Кузнецов Б.Т. Инвестиции

Подождите немного. Документ загружается.

512

Ðåøåíèå.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîé äîõîäíîñòè è ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ

ïîðòôåëÿ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (31.7) è (31.8):

()

12 10 8 6 9;

==⋅+++=

∑

2 2222

2,5 1 0, 4 0, 4 0,688.

σ= σ= ⋅ + + + =

∑

2. Òî æå, ÷òî è â ïóíêòå 1 äëÿ 2-ãî, 3-ãî è 4-ãî òèïîâ öåííûõ áóìàã.

Ðåøåíèå:

()

10 8 6 8;

a =⋅ ++ =

222

1 0, 4 0, 4 0,383

σ=⋅ + + =

3. Òî æå, ÷òî è â ïóíêòå 1 äëÿ 2-ãî è 3-ãî òèïîâ öåííûõ áóìàã.

Ðåøåíèå:

()

10 8 9;

a =⋅ + =

1 0, 4 0,534.

σ= ⋅ + =

4. Òî æå, ÷òî è â ïóíêòå 1 ïðè ïîëíîé ïðÿìîé êîððåëÿöèè.

Ðåøåíèå.

Îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü òà æå, ÷òî è â ïóíêòå 1. Ñòàíäàðòíîå îòêëîíå-

íèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

()

2,5 1 0, 4 0, 4 1, 075.

σ= σ= ⋅ ++ + =

∑

5. Îïðåäåëèòü äîëþ öåííûõ áóìàã ïîðòôåëÿ, ñîñòîÿùåãî èç 1-ãî è 2-ãî

òèïîâ, ïðè èõ ïîëíîé îáðàòíîé êîððåëÿöèè.

Ðåøåíèå.

Äîëÿ öåííûõ áóìàã ïîðòôåëÿ, ñîñòîÿùåãî èç äâóõ òèïîâ ýòèõ áóìàã,

ïðè èõ ïîëíîé îáðàòíîé êîððåëÿöèè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì

12,5

0,286

1112,5

σσ

===

+σ σ +

;

0,714

1112,5

x ===

+σ σ +

. 

31.2. Портфель из двух типов ценных бумаг

Äëÿ êàæäîãî ïîðòôåëÿ ìîæíî ïîñòðîèòü íà ãðàôèêå îæèäàåìîé

äîõîäíîñòè îò ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ òî÷êó, ðàññ÷èòàííóþ ïî

ôîðìóëàì (31.1)—(31.3). Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé äâóõ âèäîâ

öåííûõ áóìàã. Ïóñòü äîëÿ ïîðòôåëÿ áóìàã ïåðâîãî òèïà ðàâíà õ,

à áóìàã âòîðîãî òèïà ðàâíà

1 x− . Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ

äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äîõîäíîñòåé áóìàã ïåðâîãî è âòîðî-

ãî òèïîâ, èõ äèñïåðñèé è êîâàðèàöèè

12 1 2 12

;; ; ;aa σσσ ñîîòâåòñò-

âåííî. Òîãäà (31.2) è (31.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(

)

() ()

222 2

12 12

121

axa xa

xxxx

=+−

⎫

⎪

⎬

σ= σ+ − σ+ − σ

⎪

⎭

(31.12)

513

Ñèñòåìà óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé

(

)

a σ çàäàííîé â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïàðàìåòðîì çäåñü

ÿâëÿåòñÿ äîëÿ öåííûõ áóìàã ïåðâîãî âèäà x . Íåñêîëüêî ãðàôèêîâ

òàêèõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 31.1. Íåêîòîðûå èç ýòèõ ãðà-

ôèêîâ èìåþò äâå âåòâè: âåðõíþþ è íèæíþþ.

Íàéäåì òî÷êó, â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

(

)

a σ ñòðå-

ìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ (31.12) çàäàíà ïàðà-

ìåòðè÷åñêè, ò.å.

(

)

ax è

(

)

xσ , òî åå ïðîèçâîäíóþ ìîæíî ïðåä-

ñòàâèòü â âèäå

(

)

() ( )

12 12

221 21

pp p

da da dx a a

dddx

xx xx

−σ

==⋅

σσ

σ+ − σ+ − − σ

Èñêîìàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ

() ( )

01 0 2 0 12

1120.xx xσ+ − σ+ − σ =

Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî

x , ïîëó÷èì

212

12 12

σ−σ

σ+σ−σ

(31.13)

 Ïðèìåð 31.2. Äàíû äâà òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè:

121212

0, 07; 0,15; 0; 0,9; 0.aa= = σ= σ= σ =

Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

(

)

a σ

Ðåøåíèå.

Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ (31.12) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(

)

()

axa xa

=+− ⎫

⎬

σ= − σ

⎭

Îïðåäåëèì ïðîèçâîäíóþ

da da dx

dddx

−

σσ σ

. Òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, òî èññëåäóåìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ïðÿìîé ëèíèè. Äëÿ

1x = èìååì

и0

aa=σ=

. Åñëè çàäàíà òî÷êà, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé, è

óãëîâîé êîýôôèöèåíò, òî ïðÿìàÿ îïðåäåëåíà, åå óðàâíåíèå èìååò âèä

−

=+ σ

. Ïîäñòàâèâ ñþäà èñõîäíûå äàííûå ïðèìåðà, ïîëó÷èì

èñêîìóþ ôóíêöèþ:

0,15 0, 07

0,07 0,07 0,08433 .

0, 9

−

=+ σ=+ σ

514

Îòðåçîê ïðÿìîé ëåãêî ïîñòðîèòü ïî äâóì òî÷êàì. Îäíà òî÷êà îïðåäåëå-

íà, åå êîîðäèíàòû 0; 0,07. Êîîðäèíàòû âòîðîé òî÷êè íàõîäèì ïðè

0x = .

Â ýòîì ñëó÷àå

aa=σ=σ. Òîãäà êîîðäèíàòû âòîðîé òî÷êè 0,15;

0,949. Íà ðèñ. 31.1 èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíà â âèäå ëåâîãî îòðåçêà

ïðÿìîé ëèíèè.

Доходность

0, 3σ=−

1ρ=

Ðèñ. 31.1. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ

èç äâóõ öåííûõ áóìàã îò ðèñêà



 Ïðèìåð 31.3. Äàíû äâà òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè:

0, 07;a =

21 212

0,15; 0, 45; 0,9; 0.a =σ= σ=σ=

Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

().

a σ

Ðåøåíèå.

Îïðåäåëèì òî÷êó ýêñòðåìóìà ïî ôîðìóëå (31.13):

212

12 12

0,9

0,667.

0, 45 0, 9

σ−σ

===

σ+σ−σ

Ñîñòàâèì òàáëèöó (òàáë. 31.2).

Òàáëèöà 31.2

õ 0 0,25 0,5 0,667 0,75 1,0

0,15 0,13 0,11 0,097 0,09 0,07

0,949 0,731 0,581 0,548 0,556 0,671

Ãðàôèêè, ïîñòðîåííûå ïî äàííûì òàáë. 31.2, ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 31.1.

Ýòè ãðàôèêè èìåþò âèä «ïóëè»;

0,548

σ=

— ìèíèìàëüíàÿ èç âñåõ âîçìîæ-

íûõ äèñïåðñèé, ò.å. ðèñê ìèíèìàëüíûé äëÿ ñòðóêòóðû ïîðòôåëÿ ñ äîëåé

áóìàã ïåðâîãî òèïà

0,667x =

è ñ äîëåé áóìàã âòîðîãî òèïà

1 333x−=

. Ïðè

ýòîì îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ðàâíà

9,664%

a =

Íà ðèñ. 31.1 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ïðèìåðîâ îò 31.2 äî 31.7. Êîâàðèà-

öèè öåííûõ áóìàã ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ óáûâàåò ñïðàâà íàëåâî. 

515

 Ïðèìåð 31.4. Äàíû äâà òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè:

0, 07;a =

21 212

0,15; 0, 45; 0, 9; 0, 3.a =σ= σ=σ=

Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

().

a σ

Ðåøåíèå.

Îïðåäåëèì òî÷êó ýêñòðåìóìà ïî ôîðìóëå (31.13):

212

12 12

0, 9 0, 3

0,8.

0, 45 0, 9 0, 6

σ−σ

−

== =

+−

σ+σ−σ

Ñîñòàâèì òàáëèöó (òàáë. 31.3).

Òàáëèöà 31.3

0 0,25 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0

0,15 0,13 0,11 0,094 0,086 0,078 0,07

0,949 0,804 0,698 0,654 0,648 0,654 0,671

Ãðàôèê, ïîñòðîåííûé ïî äàííûì òàáë. 31.3, ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 31.1. 

 Ïðèìåð 31.5. Äàíû äâà òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè:

0, 07;a =

21 212

0,15 ; 0, 45; 0, 9; 0, 3.a =σ= σ=σ=−

Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

(

)

a σ

Ðåøåíèå.

Îïðåäåëèì òî÷êó ýêñòðåìóìà ïî ôîðìóëå (31.13):

212

12 12

0,9 0, 3

0,6154.

0, 45 0, 9 2 0, 3

σ−σ

== =

++⋅

σ+σ−σ

Ñîñòàâèì òàáëèöó (òàáë. 31.4).

Òàáëèöà 31.4

0 0,25 0,5 0,6154 0,8 1,0

0,15 0,13 0,11 0,1 0,086 0,07

0,949 0,65 0,433 0,4 0,477 0,671

Ãðàôèê, ïîñòðîåííûé ïî äàííûì òàáë. 31.4, ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 31.1. 

 Ïðèìåð 31.6. Äàíû äâà òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè:

0, 07;a =

21 212

0,15; 0, 45; 0,9; 0, 45.a =σ= σ=σ=

Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

().

a σ

Ðåøåíèå.

Îïðåäåëèì òî÷êó ýêñòðåìóìà ïî ôîðìóëå (31.13):

212

12 12

0,9 0, 45

0, 45 0, 9 2 0, 45

σ−σ

−

== =

+−⋅

σ+σ−σ

516

Ñîñòàâèì òàáëèöó (òàáë. 31.5).

Òàáëèöà 31.5

0 0,5 0,8 1,0

0,15 0,11 0,086 0,07

0,949 0,75 0,684 0,671

Ãðàôèê, ïîñòðîåííûé ïî äàííûì òàáë. 31.5, ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 31.1. 

 Ïðèìåð 31.7. Äàíû äâà òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè:

0, 07;a =

21 212

0,15; 0, 45; 0,9; 1.a =σ= σ=ρ=

Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

().

a σ

Ðåøåíèå.

Òàê êàê èç óñëîâèÿ

1ρ=

ñëåäóåò

12 1 2

σ=σσ

, òî óðàâíåíèÿ (31.12)

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(

)

()

12 2

axa xa

=+− ⎫

⎪

⎬

σ= σ−σ +σ

⎪

⎭

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ

−

σσ−σ

Òàê êàê ýòà ïðîèçâîäíàÿ íå çàâè-

ñèò îò ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ïîðòôåëÿ, òî èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ

îòðåçêîì ïðÿìîé ëèíèè, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ íàõî-

äèì èç óñëîâèé

1) 1 ; ;

2) 1 ; .

xaa

=→ = σ=σ

Äëÿ óñëîâèé ïðèìåðà ïåðâàÿ òî÷êà èìååò êîîðäèíàòû 0,671; 0,07, à âòî-

ðàÿ — êîîðäèíàòû 0,949; 0,15. Èñêîìàÿ ôóíêöèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 31.1. 

Êàê ñëåäóåò èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ, âèä ôóíêöèè

()

a σ

ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò êîâàðèàöèè äâóõ äîõîäíîñòåé

öåííûõ áóìàã. Ïðè óâåëè÷åíèè êîâàðèàöèè ðàñòåò ðèñê (ñòàíäàðò-

íîå îòêëîíåíèå) ïðè òîé æå äîõîäíîñòè.

31.3. Оптимальный портфель

Îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ (31.2) è åãî äèñïåðñèÿ (31.3)

çàâèñÿò îò ñòðóêòóðû ïîðòôåëÿ, ò.å. îò òèïîâ öåííûõ áóìàã è èõ äîëè

îò îáùåãî âëîæåíèÿ. Ìîæíî ïîñòðîèòü îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü, ìè-

íèìèçèðóþùèé ðèñê ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ. Ìîæíî, íàïðè-

ìåð, ìèíèìèçèðîâàòü äèñïåðñèþ (31.3) ïðè ôèêñèðîâàííîì óðîâíå

äîõîäíîñòè (31.2) è ïðè íîðìèðîâàíèè âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ

(31.1). Òàêîå ðåøåíèå ìèíèìèçàöèè ðèñêà âïåðâûå ðàññìîòðåíî

Ìàðêîâèöåì. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è èìååò âèä

min

pijij

σ= σ →

∑∑

(31.14)

517

ïðè

10.

jj p

xa a

⎫

−=

⎪

⎬

⎪

−=

⎪

⎭

∑

(31.15)

Îïòèìàëüíîå ðåøåíèå íàéäåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìíîæèòåëåé

Ëàãðàíæà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ óñëîâèé (31.15) èìååò âèä

11 1 1

nn n n

ijij jj p j

ij j j

Lxx xaa x

== = =

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

=σ+λ−+µ−

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

∑∑ ∑ ∑

(31.16)

Îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü íàéäåì èç ðåøåíèÿ îòíîñèòåëüíî

,и

x λµ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

LLL

∂∂∂

===

∂∂λ∂µ

(31.17)

Äëÿ òðåõ âèäîâ öåííûõ áóìàã ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèîáðåòàåò âèä

()

22 2

111 222 333 1212 1313 2323

11 2 2 3 3 1 2 3

222

L x x x xx xx x x

xa x a x a a x x x

=σ+σ+σ+ σ+ σ+ σ+

+λ + + − +µ + + −

Îòñþäà íàõîäèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (31.17) ïðè óñëî-

âèè

ij ji

σ=σ

111 2 12 313 1

121 222 323 2

131 2 32 333 3

11 2 2 3 3

12 3

22 2 0;

00 ;

001.

xx xa

xa x a x a a

xx x

⎫

∂

=σ+σ+σ+λ+µ=

⎪

∂

⎪

∂

⎪

=σ+σ+σ+λ+µ=

⎪

∂

⎪

∂

=σ+σ+σ+λ+µ=

⎬

∂

⎪

∂

⎪

=+++⋅λ+⋅µ=

∂λ

⎪

∂

=+++⋅λ+⋅µ=

⎪

∂µ

⎭

(31.18)

Ýòà ñèñòåìà èç ïÿòè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïÿòüþ íåèçâåñòíû-

ìè ìîæåò áûòü ðåøåíà, íàïðèìåð, ìåòîäîì Êðàìåðà. Åå ðåøåíèå

äëÿ ñîñòàâà ïîðòôåëÿ èìååò âèä

12 3

;;.

xx x

== =

(31.19)

518

Çíà÷åíèÿ îïðåäåëèòåëåé

12 3

,, и

DD D íàéäåì èç ñîîòíîøåíèé

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

123

222 1

11100

aaa

σσσ

;

12 13 1

22 23 2

32 33 3

02 2 1

11 100

aa a

σσ

;

11 13 1

21 23 2

31 33 3

202 1

11100

aaa

σσ

;

11 12 1

21 22 2

31 32 3

220 1

11100

aaa

σσ

Ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëÿ

b= n-ãî ïîðÿäêà åãî ìîæíî

ðàçëîæèòü íà ñóììó ïðîèçâåäåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ êàêîé-ëèáî ñòðî-

êè (èëè ñòîëáöà), óìíîæåííûå íà ñîîòâåòñòâóþùèå èì àëãåáðàè÷å-

ñêèå äîïîëíåíèÿ, ïî ôîðìóëå

()

1;1

ij ij ij ij ij

bbB bM jn

== =− ≤≤

∑∑

ãäå

— ýëåìåíò i-é ñòðîêè (ñòîëáöà) è j-ãî ñòîëáöà (ñòðîêè); B

— àë-

ãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå; M

— ìèíîð ïîðÿäêà n – 1, ïîëó÷àþùèé-

ñÿ èç D âû÷åðêèâàíèåì i-é ñòðîêè (ñòîëáöà) è j-ãî ñòîëáöà (ñòðîêè).

 Ïðèìåð 31.8. Äàíû òðè òèïà öåííûõ áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè,

ïðèâåäåííûìè â òàáë. 31.6. Óðîâíè äîõîäíîñòåé öåííûõ áóìàã íåêîððåëè-

ðîâàíû.

Òàáëèöà 31.6

1 2 3

0,05 0,1 0,15

0,25 0,5 0,8

Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü ñîñòàâà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ îò åãî îæè-

äàåìîé äîõîäíîñòè è ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

()

a σ

ïðè îïòèìàëüíîì

ñîñòàâå ïîðòôåëÿ.

Ðåøåíèå.

Ïðîâåäåì ðàñ÷åò îïðåäåëèòåëåé. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè îïðåäåëèòåëåé èñ-

ïîëüçóåòñÿ ïðàâèëî ïðèáàâëåíèÿ êðàòíîãî, ñîñòîÿùåå â ïðèáàâëåíèè êðàòíî-

ãî i-é ñòðîêè ê j-é ñòðîêå, ÷òî íå èçìåíÿåò çíà÷åíèÿ îïðåäåëèòåëÿ:

0, 5 0 0 0, 05 1

0100,11

0,01525.

001,60,151

0, 05 0,1 0,15 0 0

111 00

D ==

519

00 00,051

01 0 0,11

001,60,151

0,18 0,023.

0,1 0,15 0 0

11 1 00

==−+

0, 5 0 0 0, 05 1

0000,11

001,60,151

0,055 0,00025.

0, 05 0,15 0 0

111 00

==−

0,5 0 0 0 ,05 1

0100,11

0000,151

0,125 0,0075.

0, 05 0,1 0 0

11100

==−

Íàéäåì çàâèñèìîñòü ñîñòàâà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ îò åãî îæèäàåìîé

äîõîäíîñòè:

0,18 0, 023

11,8033 1, 5082;

0,01525

−+

== =− +

0,055 0, 00025

3, 6066 0, 0164;

0,01525

−

== = −

0,125 0,0075

8,1967 0, 4918.

0,01525

−

== = −

Èñïîëüçóÿ íîðìèðîâêó (31.1), ìîæíî ïðîâåñòè ïðîâåðêó ïîëó÷åííîãî

ðåçóëüòàòà. Ïðè ýòîì ñóììà ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé ñîñòàâà ïîðòôåëÿ

äîëæíà áûòü ðàâíà åäèíèöå:

123

11,8033 1, 5082 3,6066 0,0164 8,1967 0, 4918 1.

pp p

xx x a a a++=− + + − + − =

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà

()

a σ

äëÿ çàäàííûõ äîõîäíîñòåé ïðîâîäÿò

ðàñ÷åò ñîñòàâà ïîðòôåëÿ è ðèñêà. Íàïðèìåð, äëÿ

0,1

a =

ñîñòàâ ïîðòôåëÿ

123

0,32787; 0,34426; 0,32787.xx x===

Äèñïåðñèþ ïîðòôåëÿ íàõîäèì ïî ôîðìóëå

2 222222

11 22 33

222

0,32787 0, 25 0,34426 0,5 0,32787 0,8 0,17213.

xxxσ = σ+ σ+ σ =

=⋅+⋅+⋅=

Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå

0, 415.

σ=

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 31.7.

Òàáëèöà 31.7

0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,157

0,8 0,682 0,564 0,446 0,328 0,009

0,2 0,236 0,272 0,308 0,344 0,442

0 0,082 0,164 0,246 0,328 0,549

0,424 0,387 0,372 0,382 0,415 0,582

520

Ãðàôèê ôóíêöèè

(

)

a σ

ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 31.2.

Ðèñ. 31.2. Äîõîäíîñòü—ðèñê îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ

Ïðè óâåëè÷åíèè èëè óìåíüøåíèè îæèäàåìîé äîõîäíîñòè îïòèìàëüíîãî

ïîðòôåëÿ a

ïî ñðàâíåíèþ ñ ãðàíè÷íûìè çíà÷åíèÿìè, ïðåäñòàâëåííûìè â

òàáë. 31.7, äîëè îò îáùåãî âëîæåíèÿ x

ñòàíîâÿòñÿ îòðèöàòåëüíûìè. 

Èç ãðàôèêà ôóíêöèè

(

)

а σ ïðèìåðà ñëåäóåò, ÷òî âîçìîæíî

ñóùåñòâîâàíèå ýêñòðåìàëüíîé òî÷êè, â êîòîðîé ñòàíäàðòíîå îòêëî-

íåíèå (äèñïåðñèÿ) ïîðòôåëÿ èìååò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ýòó çà-

äà÷ó ìîæíî ðåøèòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà:

min

pijij

σ= σ →

∑∑

ïðè

10.

−=

∑

Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ýòîãî óñëîâèÿ èìååò âèä

11 1

nn n

ijij j

ij j

Lxx x

== =

⎛⎞

⎜⎟

=σ+µ−

⎜⎟

⎝⎠

∑∑ ∑

Êîîðäèíàòû ýêñòðåìàëüíîé òî÷êè x

ìîæíî íàéòè èç ñèñòåìû

ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

∂∂

∂∂µ

(31.20)

Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ òðåõ òèïîâ öåííûõ áóìàã ïðèíèìà-

åò âèä

()

22 2

111 222 333 1212 1313 2323 1 2 3

222 1.L x x x xx xx x x x x x=σ+σ+σ+ σ+ σ+ σ+µ + +−

521

Îòñþäà íàõîäèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî

123

,, и:xx x µ

111 212 313

121 222 323

131 2 32 333

123

22 2 0;

01.

xx x

∂

⎫

=σ+σ+σ+µ =

⎪

∂

⎪

∂

⎪

=σ+σ+σ+µ=

⎪

∂

⎪

⎬

∂

⎪

=σ+σ+σ+µ=

⎪

∂

⎪

∂

=+++⋅µ=

⎪

∂µ

⎪

⎭

(31.21)

Ýòà ýêñòðåìàëüíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ èñõîäíîé ïðè àíàëèçå äîõîä-

íîñòè è ðèñêà ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ýòîé

òî÷êè èíâåñòîð áóäåò çíàòü îæèäàåìóþ äîõîäíîñòü ïðè ìèíèìàëüíî

âîçìîæíîì ðèñêå. Òàê êàê â ýòîé òî÷êå äîõîäíîñòü ðàñòåò ñóùåñò-

âåííî áûñòðåå, ÷åì ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå, òî èíâåñòîð èìååò

âîçìîæíîñòü èçìåíèòü ñîñòàâ ïîðòôåëÿ òàê, ÷òî îæèäàåìàÿ äîõîä-

íîñòü ìîæåò çàìåòíî óâåëè÷èòüñÿ ïðè íåçíà÷èòåëüíîì óâåëè÷åíèè

ðèñêà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî èçìåíåíèå ñîñòàâà

ïîðòôåëÿ íà çàäàííóþ âåëè÷èíó ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ìîæåò

êàê óâåëè÷èòü, òàê è óìåíüøèòü îæèäàåìóþ äîõîäíîñòü.

Ìåòîä âûáîðà îïòèìàëüíîãî ñîñòàâà ïîðòôåëÿ ìîæíî ñâåñòè

ê ñëåäóþùåìó. Âûáðàâ òèï öåííûõ áóìàã, èíâåñòîð ðàññ÷èòûâàåò

ñîñòàâ ïîðòôåëÿ äëÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé äèñïåðñèè. Çàòåì ðàñ-

ñ÷èòûâàåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå è ñîîò-

âåòñòâóþùóþ åìó îæèäàåìóþ äîõîäíîñòü. Åñëè èíâåñòîð ïðåä-

ïî÷èòàåò ïîâûñèòü îæèäàåìóþ äîõîäíîñòü, òî îí äëÿ ðÿäà

íîâûõ äîõîäíîñòåé îïðåäåëÿåò ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ïî ïðè-

âåäåííîé âûøå ìåòîäèêå Ìàðêîâèöà è âûáèðàåò ïðèåìëåìûé

äëÿ ñåáÿ âàðèàíò.

 Ïðèìåð 31.9. Óñëîâèÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà.

Îïðåäåëèòü ñîñòàâ ïîðòôåëÿ äëÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé äèñïåðñèè,

ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå è ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó îæè-

äàåìóþ äîõîäíîñòü.

Ðåøåíèå.

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (31.21) ïðèíèìàåò âèä

123

12 3

0, 5 0 0 0;

000;

00 1,6 0;

01.

xx x

xxx

xx x

+⋅ +⋅ + µ=

⎫

⎪

⋅+ +⋅ +µ=

⎬

⋅+⋅+ ⋅+µ=

⎪

++ +⋅µ=

⎭