Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

ленный

в вершине Е треноги, перекинут трос, равномерно поднимаю-

щий

с помощью лебедки

груз

веса Р. От блока к лебедке трос

задаче 8 44.

тянется

параллельно консоли. Определить реакции заделки первой

консоли,

пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота треноги

равна

у.

Ответ:

= — ^-Р; Y

= P; Z

=-| Р; М

= — ~Р1; М

Ylpi

— —

HI.

9. Центр тяжести

9.1 (286). Определить положение центра тяжести С стержневого

контура

AFBD,

состоящего из

дуги

ADB четверти окружности

радиуса FD = R и из

дуги

полуокружности AFB, построенной на

хорде

АВ как на диаметре. Линейные плотности стержней одинаковы.

Ответ:

CF = R (V^— l)-\-~{3 — 2^2) =

0,524/?.

задаче 9.2.

9.2 (287). Определить положение центра тяжести С площади,

ограниченной

полуокружностью АОВ радиуса R и двумя прямыми

равной

длины AD и DB, причем OD = R

Ответ:

OC = ^^

9.3 (288). Найти центр тяжести С площади кругового сегмента

ADB радиуса АО = 30 см, если

угол

ЛОВ = 60°.

Ответ:

ОС = 27,7 см.

9.4 (289). Определить положение центра тяжести однородного

диска с круглым отверстием, предполагая

радиус

диска равным г

радиус

отверстия равным г

и центр этого отверстия находящимся

на

расстоянии ^- от центра диска.

Ответ:

= -^

К задаче 9.4.

К задаче 9.5.

К задаче 9.6.

9.5. Определить координаты центра тяжести четверти кольца,

показанного

на рисунке.

Ответ:

=у

= \,Ъ8 см.

9.6. Найти координаты центра тяжести фигуры, изображенной

на

рисунке.

Ответ:

0,61

9.7. Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показан-

ного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона равен 2,4 т/м

а земляного

грунта

1,6 т/м

Ответ:

лг

= 8,19 м; ус=1>9 м.

задаче 9.7.

>——•—._

*•

9.8 (290). Найти координаты центра тяжести поперечного сечения

неравнобокого уголка, полки которого имеют ширину О А = а, ОБ = в

толщину AC = BD — d.

Ответ:

х=

,~^

)

'>=

^[b+t-d]

9.9 (291). Найти расстояние центра тяжести таврового сечения

ABCD

от стороны его АС, если высота тавра BD = h, ширина полки

АС=а,

толщина полки равна d и толщина стенки равна Ъ.

ad* + bh

—

bd>

Om6em:

2(ad

bh~bdy

9.10 (292). Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры

которого указаны на чертеже.

Ответ: л:

= 9 см.

9.11 (293). Найти координаты центра тяжести однородной плас-

тинки,

изображенной на чертеже,

зная,

что АН= 2 см, N0=1,5 см,

АВ =

см, ВС= 10 см, £F = 4 CM, ED = 2 см.

,10 ,10

Ответ: x = Oj^ см; у=\-^ см.

й \ В С

задаче 9.9.

задаче 9.10.

задаче 9 И.

9.12 (294). В однородной квадратной доске

ABCD

со стороной

АВ = 2 м вырезано квадратное отверстие

EFOH,

стороны которого

соответственно параллельны сторонам

ABCD

и равны 0,7 м каждая.

Определить координаты х и у центра тяжести оставшейся части

доски,

зная,

что OK = O

K = 0,5 м, где О и Oi — центры квадратов,

ОК и О\К соответственно параллельны сторонам квадратов.

Ответ:

х==у

= — 0,07 м. >

задаче 9.12.

задаче 9.13.

задаче 9.14.

9.13 (295). Провести через вершину D однородного прямоуголь-

ника

ABCD

прямую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной

по

этой прямой трапеции

ABED

за вершину Е сторона AD, равная а,

была горизонтальна.

Ответ:

ВЕ — 0,Ша.

9.14 (296). Дан квадрат

ABDC,

сторона которого равна а. Найти

внутри него такую точку Е, чтобы она была центром тяжести

площади, которая получится, если

из

квадрата вырезать равнобедрен-

ный

треугольник

АЕВ.

Ответ:

= ~;

0,634a.

9.15

(297).

Четыре человека несут однородную

треугольную

плас-

тину. Двое взялись

за две

вершины, остальные

— за

стороны, примыкаю-

щие

третьей вершине.

На

каком расстоянии

от

третьей вершины

они

должны поместиться

для

того,

чтобы каждый

из

четырех поддер-

живал четверть полного веса

пла-

стины?

Ответ:

На

расстоянии, равном

~У

длины соответствующей стороны.

9.16 (298). Определить коорди-

наты центра тяжести системы грузов,

расположенных

вершинах прямо-

задаче эле. угольного параллелепипеда, ребра

которого соответственно равны:

20 см, АС= 10 см, AD = 5 см.

Веса грузов

вершинах

А, В,

С, D, Е, F, О, Н

соответственно равны

1 кГ, 2 кГ, 3 кГ, 4 кГ, 5 кГ,

кГ, 4 кГ, 3 кГ.

Ответ:

дг

= 3,2 см;

з>

= 9,6 см; 2 = 6 см.

9.17 (299). Определить координаты центра тяжести контура прямо-

угольного параллелепипеда, ребра которого

суть

однородные бруски

длиной:

ОА = 8 дм, ОВ = А дм, ОС = 6 дм.

Веса брусков равны

соответственно: О

А — 250 н, ОВ, ОС и CD по 75 «; CQ — 200 и;

AF— 125 я; АО и OF по 50 «; .

BD,

BF, DE и EF по 25 я. t

Ответ:

х—

2,625

дм; у— ' I

4 дм; 2 = 1,05 дм. '

.0.

задаче 9.17.

задаче 9.18.

9.18

(300). Найти координаты центра тяжести тела, имеющего

вид

стула,

состоящего

из

стержней одинаковой длины

веса. Длина

стержня равна

44 см.

Ответ: JC==

— 22 см; у=\6 см; 2 = 0.

9.19 (301). Найти координаты центра тяжести плоской фермы,

состоящей

из

семи стержней, длины которых указаны

на

чертеже,

если

вес 1 м для

всех

стержней один

и тот же.

Ответ:

=1,47

м; .у = 0,94 м.

9.20 (302). Найти координаты центра тяжести деревянно го молотка,

состоящего из прямоугольного параллелепипеда и ручки с квадрат-

ным

сечением. Дано: а = 10 см;

= 8 см; с = 18 см; d = 40 cjt; I=3 см.

Ответ:

x—Q; у = 8,8 см; z = 0.

задаче 9.19.

задаче 9.20.

9.21 (303). Корпус легкого крейсера весит 1900 т. Центр тяжести

корпуса находится по вертикали над килем на высоте yi = 6 м.

После

спуска на

воду

внутри корпуса установлены главиие машины

котлы. Главные машины весят 450 т, и ордината центгра тяжести

их Уз = 3 м. Вес котлов равен 500 т, и ордината цетра тяжести

их _у

= 4,6 м. Определить ординату у с общего ценгра тяжести

корпуса, машин и котлов.

Ответ:

у с = 5,28 м.

9.22 (304). На корабле водоизмещением в

4500

груз

весом

30 г перемещен из носового отсека в кормовой нш расстояние

60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корайля и

груза?

Ответ:

На 0,4 м.

9.23 (305). Для однородного тетраэдра

ABCDEF,

усеченного

параллельно основанию, даны: площадь ABC —а, площадь DEF = b,

расстояние

между

ними h.

Найти

расстояние z цент-

ра тяжести данного усе-

ченного тетраэдра от ос-

нования

ABC.

Ответ:

z =

h a + 2 Vab + 3b

задаче 9.23.

задаче 9.24.

a + Vob + b

9.24 (306). Корпус

якорной

подводной мины

имеет форму цилиндра с

выпуклыми сферическими

днищами.

Радиус цилин-

дрического пояса г = 0,4 м, высота цилиндрического псояса А = 2г;

высоты сферических сегментов соответственно равны: Л = 0,5г и

/g = 0,2r. Найти центр тяжести поверхности корпуса мииы.

Ответ:

=Ус = 0; г

1,267г

0,507

м.

9.25(307). Две половины круглого однородного цилиндра соеди-

нены

нитью, перекинутой через цилиндр, к концам которой подве-

шены

гири весом Р кГ каждая. Вес цилиндра Q кГ. Плоскость

соприкасания

половин цилиндра вертикальна. Опреде-

лить наименьшую величину Р веса гирь, при которой

обе половины цилиндра

будут

находиться в покое на

горизонтальной плоскости.

Ответ:

Р = -

7Г

~ кГ.

3 л

задаче 9.25. 9.26 (308). Найти предельную высоту h цилиндра,

при

которой тело, состоящее из цилиндра и полушара

одинаковой плотности и одинакового радиуса г, теряет устойчивость

положении равновесия, когда оно опирается поверхностью полу-

шара на гладкую горизонтальную плоскость.

Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара,

стояние центра тяжести однородного полушара от его основания

Рас-

равно

-=.-

г.

Ответ:

= -£=

9.27(309).

Найти предельную высоту h конуса, при которой

тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и

радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при условии

предыдущей задачи.

Ответ:

задаче

9.26.

задаче

9.27.

задаче

9.28.

9.28. Тонкий однородный лист изогнут в виде

двух

треугольни-

ков

и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треуголь-

ник

ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треугольник ODE —

плоскости yz (вершина прямого

угла

— точка Е), квадрат

ОВКЕ

—

горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести

изогнутого листа.

Ответ:

= 3,33 см, ус —

0,444

см, z

= 3,55 см.

ОТДЕЛ

ВТОРОЙ

КИНЕМАТИКА

ГЛАВА

III

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

10.

Траектория

уравнения

движения

точки

10.1.

По данному уравнению движения точки на произвольно

выбранной траектории построить через равные промежутки времени

шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от

начала отсчета до конечного положения точки и пройденный его

путь

за указанный промежуток времени (s и а — в сантиметрах, t — в се-

кундах).

Ответ:

s = 10 см, a = 13 см.

2) s = 1 + It —t

, 0 < t < 2,5.

Ответ:

s = — 0,25 см, а — 3,25 см.

3) s =

4sinl(W,

|L^<^.

Ответ:

s — 0, о = 20 см.

10.2. По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее

траектории в координатной форме и указать на рисунке направление

движения.

1) x = 3t — 5, y=*4 — 2t/

Ответ:

Полупрямая 2х -f- Ъу — 2 = 0 с началом в точке х = — 5,

у = А.

2) x = 2t, y = 8t*.

Ответ:

Правая ветвь параболы у =

2лт

с начальной точкой

х = 0, у = 0.

3) х = 5 sin \0t, у = 3 cos 10£.

Ответ:

Эллипс ^. -J- ~ = 1 с начальной точкой х = 0, _у = 3.

4) л; = 2 — 3 cos 5*, у =

4-stn

5£ — 1.

Ответ:

Эллипс

v ;

-f- |

= 1 с начальной точкой дг =

_l,j,=

-l.'

Ь)х=±

(е' +

е-%

у = | {е' - е-').

Ответ:

Верхняя часть правой ветви гиперболы х

—у

= 1

с начальной точкой х=1, у — 0.

4 И, В, Мещерскив 97

10.3. Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изме-

няется

согласно уравнению (г

и е — постоянные заданные векторы,

и j— координатные орты):

- 1) r =

n-\-t-e.

Ответ:

Полупрямая, проходящая через начальную точку УИ

(ГО)

параллельно вектору е.

2) r =

-f-cos£-e.

Ответ:

Отрезок М^М\ прямой линии, проходящей через точку

М(Го) параллельно вектору е. Начальная точка Ж

(i*o-f-е); вторая

крайняя

точка М\(Гъ — е). При

t-+oo

конец радиус-вектора пройдет

бесчисленное число раз через каждую точку траектории.

3) r = ^i + *

Ответ:

Отрезок верхней части эллипса -I-TT5 = 1. Точка начи-

нает движение от левой вершины эллипса, монотонно приближаясь

его правой вершине.

10.4 (312). По заданным уравнениям движения точки найти

уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки

по

траектории, отсчитывая расстояние от начального положения

точки:

1) х=Ы\ y = U*.

Ответ:

Полупрямая

4дг—Зу

= О; s = 5£

2) je =

3sin£,

_y =

3cos£

Ответ:

Окружность

х*-\-у*

= 9; s = 3f.

3) x —

acos^t,

y =

asin

Ответ:

Отрезок прямой

х^\-у—а

= 0, причем

4) jf = J

Ответ:

Окружность

х*-\-у*

= 2Ь; s = '.

10.5 (313). Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно

уравнению x=t\ по крану катится в поперечном направлении тележка

согласно уравнению у=1,Ы (х и у — в метрах, t — в секундах).

Цепь

укорачивается со скоростью

г>

= 0,5

м/сек.

Определить траек-

торию центра тяжести

груза;

в начальном положении центр тяжести

груза

находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Oz направлена

вертикально вверх.

Ответ:

Траектория — прямая: у= l,5x; z = 0,5x.

10.6 (314). Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, за-

дается уравнениями x =

Zsint,

_y =

2cos2£

(t—в секундах). Найти

уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения

точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после

начала движения момент времени t

когда траектория пересечет

ось Ох.

Ответ:

Часть параболы 4л:

-[- 9у = 18, вдоль которой

|JC|^3,

*i = ^- сек.

10.7.

При

соответствующем выборе осей координат уравнения

движения электрона

постоянном магнитном поле определяются

равенствами

asinkt,

y =

acoskt,

z — vt,

где

a, k и v —

некоторые постоянные, зависящие

от

напряженности

магнитного поля, массы, заряда

скорости электрона. Определить

траекторию электрона

закон движения

его по

траектории.

Ответ:

Электрон движется

по

винтовой линии. Начальная точка

дг

О,

у = а, 2 = 0; шаг

винта /z

Закон движения электрона

по

винтовой линии:

s = у

cPk?

-j-

10.8. Гармонические колебания точки определяются законом

asin(kt-\-е),

где а^>0 —

амплитуда колебаний,

k^>0 —

круго-

вая частота колебаний

и s (— ic'^ е sg; я) —

начальная фаза.

Определить центр колебаний

амплитуду, круговую- частоту,

период

Т,

частоту колебаний

/ в

герцах

начальную фазу

по сле-

дующим уравнениям движения

(х— в

сантиметрах,

t — в

секундах):

10.9 (310). Груз, поднятый на

упругом канате, колеблется согласно

уравнению

x =

asin.(kt-)-у),

где

—

сантиметрах,

k — в сек'

Определить амплитуду

круговую частоту колебаний

груза,

если

период колебаний равен

0,4 сек и в

начальный момент

дг

= — 4 см.

Построить также кривую расстояний.

Ответ:

а = 4 см; £ =

5тс

сек"

10.10 (315). Определить траекторию точки, совершающей одно-

временно

два

гармонических колебания равной частоты,

но

разных

амплитуд

фаз, если колебания происходят

по

двум

взаимно перпенди-

кулярным осям:

4»

Уравнение движения

Ответ:

Эллипс

10.11 (316). Найти уравнение траектории движения точки, полу-

чающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний раз-

ной

частоты:

2) х = a cos

2u>t,

у = а cos at.

Ответ:

jf*a

= 4y

(a*— у

);

2_y

—ax

— a

= 0, причем \\ \\

10.12 (317). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой ско-

ростью («=10

сек'

Длина ОА =

АВ^=80

см. Найти уравнения дви-

жения

и траекторию средней точки М

шатуна, а также уравнение движения

-х ползуна В, если в начальный момент

ползун находился в крайнем правом

задаче

ю.12. положении; оси координат указаны

на

чертеже.

Ответ:

1) Траекторией точки М является эллипс

120

~40

2) уравнение движения ползуна В

10.13 (318). Уравнения движения точки обода колеса, катящегося

без скольжения по прямолинейному

рельсу,

имеют вид

x = a(kt — sin kf),

_y=a(l—coskt).

Определить моменты времени, когда точка занимает низшее, среднее

высшее положения на траектории, считая, что ось у направлена

вверх.

Ответ:

1) ~Х сек; 2) U^ + уЧ сек; 3)

\T-\-J4

сек, где

= 0, 1, 2, 3,...

10.14 (319). Определить уравнения движения и траекторию точки

обода колеса радиуса/?= 1л автомобиля, если автомобиль движется

по

прямолинейному пути с постоянной скоростью 20

м/сек.

Принять,

что колесо катится без скольжения; за начало координат взять на-

чальное положение точки на пути, принятом за ось Ох.

Ответ:

Циклоида

x=20t

—

sin20£;

_y=l—cos20£

10.15.

Даны уравнения движения снаряда:

где

т>о

— начальная скорость снаряда, a —

угол

между

щ и гори-

зонтальной осью х, g — ускорение силы тяжести.

Определить траекторию движения снаряда, высоту Н, дальность L

время Т полета снаряда.

100