Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
522
Ïðîâåäåì ðàñ÷åò îïðåäåëèòåëåé:
;9,2
0111
16,100
1010
1005,0
−==D
;6,1
0111
16,100
1010
1000
1
−==D
;8,0
0111
16,100
1000
1005,0
2
−==D
5,0
0111
1000
1010
1005,0
3
−==D
.
Ñîñòàâ ïîðòôåëÿ äëÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé äèñïåðñèè:
1
1
1, 6
0, 552
2, 9
D
x
D
== =
;
2
2
0,8
0, 276
2,9
D
x
D
== =
;
1
3
0, 5
0,172.
2, 9
D
x
D
== =
Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ïîðòôåëÿ:
22 22 22 2 2 2
11 22 33
0,552 0, 25 0,276 0,5 0,172 0,8 0,372.
p
xxxσ = σ+ σ+ σ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü òàêîãî ïîðòôåëÿ:
11 2 2 3 3
0,552 0,05 0, 276 0,1 0,172 0,15 0,081.
p
axaxaxa=+ + = ⋅+ ⋅+ ⋅=
Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ 8,1% åãî ñòàíäàðòíîå îòêëî-
íåíèå
0,371
p
σ=
, à ïðè äîõîäíîñòè 9% èìååì
0,382
p
σ=
(ñì. ïðèìåð 31.8),
ò.å. ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäíîñòè â 1,125 ðàçà ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå óâåëè-
÷èëîñü â 1,03 ðàçà.
Ïðèâåäåííóþ îïòèìèçàöèþ ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã óäîáíî
ïðîâåñòè â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Õàðàêòåðèñòèêè ðèñêîâûõ öåííûõ
áóìàã çàäàþòñÿ ìàòðèöåé êîâàðèàöèé σ, ìàòðèöåé-ñòîëáöîì îæè-
äàåìûõ äîõîäíîñòåé à, ìàòðèöåé-ñòîëáöîì íåèçâåñòíûõ äîëåé õ
è åäèíè÷íîé ìàòðèöåé-ñòîëáöîì I. Ýòè ìàòðèöû èìåþò âèä
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
.
jn
jn
ij
ii ijin
nn njnn
σσσσ
⎡⎤
⎢⎥
σσσσ
⎢⎥
⎡⎤
σ= σ =
⎢⎥
⎣⎦
σσ σσ
⎢⎥
⎢⎥
σσ σσ
⎢⎥
⎣⎦
(31.22)
Çäåñü
ij
σ
— êîâàðèàöèè ñëó÷àéíûõ äîõîäíîñòåé i-é è j-é ðèñêî-
âûõ öåííûõ áóìàã,
2
;
j
jj
σ=σ
523
[]
11
22
1
1
;;1.
1
1
jj
jj
nn
ax
ax
aa xx I
ax
ax
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤ ⎡⎤
== == ==
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
(31.23)
Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé ôîðìóëû (31.14) è (31.15)
ïðèíèìàþò âèä
2
;;1.
pp
xx a ax Ix
′′′
σ=σ = =
(31.24)
Çäåñü
,иxa I
′′ ′
— òðàíñïîíèðîâàííûå ìàòðèöû, â êîòîðûõ
ñòðîêè è ñòîëáöû ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè. (Íàïðèìåð, òðàíñïîíèðî-
âàííîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå
ij
b
ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà
.)
ji
b
Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóë (31.24) (ïðè óìíîæåíèè ìàò-
ðèö èñïîëüçóåì ïðàâèëî: ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû
[]
kl
bb=
ðàçìåðà
KL× íà ìàòðèöó
[]
lm
cc=
ðàçìåðà
L
M×
åñòü ìàòðèöà
[
]
km
dd=
ðàçìåðà KM× , ò.å.
[
]
[
]
[
]
kl lm km
dbc b c d=⋅= ⋅ =
, ãäå
1
)
L
km kl lm
l
dbc
=
=
∑
:
[]
11 12 1
1
21 22 2 2
12
12
...
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn nn
x
x
xxxxx
x
σσ σ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥σσ σ
′
⋅σ⋅ = ⋅ ⋅ =
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
σσ σ
⎣⎦
⎣⎦
[]
1
2
111 1 112 2 11
... ... ... ...
...
nn nn n nnn
n
x
x
xxx x xx
x
⎡⎤
⎢⎥
= σ++σ σ++ σ σ++ σ ⋅ =
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
22
111 1221 1 1 1212 222
22
22 11 22
11
... ...
... ... ;
nn
nn
nn n n n n nnn ijij p
ij
xxx xx xx x
xx xx xx x xx
==
=σ+ σ+ + σ+ σ+ σ+ +
+σ++σ+ σ++σ= σ=σ
∑∑
[]
1
2
12 11 22
1
... ... ;
...
n
nnnjp
j
n
x
x
ax a a a x a x a x a x a
x
=
⎡⎤
⎢⎥
′
=⋅=+++==
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑
[]
1
2
12
11 ...1 ... 1.
...
n
n
x
x
Ix x x x
x
⎡⎤
⎢⎥
′
=⋅=+++=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ðèñêà ïîðòôåëÿ ñâîäèòñÿ ê
ìèíèìèçàöèè äèñïåðñèè ïîðòôåëÿ
2
p
xx
′
σ=σ (31.25)
524
ïðè äâóõ îãðàíè÷èâàþùèõ óñëîâèÿõ:
0; 1 0.
p
ax a Ix
′′
−= −=
(31.26)
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ (31.25) è (31.26) ïðèíèìàåò âèä
(
)
()
1.
p
Lxx axa Ix
′′ ′
=σ+λ − +µ − (31.27)
Îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü íàõîäèì èç ðåøåíèÿ îòíîñèòåëüíî
j
x
ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (31.17). Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (3 1.27)
ïî
,è,x λµ
ïîëó÷èì
20;
.
;
1.
p
xaI
ax a
Ix
⎫
σ+λ+µ=
⎪
′
=
⎬
⎪
′
=
⎭
(31.28)
Ðàñêðûâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
11 2 2
12
22 ...2 0;
2 2 ... 2 0 ;
...
.
22 ...2 0;
... 0 0 ;
... 0 0 1.
nn
nn
nn nnnn
nn p
n
xx xa
xx xa
xx xa
ax a x a x a
xx x
σ+σ + +σ +λ+ µ=
⎫
⎪
σ+σ + +σ +λ+ µ=
⎪
⎪
⎬
σ+σ + +σ +λ+ µ=
⎪
++++⋅λ+⋅µ=
⎪
++++⋅λ+⋅µ=
⎪
⎭
(31.29)
Ýòó ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî
j
x
ìîæíî ðå-
øèòü ìåòîäîì Êðàìåðà. Èíà÷å åå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
11 12 1 1
1
21 22 2 2
2
12
12
0
22...2 1
0
2 2 ... 2 1
...
...
...
.
0
22...2 1
... 0 0
11...100
1
n
n
nn nnn
n
p
n
a
x
a
x
a
x
a
aa a
σσ σ
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
σσ σ
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⋅=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
σσ σ
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
λ
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
µ
⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
(31.30)
Îáîçíà÷èì ìàòðèöó ðèñê—äîõîäíîñòü ÷åðåç À, âåêòîð
,,
j
x
⎡⎤
λµ
⎣⎦
÷åðåç Õ, à âåêòîð ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ÷åðåç Â. Òîãäà óðàâíåíèå
(31.30) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
.AX B=
Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèç-
âåñòíûõ äîëåé êàæäîãî òèïà ðèñêîâûõ öåííûõ áóìàã â îïòèìàëüíîì
ïîðòôåëå:
1
,XAB
−
= (31.31)
525
ãäå ìàòðèöà-ñòîëáåö
0
0
,
0
1
p
B
a
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
ìàòðèöà ðèñê—äîõîäíîñòü
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
22...2 1
2 2 ... 2 1
...
,
2 2 ... 2 1
... 0 0
1 1 ... 1 0 0
n
n
nn nnn
n
a
a
A
a
aa a
σσ σ
⎡⎤
⎢⎥
σσ σ
⎢⎥
=
⎢⎥
σσ σ
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
1
A
−
— ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå .A
Ìàòðèöåé, îáðàòíîé ê ìàòðèöå ,
ij
A
⎡⎤
=α
⎣⎦
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà
1
,
T
ij
ij
A
ACc
A
−
⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤
== =
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
(31.32)
ãäå
T
ij
A
— àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà
T
ij
α
â îïðåäåëèòåëå
òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû
T
A
, ò.å. óìíîæåííûé íà
(1)
ij+
−
ìèíîð, ïîëó÷åííûé èç
T
A
âû÷åðêèâàíèåì i-é ñòðîêè è j-ãî
ñòîëáöà.
Ïðèìåð 31.10. Óñëîâèÿ ïðèìåðà 31.8.
Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü ñîñòàâà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ îò åãî îæè-
äàåìîé äîõîäíîñòè â ìàòðè÷íîé ôîðìå.
Ðåøåíèå.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòàâà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ íàéäåì îáðàòíóþ
ìàòðèöó
1
А
−
ìàòðèöû ðèñê—äîõîäíîñòü:
0, 5 0 0 0, 05 1
0100,11
.001,60,151
0, 05 0,1 0,15 0 0
111 0 0
А
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöû ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (31.32).
Îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû áûë íàéäåí ïðè ðåøåíèè ïðèìåðà 31.8:
0,01525.AD==
526
Àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû
èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
()
0025,0
0011
0015,01,0
115,06,10
11,001
1
11
11
=−=
+
Т
А
()
12
12
000,11
01,60,151
1 0, 005 и т.д.
0,05 0,15 0 0
1100
Т
А
+
=− =−
Îáðàòíàÿ ìàòðèöà ðàâíà
1
0,1639 0,3279 0,1639 11,8033 1, 5082
0,3279 0,6557 0,3279 3, 6066 0,0164
.
0,1639 0,3279 0,1639 8,1967 0, 4918
11,8033 3, 6066 8,1967 190,164 15, 4098
1,5082 0,0164 0,4918 15,4098 1, 5246
À
−
−−
⎡⎤
⎢⎥
−−−
⎢⎥
=
−−
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢⎥
−− −
⎣⎦
Ïî ôîðìóëå (31.31) íàõîäèì ìàòðèöó-ñòîëáåö ñîñòàâà ïîðòôåëÿ:
0,1639 0,3279 0,1639 11,8033 1,5082
0
0,3279 0,01 0,3279 3, 6066 0, 0164
0
0
0,1639 0,3279 0,1639 8,1967 0, 4918
11,8033 3, 6066 0,4918 137, 7049 15, 4098
1
1, 5082 8,1967 0,0164 15, 4098 1, 5246
p
X
a
−−
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
−− −
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=⋅
−−
⎢⎥
⎢⎥
−−−
⎢⎥
⎢
⎣⎦
⎢⎥
−−
⎣⎦
11,8033 1, 5082
3, 6066 0, 0164
8,1967 0, 4918
.
137, 7049 15,4098
15,4098 1,5243
p
p
p
p
p
a
a
a
a
a
=
⎥
−+
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
−
=
⎢⎥
−+
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
Äîëè öåííûõ áóìàã ïåðâîãî
1
x
, âòîðîãî
2
x
è òðåòüåãî
3
x
òèïîâ ïðåä-
ñòàâëåíû ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ñòðîêàõ ìàòðèöû-
ñòîëáöà ñîñòàâà ïîðòôåëÿ. Åñòåñòâåííî, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ ðå-
çóëüòàòîì ïðèìåðà 31.8.
Ðàñ÷åò îáðàòíîé ìàòðèöû, ïðèâåäåííûé â ïðèìåðå 31.10, ñäåëàí
íà îñíîâå îáùèõ ïðåäñòàâëåíèé î ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷. Çàìåòèì,
÷òî ñóùåñòâóþò ðàçðàáîòàííûå ïðîãðàììû, íàïðèìåð â Excel, ïî-
çâîëÿþùèå ðàññ÷èòûâàòü òàêèå ìàòðèöû.
Ïðè îïðåäåëåíèè ìèíèìàëüíî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ äèñïåðñèè
ïîðòôåëÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (31.29) ïðèíèìàåò âèä
527
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
12
2 2 ... 2 0;
2 2 ... 2 0;
... .
22 ...2 0;
... 0 1.
nn
nn
nn nnn
n
xx x
xx x
xx x
xx x
σ+σ++σ +µ=
⎫
⎪
σ+σ++σ +µ=
⎪
⎬
σ+σ++σ +µ=
⎪
⎪
+++ +⋅µ=
⎭
Ïåðåïèøåì ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
11 12 1
1
21 22 2
2
12
2 2 ... 2 1
0
2 2 ... 2 1
0
.
...
...
...
0
2 2 ... 2 1
1
1 1 ... 1 0
n
n
n
nn nn
x
x
x
σσ σ
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
σσ σ
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⋅=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
σσ σ
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
µ
⎣⎦
⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
Îáîçíà÷èì ìàòðèöó ðèñêà ÷åðåç
α , âåêòîð ,
j
x
⎡⎤
µ
⎣⎦
÷åðåç χ ,
à âåêòîð ïðàâîé ÷àñòè ÷åðåç β. Òîãäà ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî çà-
ïèñàòü â âèäå
α⋅χ=
β
.
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
1−
χ=α ⋅β, (31.33)
ãäå
1−
α
— ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå α .
Ïðèìåð 31.11. Óñëîâèÿ ïðèìåðîâ 31.8 è 31.9.
Îïðåäåëèòü ñîñòàâ îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ äëÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé
äèñïåðñèè â ìàòðè÷íîé ôîðìå.
Ðåøåíèå.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòàâà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ íàéäåì îáðàòíóþ
ìàòðèöó
1−
α
ìàòðèöû ðèñêà
0, 5 0 0 1
0101
001,61
1110
⎡⎤
⎢⎥
α=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
Ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöû îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (31.32). Îïðåäåëè-
òåëü ýòîé ìàòðèöû áûë íàéäåí ïðè ðåøåíèè ïðèìåðà 31.9:
2, 9.Dα= =−
Àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû
èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
() () ( )
11 13
11
10 1 1 0 1
101,6111,601 11,62,6;
110 1 10
Т
++
α=− ⋅ =− =− −− =−
() () ( )
12 13
12
001
1 0 1, 6 1 1 0 1, 6 1, 6.
110
Т
++
α=− =−− − =
528
Îáðàòíàÿ ìàòðèöà ðàâíà
1
0,897 0,552 0, 345 0,552
0,552 0, 724 0,172 0, 276
.
0, 345 0,172 0, 517 0,172
0,552 0, 276 0,172 0, 552
−
−−
⎡⎤
⎢⎥
−−
α=
⎢⎥
−−
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦
Ïî ôîðìóëå (31.33) íàõîäèì ìàòðèöó-ñòîëáåö ñîñòàâà ïîðòôåëÿ:
0,897 0,552 0, 345 0, 552
0
0,552
0,552 0, 724 0,172 0, 276
0
0, 276
.
0,172
0
0,345 0,172 0 ,517 0,172
0, 552
1
0,552 0, 276 0,172 0, 552
−−
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢⎥
χ= ⋅ =
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
−
⎢⎥
⎣⎦
Äîëè öåííûõ áóìàã ïåðâîãî
1
x
, âòîðîãî
2
x
è òðåòüåãî
3
x
òèïîâ ïðåäñòàâ-
ëåíû ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ñòðîêàõ ìàòðèöû-ñòîëáöà
ñîñòàâà ïîðòôåëÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì ïðèìåðà 31.9.
31.4. Оптимальный портфель
с добавлением безрисковых
ценных бумаг
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé òðåõ öåííûõ áóìàã, èç êîòîðûõ îäíà ÿâëÿåò-
ñÿ áåçðèñêîâîé ñ äèñïåðñèåé
2
0
0σ= è äîõîäíîñòüþ
0
a ; äâå äðóãèå
öåííûå áóìàãè èìåþò äîõîäíîñòè
12
,aa è äèñïåðñèè
22
12
,σσ. Ýòè
öåííûå áóìàãè áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî áóìàãàìè íóëåâîãî,
ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ. Äîõîäíîñòè ýòèõ öåííûõ áóìàã íå êîððå-
ëèðîâàíû.  ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëèòåëè
,
D
1
,
D
2
D
è
3
D
, âõîäÿùèå
â ðåøåíèå (31.19), ïðèîáðåòàþò âèä
() ()
2
0122
2
0211
210
222
111
0
22
00111
00
1200
1020
1000
aaaa
aaa
a
a
a
D −+−== σσ
σ
σ
()
()
()
()
0
11 1
22 2
1
12
11 2 0 2 22 1 0 1
00 0 1
02 0 1
002 1
00
11 100
22
p
pp
a
a
a
D
aa a
a a a a aa aa
σ
σ
==
=σ − − +σ − −
529
()
()
0
1
22 2
222100
02
00 0 1
00 0 1
002 1
2
00
11 1 00
p
p
a
a
a
Daaaa
aa a
σ
==−σ−−
()
()
0
11 1
2
311200
01
000 1
02 0 1
000 1
2
00
11100
p
p
a
a
a
Daaaa
aaa
σ
==−σ−−
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â ôîðìóëû (31.19), ïîëó÷èì
ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà äîëåé öåííûõ áóìàã
012
,,xxx ñîîòâåòñò-
âåííî äëÿ áóìàã íóëåâîãî, ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ:
22
12 0 2 21 0 1
0
2222
12 0 21 0
2
21 0 0
1
2222
12 0 21 0
2
12 0 0
2
2222
12 0 21 0
()( )()()
;
()()
()( )
;.
()()
()( )
.
()()
pp
p
p
aaaa aaaa
x
aa aa
aaa a
x
aa aa
aaa a
x
aa aa
⎫
σ− −+σ− −
⎪
=
⎪
σ− +σ−
⎪
⎪
σ− −
⎪
=
⎬
σ− +σ−
⎪
⎪
⎪
σ− −
⎪
=
⎪
σ− +σ−
⎭
(31.34)
Èñïîëüçóÿ ýòè çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ äèñïåðñèè
ïîðòôåëÿ:
()
()()
2
22
12 0
22222
11 22
22
22
12 0 21 0
.
p
p
aa
xx
aa aa
σσ −
σ= σ+ σ=
σ−+σ−
Òàê êàê
1p
aa≥
, òî ôîðìóëó äëÿ ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ
ïîðòôåëÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
()()
0
22
10 2 0
22
12
.
p
p
aa
aa a a
−
σ=
−−
+
σσ
(31.35)
Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî a
p
, íàéäåì çàâèñèìîñòü äî-
õîäíîñòè îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ îò åãî ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ:
()()
22
10 2 0
0
22
12
.
pp
aa a a
aa
−−
=+σ+
σσ
(31.36)
Ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ëèíèåé. Åå âèä ïðåäñòàâëåí íà
ðèñ. 31.3.
530
р
σ
Ðèñ. 31.3. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè äîõîäíîñòè îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ
îò åãî ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ
Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ
p
σ îïðåäåëÿåòñÿ ñî-
îòíîøåíèåì
()()
22
10 2 0
22
12
.
aa a a
k
−−
=+
σσ
Êðèâàÿ ëèíèÿ íà ðèñ. 31.3, èìåþùàÿ âèä «ïóëè», ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé äîõîäíîñòè îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ, ñîñòîÿùåãî èç ðèñ-
êîâûõ öåííûõ áóìàã ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ, îò ñòàíäàðòíîãî îò-
êëîíåíèÿ ýòîãî ïîðòôåëÿ. Âèä ýòîé êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé
óðàâíåíèé
12
222 22
12
(1 ) ;
(1 ) ,
p
p
axa xa
xx
=+−
⎫
⎪
⎬
σ= σ+− σ
⎪
⎭
(31.37)
ãäå
x
— äîëÿ ðèñêîâûõ áóìàã ïåðâîãî òèïà; (1 x− ) — äîëÿ ðèñêîâûõ
áóìàã âòîðîãî òèïà.
Èç ãðàôèêîâ ðèñ. 31.3 âèäíî, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ êàñàåòñÿ êðèâîé
â òî÷êå
К
.
Åñëè èíâåñòîð çàõî÷åò ñôîðìèðîâàòü ïîðòôåëü èç òðåõ âèäîâ
öåííûõ áóìàã, òî èíâåñòèöèîííûé ìåíåäæåð ïðåäëîæèò åìó çàâè-
ñèìîñòü (31.36), ïðåäñòàâëåííóþ â âèäå ãðàôèêà ïðÿìîé, ïî êîòî-
ðîé îí âûáåðåò òî÷êó ñ ïðèåìëåìûìè äëÿ íåãî äîõîäíîñòüþ è
ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì. Ïî ôîðìóëàì (33.34) áóäåò îïðåäåëåí
ñîñòàâ ýòîãî ïîðòôåëÿ.
Ïðèìåð 31.12. Èíâåñòîð ôîðìèðóåò ïîðòôåëü èç òðåõ âèäîâ öåííûõ
áóìàã ñ õàðàêòåðèñòèêàìè, ïðåäñòàâëåííûìè â òàáë. 31.8.
531
Òàáëèöà 31.8
j
0 1 2
j
a
0,05 0,1 0,15
2
j
σ
0 0,5 0,8
Ïîñòðîèòü ïðÿìóþ ëèíèþ
()
pp
a σ
äëÿ îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ, îïðåäå-
ëèòü äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ è åãî ñîñòàâ ïðè ñòàíäàðòíîì îòêëîíåíèè
0, 4.
p
σ=
Ðåøåíèå.
Íàéäåì òàíãåíñ óãëà íàêëîíà ïðÿìîé:
22
(0,1 0,05) (0,15 0,1)
0,1323.
0, 5 0,8
k
−−
=+=
Óãîë íàêëîíà ïðÿìîé ê îñè
p
σ
ðàâåí 7,5°.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (31.34), íàõîäèì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñîñòàâà ïîðòôåëÿ:
0
12,8571 1,6429;
p
xa=− +
1
5,7143 0,2857;
p
xa=−
2
7,1428 0,3572.
p
xa=−
Òî÷êà êàñàíèÿ Ê ëåæèò êàê íà ïðÿìîé, òàê è íà êðèâîé, ïîýòîìó â ýòîé
òî÷êå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
0
0.x =
Ïîäñòàâèâ
0
0x =
â ïåðâîå èç òðåõ óðàâ-
íåíèé, ïîëó÷èì
,
0 12,8571 1,6429
pk
a=− ⋅ +
. Îòñþäà íàõîäèì äîõîäíîñòü
ïîðòôåëÿ â òî÷êå êàñàíèÿ
,
0,1278.
pk
a =
Óðàâíåíèå ïðÿìîé (31.36) â íàøåì ñëó÷àå èìååò âèä
0,1323 0,05.
pp
a =σ+
Òàê êàê
k
— òàíãåíñ óãëà íàêëîíà èñêîìîé ïðÿìîé ê îñè àáñöèññ, òî
çíà÷åíèå ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ïîðòôåëÿ
p
σ
â òî÷êå êàñàíèÿ îïðåäåëÿ-
åòñÿ ïî ôîðìóëå
,0
,
0,1278 0, 05
0,588.
0,1323
pk
pk
aa
k
−
−
σ= = =
Òàêèì îáðàçîì, îòðåçîê ïðÿìîé, ïðåäëîæåííûé èíâåñòîðó, ìîæåò áûòü
ïîñòðîåí ïî äâóì òî÷êàì (ðèñ. 31.4) ñ êîîðäèíàòàìè 0; 0,05 è 0,558; 0,1278.
Åñëè èíâåñòîð ñîãëàñåí íà ðèñê, âûðàæåííûé ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíè-
åì
0, 4
p
σ=
, òî äîõîäíîñòü òàêîãî ïîðòôåëÿ ñîñòàâèò
0,1323 0, 4 0,05 0,103
p
a =⋅+=
.