Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

и.

в.

МЕЩЕРСКИЙ

СБОРНИК

ЗАДАЧ

ПО

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКЕ

Под редакцией

.Н.

В.

БУТЕНИНА,

А. И.

ЛУРЬЕ,

Д.

Р.

МЕРКИНА

ИЗДАНИЕ

ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ,

СТЕРЕОТИПНОЕ

Допущено

Министерством

высшего и среднего специального образования СССР

качестве

учебного пособия

для высших учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«НАУКА*

ГЛАВНАЯ

РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1075

531

М56

УДК 531.1 (076.1)

Сборник

задач по

теоретической

механике,

М е-

щерский

И. В., изд. 34, стереотипное, М., Глав-

ная

редакция физико-математической литературы

изд-ва «Наука», 1975.

В сборнике содержится 1744 задачи на все раз-

делы курса теоретической механики, читаемого во

втузах по разным программам.

Рис.

974.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к тридцать второму изданию

ОТДЕЛ

ПЕРВЫЙ

СТАТИКА

ТВЕРДОГО

ТЕЛА

Глава I. Плоская

система

сил 9

1. Силы, действующие по одной прямой 9

2. Силы, линии действия которых пересекаются в одной

точке Ю

3. Параллельные силы 27

4. Произвольная плоская система сил Рл

5. Графическая статика

Глава II.

Пространственная

система

сил 67

6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной

точке "'

7. Приведение системы сил к простейшему

виду

7-3.

8. Равновесие произвольной системы сил

9. Центр тяжести 91

ОТДЕЛ ВТОРОЙ

КИНЕМАТИКА

Глава III.

Кинематика

точки

10. Траектория и уравнения движения точки . 97

П. Скорость точки 102

12. Ускорение точки 106

Глава IV.

Простейшие

движения

твердого

тела 114

13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 114

14. Преобразование простейших движений твердого тела ... 117

Глава V. Плоское

движение

твердого

тела 123

15. Уравнения движения плоской фигуры 123

16. Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгно-

венный

центр скоростей , 12о

17. Неподвижная и подвижная центроиды 136

18. Ускорения точек твердого тела в плоском движении. Мгно-

венный

центр ускорений 139

Глава VI.

Движение

твердого

тела,

имеющего

неподвижную

точку.

Пространственная

ориентация

147

19. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную

точку 147

20. Пространственная ориентация; кинематические формулы

Эйлера и их модификация; аксоиды 151

Глава VII.

Сложное

движение

точки

159

21. Уравнения движений точки 159

22. Сложение скоростей точки 163

23. Сложение ускорений точки 169

Глава VIII.

Сложное

движение твердого тела 184

24. Сложение плоских движений тела 184

25. Сложение пространственных движений тела 190

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ

ДИНАМИКА

Глава IX.

Динамика

материальной

точки

200

26. Определение сил по заданному движению 200

27. Дифференциальные уравнения движения 206

а) Прямолинейное движение 205

б) Криволинейное движение 213

28. Теорема об изменении количества движения материальной

точки.

Теорема об изменении момента количества движе-

ния

материальной точки 219

29. Работа и мощность 223

30. Теорема об изменении кинетической энергии материаль-

ной

точки -. 225

31. Смешанные задачи 231

32. Колебательное движение ' 238

а) Свободные колебания ,. . „ . . 238

б) Влияние сопротивления на свободные колебания .... 250

в) Вынужденные колебания 256

г) Влияние сопротивления на вынужденные колебания . . . 258

33. Относительное движение 261

Глава X.

Динамика

системы

материальных

точек

266

34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, мо-

менты инерции

твердых

тел 266

35. Теорема о движении центра масс материальной системы 274

36. Теорема об изменении главного вектора количеств движе-

ния

материальной системы. Приложение к сплошным средам 280

37. Теорема об изменении главного момента количеств движе-

ния

материальной системы. Дифференциальное уравнение

вращения

твердого тела вокру! неподвижной оси 284

38. Теорема об изменении кинетической энергии материаль-

ной

системы 297

$ 39. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела 311

40. Приближенная теория гироскопов 316

41. Метод кинетостатики 320

^ 42. Давтение вращающегося твердого тела на ось вращения 326

43. Смешанные задачи 330

44.

Удар

334

45. Динамика точки и системы переменной массы (перемен-

ного состава) 339

Глава XI.

Аналитическая

механика

349

46. Принцип возможных перемещений 349

47. Общее уравнение динамики 356

<} 48. Уравнения Лагранжа 2-го рода 365

49. Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические

уравнения Гамильтона, уравнения Якоби — Гамильтона,

принцип

Гамильтона — Остроградского 382

Глава XII.

Динамика

космического

полета 389

50. Кеплерово движение (движение под действием централь-

ной

силы) 389

51. Разные задачи 395

Глава

XIII.

Устойчивость

равновесия

системы, теория колеба-

ний,

устойчивость

движения

400

52. Определение условий равновесия системы. Устойчивость

равновесия 400

53. Малые колебания системы

одной степенью свободы

.... 405

54. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 419

55. Устойчивость движения 435

56. Нелинейные колебания ." 442

Добавление.

Международния

система

единиц

(СИ) 443

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРИДЦАТЬ ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

«Сборник задач по теоретической механике» И. В. Мещерского,

составленный первоначально по мысли и под редакцией И. В. Мещер-

ского группой преподавателей теоретической механики б. Петербург-

ского политехнического института как пособие для преподавания

механики в этом институте, постепенно получил самое широкое рас-

пространение как в нашей стране, так и за ее пределами. Начиная

с 1914 г., когда вышло первое издание «Сборника», он переизда-

вался только в нашей стране тридцать один раз; первому печатно-

му изданию предшествовало еще несколько литографированных

изданий.

Одна из основных причин

успеха

и распространения «Сборника»

заключается в том, что в нем подобраны задачи, имеющие конкрет-

ную форму, дающие возможность

студентам

приобрести необходимые

для них навыки в применении общих теорем и методов к решению

конкретных прикладных вопросов.

«Сборник» неоднократно перерабатывался.

Составителями задач, помещенных в первом издании «Сборника»

1914 г., были: Л. В.

Ассур,

Б. А. Бахметьев, И. И. Бентковский,

A. А. Горев, К. М.

Дубяга,

А. М. Ларионов, И. В. Мещерский,

B. Ф. Миткевич, Е. Л. Николаи, К. Э. Рерих, Д. Л. Тагеев, В. В. Так-

линский,

С. П. Тимошенко, А. И. Тудоровский, А. П. Фан-дер-Флит,

А. К. Федерман, В. Д. Шатров и

другие.

В последующих изданиях

приняли

участие

также Е. К. 'Митропольский и М. Л. Франк.

В подготовке одиннадцатого переработанного издания принимали

участие

М. И. Акимов, М. И. Бать, Б. А. Берг, Н. К. Горчин,

Ю. В. Долголенко, А. С. Кельзон, Ю. Г. Корнилов, А. И.

Лурье,

К.

В. Медиков, Н. Н. Наугольная, П. И. Нелюбин, Н. П. Неронов,

Е. Л. Николаи, В. Ф.

Пекин,

П. Н. Семенов, А. А. Смирнов,

C. А. Сороков, К. И. Страхович, А. И. Чекмарев и Ф. Г. Шмидт.

Две существенные переработки осуществлены в четырнадцатом

шестнадцатом изданиях. Работа по подготовке обоих изданий была

выполнена

коллективом кафедры теоретической механики. Ленинград-

ского политехнического института. Составили новые задачи и редак-

тировали:

отдел

статики — С. А. Сороков, кинематики — Н. Н. На-

угольная и А. С. Кельзон, динамики материальной точки — А. С. Кель-

зон,

динамики системы — М. И. Бать, уравнений Лагранжа и теории

колебаний

— Г. Ю. Джанелидзе. Общее редактирование осуществил

A. И.

Лурье.

Кроме упомянутых лиц, для четырнадцатого издания

предоставили новые задачи Н. С. Вабшцевич, Н. И. Идельсон,

B. Л. Кан, А. И. Холодняк, А. И. Цымлов и Н. А. Докучаев.

Развитие

науки и техники за последние десятилетия вызвало

необходимость новой переработки «Сборника» (последняя, наиболее

существенная переработка была осуществлена в 1949 г. в шестнад-

цатом издании).

В настоящем тридцать втором издании сделана попытка, не вы-

ходя

за рамки теоретической механики, отразить в какой-то степени

новые

проблемы техники и более полно охватить те вопросы клас-

сической

механики, которые не нашли до сих пор достаточного

освещения.

В связи с этим в «Сборник» введены новые разделы, содержа-

щие

задачи по пространственной ориентации, динамике космического

полета, нелинейным колебаниям, геометрии масс, аналитической

меха-

нике.

Одновременно существенно дополнены новыми задачами раз-

делы кинематики точки, кинематики относительного движения и пло-

ского движения твердого

тела,

динамики материальной точки и си-

стемы, динамики точки и системы переменной массы, устойчивости

движения.

Небольшое количество новых задач введено также почти

во все

другие

разделы «Сборника»; некоторые задачи исключены из

него.

Сделаны также небольшие перестановки в размещении мате-

риала. В конце «Сборника» в качестве добавления приведена

Между-

народная

система единиц (СИ). Настоящее издание «Сборника» содер-

жит 1744 задачи,

тогда

как в предыдущем было 1363 задачи.

Введена новая, двойная нумерация задач — первое число означает

номер

параграфа, второе — номер задачи в этом параграфе. Для

облегчения пользования старыми изданиями «Сборника», имеющимися

большом числе в библиотеках

учебных

заведений, в скобках ука-

зывается номер, который имела задача в шестнадцатом — тридцать

первом изданиях (естественно, что вновь помещенные задачи снаб-

жены одним номером).

Работа по подготовке настоящего издания выполнена группой

преподавателей высших учебных заведений г. Ленинграда. Составили

новые задачи и подготовили к печати: отдел статики — Д. Р. Меркин,

отдел кинематики — М. И. Бать (§§ 15—18), А. С. Кельзон (§§

21—25)

Д. Р. Меркин (§§ 10—14 и 19—20), отдел динамики материальной

точки — А. С. Кельзон, отдел динамики материальной системы —

М. И. Бать (§§

34—44)

и Н. В. Бутенин (§ 45), отдел аналитиче-

ской

механики — М. И. Бать (§§ 46, 47) и Д. Р. Меркин (§§ 48, 49),

отдел динамики космического полета — Д. Р. Меркин, отдел теории

колебаний и устойчивости движения — Н. В. Бутенин.

Кроме

вышеупомянутых лиц для настоящего издания предоста-

вили новые задачи М. 3. Коловский, |И. Е. Лившиц| и Б. А. Смоль-

ников.

Считаем своим приятным долгом выразить искреннюю благодар-

ность профессорам Г. 1О. Степанову и В. Н. Щелкачеву и возглав-

ляемым ими коллективам кафедр за ценные замечания и советы, по-

зволившие улучшить «Сборник».

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

Силы,

действующие

по

одной

прямой

1.1 (3). Две гири, в 10 я и 5 «, висящие на одной веревке,

укреплены на ней в разных

местах,

причем ббльшая гиря висит

ниже меньшей. Каково натяжение веревки?

Ответ:

10 и и 15 я.

1.2 (5). Буксир тянет три баржи различных размеров, сле-

дующие

одна за другой. Сила тяги винта буксира в данный

момент равна 1800 кГ. Сопротивление воды движению буксира

равно 600 кГ; сопротивление воды движению первой баржи —

600 кГ, второй баржи — 400 кГ и третьей — 200 кГ. Имеющийся

распоряжении канат выдерживает безопасно растягиваю-

щую силу в 200 кГ. Сколько канатов надо протянуть от

буксира к первой барже, от первой ко второй и от вто-

рой к третьей, если движение — прямолинейное и равно-

мерное?

Ответ:

6, 3 и 1 канат.

1.3 (6).

Груз

Q = 30 н удерживается в равновесии при

помощи

противовеса, прикрепленного к концу троса ABC,

перекинутого через блок. Вес троса 5 я. Определить, пре- к задаче i з.

небрегая жесткостью троса, трением и радиусом блока,

вес Р и усилия FA* F& растягивающие трос в его концах А и С,

а также усилие F

в среднем сечении В троса в

случаях:

1) когда точки Л и С находятся на одной высоте;

2) когда точка А занимает высшее положение;

3) когда точка А занимает низшее положение.

Ответ:

1) Р = 30 я; /^ = 30 я; /^ = 32,5 я; ^

= 30я;

2)Р

= 25я; /^ = 30 я; F

= 27,5 я; F

= 25«;

3)Р

= 35я; /^ = 30 я; F

— 32,5 н; F

= 35 н.

1.4 (7). На дне шахты находится человек весом 64 кГ\ посред-

ством каната, перекинутого через неподвижный блок, человек удержи-

вает

груз

в 48 кГ. 1) Какое давление оказывает человек на дно

шахты?

Какой

наибольший

груз

он может

удержать

с помощью каната?

Ответ:

1) 16 кГ\ 2) 64 кГ.

1.5 (8). Поезд идет по прямолинейному горизонтальному пути

с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 1200 т.

Какова

сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда

равно

0,005

давления поезда на рельсы?

Ответ:

б г.

1.6. Пассажирский поезд состоит из электровоза, багажного вагона

весом 40 г и 10 пассажирских вагонов весом 50 г каждый. С какой

силой

будут

натянуты вагонные стяжки и какова сила тяги электро-

воза, если сопротивление движению поезда равно

0,005

его

веса?

При

решении задачи принять, что сопротивление движению распре-

деляется

между

составом поезда пропорционально

весу

и что дви-

жение поезда равномерное.

Ответ:

Сила тяги электровоза 2,7 т, Гц = 0,25 т, T

•

0,25 г и т. д. (нижний индекс означает номер вагона, начиная

от электровоза).

Силы,

линии

действия

которых

пересекаются

одной

точке

2.1 (11). В центре правильного шестиугольника приложены силы

1, 3, 5, 7, 9 и 11 /^ направленные к его вершинам. Найти величину

направление равнодействующей

уравновешивающей.

Ответ:

12 и; направление

уравновешивающей противопо-

р ложно направлению заданной силы

-L в 9 я.

2.2 (12). Определить усилие,

передаваемое листом

mnpqr

на

стержень MN, если усилия, дей-

ствующие по линиям О А, ОВ и ОС,

равны:

Pi = P

=141 н и

Р%

100 к.

Направления

усилий показаны

( на чертеже.

Кзадаче22

Ответ:

100 к и

действует

по

ОВ в сторону, обратную Р

2.3 (13). Силу в 8 и разложить на две по 5 к каждая. Можно

ли ту же силу разложить на две по 10 «, 15 и, 20 я и т. д.? На две

по

100 «?

Ответ:

Да, если не заданы направления разложения.

2.4 (14). По направлению стропильной ноги, наклоненной к гори-

зонту под

углом

а = 45°,

действует

сила Q = 250 кГ. Какое уси-

лие 5 возникает при этом по направлению горизонтальной затяжки

какая сила N

действует

на стену по отвесному направлению?

Ответ:

S=N— 177 кГ.

2.5 (15). Два трактора, идущих по берегам прямого канала

с постоянной скоростью, тянут барку при помощи

двух

канатов.