå — ýòî äèñêîíòèðîâàííûé îæèäàåìûé äîõîä.

Çíà÷åíèÿ

u è d, âõîäÿùèå â ïîëó÷åííûå ôîðìóëû, çàâèñÿò îò

÷èñëà n, íà êîòîðîå ðàçáèâàåòñÿ èíòåðâàë Ò, è îò ñòàíäàðòíîãî îò-

êëîíåíèÿ öåíû àêöèè â êîíöå èíòåðâàëà Ò. ×àñòî ïðèíèìàþò

e;e ,

σ−σ

== (30.27)

ãäå

σ — ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå öåíû àêöèè â êîíöå èíòåðâàëà T .

 Ïðèìåð 30.4. Öåíà ñïîò àêöèè ðàâíà

350 руб.S =

Öåíà èñïîëíåíèÿ

îïöèîíà êîëë ÷åðåç ãîä íà ýòó àêöèþ

395 руб.S =

Áåçðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà

5%δ=

ãîäîâûõ. Ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ öåíû àêöèè â êîíöå ãîäà

0, 2

σ=

. Ïåðèîä ðàçáèåíèÿ ñîñòàâëÿåò 6 ìåñ., ò.å.

2n =

Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ïîâûøåíèÿ è ïîíèæåíèÿ êóðñà àêöèè ÷åðåç

6 ìåñ. è ïîñòðîèòü äåðåâî ðàñïðåäåëåíèÿ öåí àêöèè è îïöèîíà.

493

Ðåøåíèå.

Çíà÷åíèÿ u, d îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (30.27):

0,2 2 0,2 2

e e 1,152; e e 0,868.

σ−σ

−

=== = = =

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà öåíû àêöèè äëÿ êàæäîãî ïåðèîäà â êîíöå ÷åòâåðòîãî

ìåñÿöà èç íà÷àëüíîãî â âåðõíåå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (30.17):

20,052

ee0,868

0,554.

1, 1 52 0, 86 8

δ⋅

−−

== =

−−

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà öåíû àêöèè äëÿ êàæäîãî ïåðèîäà â êîíöå ÷åòâåð-

òîãî ìåñÿöà èç íà÷àëüíîãî â íèæíåå ñîñòîÿíèå ðàâíà

1 1 0,554 0, 446.p−=− =

Ñíà÷àëà íàéäåì öåíó àêöèè äëÿ êàæäîãî óçëà äåðåâà ðàñïðåäåëåíèÿ

(ðèñ. 30.4):

â óçëå

350 1,152 403,2 руб.Su =⋅ =

;

â óçëå

350 1,152 464,49

уб.Suu =⋅ =

;

â óçëå

350 1,152 0,868 350 руб.,Sud =⋅ ⋅ =

è ò.ä.

350

403,2

303,8

464,49

263,7

350

69, 49

F =

= 37,55

F = 20,29

= 0

F =

Ðèñ. 30.4. Äåðåâî ðàñïðåäåëåíèé 

Ñòîèìîñòü îïöèîíà â óçëàõ ïåðåñ÷èòûâàåòñÿ ñëåâà íàïðàâî, ò.å.

íà÷èíàåòñÿ ðàñ÷åò äëÿ êîíöà ãîäà, à çàêàí÷èâàåòñÿ — äëÿ íà-

÷àëà. Â êîíöå ñðîêà îïöèîíà öåíó íàõîäÿò ïî ôîðìóëå

{}

max 0,

ini

Su d S

−

− . Äëÿ ñàìîãî íèæíåãî ñîñòîÿíèÿ

Sd S< , ò.å.

F = . Äëÿ ñðåäíåãî ñîñòîÿíèÿ

Sud S< , ïîýòîìó 0

F = . Äëÿ ñà-

ìîãî âåðõíåãî ñîñòîÿíèÿ

Su S> , çíà÷èò,

464, 49 395 69, 49

F =−=.

494

Â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà (÷åðåç 6 ìåñ. ñ íà÷àëà ïðîöåññà) öåíà

îïöèîíà â óçëàõ:

()

0,05 2

0,554 69, 49 0, 446 0 e 37, 55 руб.;

uud

FpF pF

−δ

−

⎡⎤

=+− ⋅=

⎣⎦

=⋅+⋅⋅ =

() ()

20,052

1 e 0,5540 0,4460 e 0руб.

dud

FpF pF

−δ −

⎡⎤

=+− ⋅=⋅+⋅⋅ =

⎣⎦

È íàêîíåö, öåíà îïöèîíà â ìîìåíò çàêëþ÷åíèÿ êîíòðàêòà

ïðè t = 0:

() ()

20,052

1 e 0,554 37,55 0, 446 0 e 20, 29 руб .

FpF pF

−δ −

=+− ⋅ = ⋅+⋅⋅ =⎡⎤

⎣⎦

Íåïîñðåäñòâåííî ýòó öåíó ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå (30.25):

(

)

()

{}

e1max0,

Ti ini

FppSudS

−

−δ −

=− −=

∑

{}

()

0,05

20,05

0, 446 max 0, 350 0,868 395

e 2 0,554 0, 446 max 0, 350 1,152 0,868 395

0,554 max 0, 350 1,152 395

0 0 0,554 69, 49 e 20, 29 руб .

−

⎛⎞

⋅⋅−+

⎜⎟

=+⋅⋅⋅ ⋅⋅−+=

⎜⎟

+⋅ ⋅−

⎜⎟

⎝⎠

=++ ⋅ ⋅ =

Ïðèâåäåííûå çäåñü ðåçóëüòàòû äëÿ åâðîïåéñêîãî îïöèîíà êîëë

ïðèìåíèìû è äëÿ àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë íà àêöèþ, íå âû-

ïëà÷èâàþùóþ äèâèäåíäû. Ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, åñëè â ëþ-

áîì óçëå äåðåâà ðàñïðåäåëåíèé öåíà îïöèîíà áîëüøå èëè ðàâíà äî-

õîäó îò èñïîëíåíèÿ îïöèîíà, ò.å. àìåðèêàíñêèé îïöèîí êîëë íå

áóäåò èñïîëíåí äîñðî÷íî.

30.6. Биноминальная модель цены

европейского многопериодного

опциона пут

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåðåâà ðàñïðåäåëåíèÿ öåí îïöèîíîâ ïóò èñ-

ïîëüçóåòñÿ ïîäõîä îïðåäåëåíèÿ äèñêîíòèðîâàííîãî ñðåäíåãî, ðàñ-

ñ÷èòûâàåìîãî ïî ôîðìóëå (30.19). Âåñàìè äèñêîíòèðîâàííîãî ñðåä-

íåãî ÿâëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòü

p ïîÿâëåíèÿ áóäóùåé öåíû F

(30.17) è

âåðîÿòíîñòü 1 – p ïîÿâëåíèÿ áóäóùåé öåíû F

(30.18). Ýòè ïîêàçà-

òåëè óæå èñïîëüçîâàëèñü äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåðåâà ðàñïðåäåëåíèÿ öåí

îïöèîíîâ êîëë â § 30.5. Öåíà àêòèâà â ìîìåíò âðåìåíè t = T ïðè

ðàçáèåíèè èíòåðâàëà íà

n îòðåçêîâ äëÿ ñîñòîÿíèÿ i îïðåäåëÿåòñÿ

ñîîòíîøåíèåì

{}

max 0,

ini

SSud

−

− . Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèÿ äåðåâà

ðàñïðåäåëåíèÿ öåí îïöèîíîâ ïóò íà ïðèìåðå.

495

 Ïðèìåð 30.5. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè îïöèîíà ïóò:

42 руб.;S =

45 руб.;S =

1год;T = 5% годовых;δ=

0, 2; 3.

nσ= =

Ïîñòðîèòü äåðåâî ðàñïðåäåëåíèÿ öåí åâðîïåéñêîãî îïöèîíà.

Ðåøåíèå.

Çíà÷åíèÿ äëÿ

,ud è р íàéäåì ïî ôîðìóëàì (30.27) è (30.17) ñîîòâåò-

ñòâåííî:

0,2 3

e e 1,1224;

===

0,2 3

e e 0,8909;

−σ

−

===

30,053

e e 0,8909

0,5439;

1,1224 0,8909

δ⋅

−−

== =

−−

1 0, 4561.p−=

Íàéäåì öåíó àêöèè äëÿ êàæäîãî óçëà äåðåâà ðàñïðåäåëåíèÿ è îòìåòèì

åå íà ðèñ. 30.5. Öåíà àêöèè:

â óçëå

42 1,1224 47,14 руб.;Su =⋅ =

â óçëå

42 1,1224 52,92

уб.;Suu =⋅ =

â óçëå

42 1,1224 0,8909 42 руб .,Sud =⋅ ⋅ =

è ò.ä.

Íà ðèñ. 30.5 ïðåäñòàâëåíî äåðåâî ðàñïðåäåëåíèÿ öåí àêöèè åâðîïåé-

ñêîãî îïöèîíà. Öåíà àêòèâà â ìîìåíò âðåìåíè t = 1, ò.å. 1 ãîä, ïðè ðàç-

áèåíèè èíòåðâàëà íà òðè îòðåçêà äëÿ ñîñòîÿíèÿ

i îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøå-

íèåì

{

}

max 0,

SSud

−

. Â êîíöå ãîäà ñòîèìîñòü îïöèîíà â ñàìîì

âåðõíåì ñîñòîÿíèè

F =

, âî âòîðîì ñâåðõó —

уб.

F =

, â òðåòüåì —

45 37, 42 7, 58

уб.

F =− =

è â ïîñëåäíåì —

45 29, 7 15,3

уб.

F =− =

F =

6, 72

F =

3, 83F =

1, 53

F =

7,58

F =

15,3

F =

10,92

F =

3, 4

F =

Ðèñ. 30.5. Äåðåâî ðàñïðåäåëåíèé öåí è ñòîèìîñòåé àêòèâà

åâðîïåéñêîãî îïöèîíà ïóò

Â êîíöå âòîðîãî ïåðèîäà:

() ()

23 2

30,053

1 e 0,5439 0 0,4561 0 e 0

уб.;

uu ud

FpF pF

−δ⋅ −

⎡⎤

=+− ⋅ = ⋅+ ⋅⋅ =

⎣⎦

() ()

30,053

1 e 0,5439 0 0, 4561 7, 58 e 3, 4 ру б .;

ud ud

FpF pF

−δ⋅ −

⎡⎤

=+− ⋅= ⋅+⋅⋅=

⎣⎦

496

() ()

22 3

30,053

1 e 0,5439 7, 58 0, 4561 15,3 e 10,92 руб .

dud d

FpF pF

−δ⋅ −

⎡⎤

=+−⋅=⋅+⋅⋅=

⎣⎦

Â êîíöå ïåðâîãî ïåðèîäà:

() ()

30,053

1 e 0,5439 0 0,4561 3, 4 e 1,53 руб.;

uud

FpF pF

−δ⋅ −

⎡⎤

=+− ⋅ = ⋅+⋅⋅ =

⎣⎦

() ()

30,053

1 e 0,5439 3,4 0, 4561 10,92 e 6,72 руб .

dud

FpF pF

−δ⋅ −

⎡⎤

=+− ⋅ = ⋅+⋅⋅ =

⎣⎦

È íàêîíåö, öåíà îïöèîíà â ìîìåíò çàêëþ÷åíèÿ êîíòðàêòà ïðè

0t = :

() ()

30,053

1 e 0,5439 1,53 0, 4561 6, 72 e 3,83 руб .

FpF pF

−δ⋅ −

=+− ⋅ = ⋅+ ⋅⋅ =⎡⎤

⎣⎦

Íà ïðàêòèêå äëÿ îïðåäåëåíèÿ öåíû îïöèîíà èíòåðâàë T íàäî ðàçáèòü

íå íà òðè, à íà 30÷50 ïåðèîäîâ. 

30.7. Модель цены опциона Блэка—Шоулза

Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â ôîðìóëå (30.26) ïðè ñòðåìëåíèè ÷èñëà

ïåðèîäîâ ðàçáèåíèÿ

n èíòåðâàëà

ê áåñêîíå÷íîñòè äàåò ôîðìóëó

Áëýêà—Øîóëçà äëÿ ðàñ÷åòà öåíû îïöèîíà [44]. Ïðè ýòîì ñòðåìèòñÿ

ê áåñêîíå÷íîñòè êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ öåí àêòèâà íà ìîìåíò åãî

ïîñòàâêè. Ôîðìóëà Áëýêà—Øîóëçà äëÿ ðàñ÷åòà öåíû åâðîïåéñêîãî

îïöèîíà êîëë èìååò âèä

() ( )

10 2

SN d S N d

−δ⋅

=−

(30.28)

ãäå

(

)

ln 0,5

;

+δ+ σ

(30.29)

(

)

ln 0,5

;

ddT

+δ− σ

==−σ

(30.30)

()

Nd dx

−∞

∫

— èíòåãðàë îøèáîê (âåðîÿòíîñòè);

— òåêó-

ùàÿ ðûíî÷íàÿ öåíà àêöèè;

— öåíà èñïîëíåíèÿ;

— ãîäîâàÿ áåç-

ðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà;

— âðåìÿ èñòå÷åíèÿ îïöèîíà â ãîäàõ;

— ñòàí-

äàðòíîå ãîäîâîå îòêëîíåíèå öåíû àêöèè.

Äëÿ ðàñ÷åòà öåíû åâðîïåéñêîãî îïöèîíà ïóò èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà

() ( )

10 2

FSNdS Nd

−δ⋅

=− − + − (30.31)

ãäå äëÿ ðàñ÷åòà

d è

d èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû (30.29) è (30.30).

Äëÿ ïðèâåäåííûõ çäåñü ôîðìóë äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþ-

ùèå óñëîâèÿ:

• ïî àêöèÿì íå âûïëà÷èâàþòñÿ äèâèäåíäû;

• ðûíîê àêòèâà, ïîëîæåííîãî â îñíîâàíèå îïöèîíà, àáñîëþòíî

ëèêâèäåí;

497

• öåíà ïîêóïêè àêòèâà ðàâíà öåíå åãî ïðîäàæè;

• îòñóòñòâóþò êîìèññèîííûå è íàëîãè.

 Ïðèìåð 30.6. Öåíà ñïîò àêöèè ðàâíà

350 руб.S =

Öåíà èñïîëíåíèÿ

÷åðåç ãîä íà ýòó àêöèþ S

= 395 ðóá. Áåçðèñêîâàÿ ñèëà ðîñòà

5%δ=

ãîäî-

âûõ. Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå öåíû àêöèè â êîíöå ãîäà

0, 2

σ=

Îïðåäåëèòü öåíó îïöèîíà êîëë è îïöèîíà ïóò ñ óêàçàííûìè õàðàêòåðè-

ñòèêàìè ïî ôîðìóëå Áëýêà—Øîóëçà.

Ðåøåíèå.

Íàéäåì

d è

d ïî ôîðìóëàì (30.29) è (30.30):

(

)

350

ln 0, 5

ln 0, 05 0, 5 0, 2

395

0, 255 ;

0, 2

+δ+ σ

++⋅

== =−

(

)

350

ln 0, 5

ln 0, 05 0, 5 0, 2

395

0,455.

0, 2

+δ− σ

+−⋅

== =−

Öåíà îïöèîíà êîëë îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (30.28):

() () () ()

0,05

10 2

0,05

e 350 0,255 395e 0, 455

350 0,4 395e 0,3 27, 28 руб.

FSNd S Nd N N

−δ⋅ −

−

=− =−− −=

=⋅− ⋅=

Öåíà îïöèîíà ïóò îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (30.31):

() () () ()

0,05

10 2

0,05

e 350 0, 255 395e 0, 455

350 0, 6 395e 0, 68 45, 5 руб.

FSNdS Nd N N

−δ⋅ −

−

=− − + − =− + =

=− ⋅ + ⋅ =

Äëÿ òåõ æå óñëîâèé â ïðèìåðå 30.4 áûëà íàéäåíà öåíà îïöèîíà êîëë ïðè

ðàçáèåíèè ñðîêà îïöèîíà íà äâà ïåðèîäà. Öåíà îïöèîíà ïðè ýòîì áûëà ðàâ-

íà 20,29 ðóá. Óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà ïåðèîäîâ ïîâûøàåò òî÷íîñòü ðàñ÷åòà. 

30.8. Методы оценки дисперсии цены акции

Ïðè ôîðìèðîâàíèè ñâîèõ ñòðàòåãèé èíâåñòîð èñïîëüçóåò äèñ-

ïåðñèþ öåíû àêöèè äëÿ îïðåäåëåíèÿ öåí îïöèîíîâ, òàê êàê èìåí-

íî äèñïåðñèÿ èëè ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå (ñòàíäàðòíîå

îòêëîíåíèå, âîëàòèëüíîñòü) õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ öå-

íû. Îäíèì èç ìåòîäîâ îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

a è

ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ

σ öåíû àêöèè ÿâëÿåòñÿ àíà-

ëèç öåí çà ïðåäûäóùèå ïåðèîäû. Äèñïåðñèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-

äàíèå çà ïåðèîä â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

()

ПiППi

xa a x

σ= − =

−

∑∑

ãäå

x — èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà; n — êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ

â âûáîðêå.

498

Â íàøåì ñëó÷àå â êà÷åñòâå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èñïîëüçóåòñÿ òåìï

ðîñòà öåíû àêöèè, âû÷èñëÿåìûé ïî ôîðìóëå

ãäå

— öåíà àêöèè â êîíöå ïåðèîäà 1i + ;

S — öåíà àêöèè â êîíöå

ïåðèîäà

i . Ïîñëå ðàñ÷åòà ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ çà

ïåðèîä íàõîäÿò ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå çà ãîä ïî ôîðìóëå

Nσ=σ ,

ãäå

— êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ â ãîäó.

Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå, ðàññ÷èòàííîå ïî ïðîøëûì

äàííûì, ìîæåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò áóäóùåãî ñðåäíåãî êâàä-

ðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ, êîòîðîå èíâåñòîð äîëæåí çàêëàäûâàòü â ðàñ-

÷åòû öåíû îïöèîíà. Äëÿ óòî÷íåíèÿ ðåçóëüòàòîâ áîëåå ïîçäíèì äàí-

íûì ïðèäàþò ïðè ðàñ÷åòàõ áîëåå âûñîêèå âåñà. Ïðè ýòîì ìîæíî

èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ýêñïîíåíöèàëüíî âçâåøåííûå ñðåäíèå, ðàñ-

ñìîòðåííûå â § 21.2.

Äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ïðè èíòåðâàëå

âðåìåíè, ðàâíîì îäíîìó ãîäó, ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, äàí-

íûå öåíû çàêðûòèÿ â êîíöå êàæäîé èç 53 íåäåëü. Â ýòîì ñëó÷àå

52N = . Èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå èíòåðâàëû âðåìåíè.

 Ïðèìåð 30.7. Äàíû çíà÷åíèÿ öåíû çàêðûòèÿ àêöèè çà 11 íåäåëü (ïåð-

âûé è âòîðîé ñòîëáöû òàáë. 30.1).

Îïðåäåëèòü ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå çà íåäåëþ è çà ãîä.

Òàáëèöà 30.1

Íåäåëÿ Öåíà, ðóá.

()

iП

xa−

1-ÿ 98 0,0202

0, 866 10

−

⋅

2-ÿ 100 0,0296

3, 478 10

−

⋅

3-ÿ 103 –0,0196

9, 333 10

−

⋅

4-ÿ 101 –0,02

9, 579 10

−

⋅

5-ÿ 99 –0,0204

9,828 10

−

⋅

6-ÿ 97 0,0103

0, 004 10

−

⋅

7-ÿ 98 0,0202

0,856 10

−

⋅

8-ÿ 100 0,01

0, 009 10

−

⋅

9-ÿ 101 0,0099

0, 011 10

−

⋅

10-ÿ 102 –0,0198

9, 455 10

−

⋅

11-ÿ 100

Èòîãî — 0,1095 43,409•10

–4

Ðåøåíèå.

Êàê ñëåäóåò èç òàáë. 30.1,

10n =

. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåð-

ñèÿ, ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå çà ïåðèîä ðàâíû

499

1 0,1095

0,01095;

Пi

== =

∑

()

1 43, 409 10

4,82 10 ; 0, 022.

Пin П

−

⋅

σ= − = = ⋅ σ=

−

∑

Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå çà ãîä

2, 2 10 52 0,159.

−

σ=σ = ⋅ =



Äðóãîé ìåòîä îöåíêè ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ öåíû

àêöèè — ýòî ìåòîä åäèíîãî ìíåíèÿ ðûíêà îòíîñèòåëüíî òåêóùåé

öåíû îïöèîíà. Ïðè ýòîì ïîëàãàþò, ÷òî òåêóùàÿ ðûíî÷íàÿ öåíà îï-

öèîíà êîëë ðàâíà öåíå ýòîãî îïöèîíà F, ðàññ÷èòàííîé ïî ôîðìóëå

(30.28). Ïîýòîìó â ýòó ôîðìóëó ïîäñòàâëÿþò âìåñòî F òåêóùóþ ðû-

íî÷íóþ öåíó îïöèîíà, òåêóùóþ ðûíî÷íóþ öåíó àêöèè, ãîäîâóþ áåç-

ðèñêîâóþ ñèëó ðîñòà, âðåìÿ èñòå÷åíèÿ îïöèîíà è ïîëó÷àþò óðàâíå-

íèå, â êîòîðîì íåèçâåñòíûì ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëî-

íåíèå. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå, ïîëó÷åííîå ïóòåì ðåøå-

íèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, íàçûâàþò ïîäðàçóìåâàåìîé (âíóòðåííåé) èç-

ìåí÷èâîñòüþ. Èíîãäà íàõîäÿò âíóòðåííåå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îò-

êëîíåíèå àêöèè ïî ðàçëè÷íûì âèäàì îïöèîíîâ, à çàòåì îïðåäåëÿþò

ñðåäíåå. Â ðàáîòå [44] óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ìåòîäû îöåíêè âíóòðåííåé

èçìåí÷èâîñòè äàþò ëó÷øèå ðåçóëüòàòû ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì, îñ-

íîâàííûì íà àíàëèçå öåí çà ïðåäûäóùèå ïåðèîäû.

30.9. Хеджирование портфеля

из акций и опционов

Ãðàôè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ñòîèìîñòè îïöèîíà êîëë îò öåíû àê-

òèâà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 30.6.

Ëó÷

SL õàðàêòåðèçóåò âíóòðåííþþ ñòîèìîñòü îïöèîíà. Âíóò-

ðåííÿÿ ñòîèìîñòü — ýòî ñòîèìîñòü îïöèîíà íà ïîêóïêó â ñëó÷àå,

åñëè öåíà àêòèâà ïðåâûøàåò öåíó èñïîëíåíèÿ, ò.å. âëàäåëåö îïöèî-

íà ïîëó÷àåò äîõîä, ðàâíûé ðàçíîñòè öåíû àêòèâà è öåíû èñïîëíå-

íèÿ. Åñëè öåíà àêòèâà ìåíüøå öåíû èñïîëíåíèÿ, òî âíóòðåííÿÿ

ñòîèìîñòü ðàâíà íóëþ. Äî íàñòóïëåíèÿ ìîìåíòà ïëàòåæà ñòîèìîñòü

îïöèîíà áîëüøå âíóòðåííåé ñòîèìîñòè íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ âðå-

ìåííîé ñòîèìîñòè. ×åì ìåíüøå îñòàåòñÿ âðåìåíè äî èñïîëíåíèÿ

îïöèîíà, òåì ìåíüøå âðåìåííàÿ ñòîèìîñòü.

Çàâèñèìîñòü ñòîèìîñòè îïöèîíà

F àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæà-

åòñÿ ê ëó÷ó

SL. Ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ñðîêó ïîãàøåíèÿ êðèâàÿ

ñòîèìîñòè îïöèîíà ïðèáëèæàåòñÿ ê ëîìàíîé ëèíèè

0SL è â ïðå-

äåëå îáðàùàåòñÿ â ýòó ëèíèþ. Íà ðèñ. 30.6 ýòîò ôàêò îòîáðàæàåòñÿ

500

äâóìÿ êðèâûìè. Òà êðèâàÿ, êîòîðàÿ ëåæèò áëèæå ê ëîìàíîé ëèíèè

0SL, õàðàêòåðèçóåò öåíó â áîëåå ïîçäíåå âðåìÿ.



Ðèñ. 30.6. Ãðàôè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ñòîèìîñòè îïöèîíà êîëë

îò öåíû àêòèâà

Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî âíóòðåííÿÿ ñòîèìîñòü âû÷èñëÿåòñÿ

ïî ôîðìóëå

вн

ПSS=−

Âðåìåííàÿ ñòîèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

(

)

вр

ПFSS=− −

Ýòè ìîìåíòû îòðàæåíû íà ðèñ. 30.6.

Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðû õåäæèðîâàííîãî ïîðòôåëÿ èç àêöèé è îï-

öèîíîâ êîëë. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî (30.7), ÷òî äëÿ íåéòðàëüíîãî ê ðèñ-

êó ïîðòôåëþ äåëüòà îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò öåíû îïöèîíà

ïî öåíå àêòèâà, ò.å.

∂

∆=

∂

. Íà ðèñ. 30.7 ïðåäñòàâëåíà ãðàôè÷åñêàÿ

çàâèñèìîñòü öåíû îïöèîíà êîëë è äåëüòû îïöèîíà îò ñòîèìîñòè àêòèâà.

ßñíî, ÷òî äåëüòà îïöèîíà íå ìîæåò ïðåâûøàòü åäèíèöó, òàê êàê

êðèâàÿ äëÿ öåíû îïöèîíà Áëýêà—Øîóëçà ïðè âîçðàñòàíèè öåíû

àêòèâà àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê ëó÷ó S

L, èìåþùåìó ñ îñüþ

àáñöèññ óãîë 45°.

Ðàññìîòðèì ïîðòôåëü, ñîñòîÿùèé èç

с àêöèé è îäíîãî ïðîäàí-

íîãî îïöèîíà êîëë. Èçâåñòíî, ÷òî â íåéòðàëüíîì ê ðèñêó ïîðòôåëå

íà îäíó àêöèþ ïðèõîäèòñÿ k ïðîäàííûõ îïöèîíîâ êîëë. Òàêèì îá-

ðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü ïðîïîðöèþ:

àêöèé — 1 îïöèîí,

1 àêöèÿ — k îïöèîíîâ.

501



()

SS+∆

∆

SS+∆

∆

Ðèñ. 30.7. Ãðàôè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü öåíû îïöèîíà êîëë

è äåëüòû îïöèîíà îò ñòîèìîñòè àêòèâà

Èç ýòîé ïðîïîðöèè ñëåäóåò, ÷òî

. Ñîïîñòàâèâ ýòî ñ (30.8) ,

âèäèì, ÷òî â íåéòðàëüíîì ê ðèñêó ïîðòôåëå êîëè÷åñòâî àêöèé íà

îäèí ïðîäàííûé îïöèîí êîëë ðàâíî äåëüòå ïîðòôåëÿ, ò.å.

с =∆.

Ïðîâåäåì èññëåäîâàíèå ïðèíöèïà õåäæèðîâàíèÿ ïîðòôåëÿ, ñî-

ñòîÿùåãî èç

∆ àêöèé è ïðîäàííîãî îïöèîíà êîëë. Äëÿ ýòèõ öåëåé

ðàññìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ öåíà îïöèîíà ïðè íåáîëüøîì èçìåíå-

íèè öåíû àêòèâà. Ïóñòü öåíà àêòèâà èçìåíèëàñü íà âåëè÷èíó

S∆

(ñì. ðèñ. 30.7). Öåíà îïöèîíà â ýòîì ñëó÷àå èçìåíèòñÿ íà

(

)

(

)

FS S FS+∆ − . Ïðèðàùåíèå tgFS∆=∆⋅ α ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò

(

)

(

)

FS S FS+∆ − ïðè íåáîëüøîì èçìåíåíèè öåíû àêòèâà S∆ . Ïî-

ýòîìó èçìåíåíèå öåíû îïöèîíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

(

)

(

)

.FFS S FS∆≈ +∆ − (30.32)

Åñëè öåíà àêöèè óâåëè÷èòñÿ íà

,S∆ òî öåíà ïîðòôåëÿ, â êîòîðîì

íàõîäÿòñÿ

∆

òàêèõ àêöèé, âîçðàñòåò íà S∆⋅∆. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè

óâåëè÷åíèè öåíû àêòèâà íà

S∆ öåíà îïöèîíà âîçðàñòåò íà F∆ , ÷òî

ñëåäóåò èç ôîðìóëû (30.32). À ýòî ïðèâåäåò ê ñíèæåíèþ öåíû ïîðòôåëÿ

íà âåëè÷èíó

.F∆ Ïîñêîëüêó tgFS∆=∆⋅ α, à tg

∂

α= =∆

∂

(ñì. (30.7)),

òî

FS∆=∆⋅∆. Òàêèì îáðàçîì, ñ îäíîé ñòîðîíû, íåáîëüøîå èçìåíå-

íèå öåíû àêòèâà ïðèâåäåò ê óâåëè÷åíèþ ñòîèìîñòè ïîðòôåëÿ íà íå-

êîòîðóþ âåëè÷èíó è óìåíüøåíèå öåíû ïîðòôåëÿ íà ýòó æå âåëè÷è-

íó çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ öåíû îïöèîíà. Íîâàÿ öåíà ïîðòôåëÿ íå

èçìåíèòñÿ è áóäåò ðàâíà ñòàðîé öåíå.