Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Приняв

точку О за полюс, найти в полярных координатах урав-

нения

движения точки М линейки, отстоящей от шарнира С на

задаче

12.30.

расстоянии а, ее траекторию, скорость и ускорение (в начальный

момент

угол

ф = /_

СООх

— 0).

Ответ:

1) r = a

2) r = a(l+cos<p) — кардиоида;

аса

cos~;

шв

5+4

cos у.

С\

12.31. В условиях предыдущей задачи определить положение

точки М, ее скорость и ускорение в начальный момент и в момент,

когда кривошип

сделает

один полный оборот.

Ответ:

1) При t = 0 точка М

будет

находиться в крайнем пра-

вом положении на расстоянии 2а от точки О; скорость v перпенди-

кулярна к оси х и равна aw, ускорение направлено к точке О и

равно

-г-

асо .

2) После одного оборота кривошипа точ-

ка

будет

проходить через точку О, г» = 0,

ускорение направлено к точке О-^ и рав-

аш

но

-J-.

12.32. В условиях задачи 12.31 определить

радиус

кривизны кардиоиды при г = 2а, ф = 0.

Ответ:

-^-

а.

12.33. Конец А стержня АВ перемещается по

прямолинейной

направляющей CD с постоянной

скоростью v

. Стержень АВ все время прохо- В

дит через качающуюся

муфту

О, отстоящую от

направляющей CD на расстоянии а. Приняв

точку О за полюс, найти в полярных координатах г, ф скорость и

ускорение точки М, находящейся на линейке на расстоянии Ъ от

ползуна А.

111

задаче

12.33.

12.34. Точка

движется

по

винтовой линии. Уравнения движе-

ния

ее в

цилиндрической системе координат имеют

вид

г ==а,

y =

kt,

z=^vt.

Найти

проекции ускорения точки

на оси

цилиндрической системы

координат, касательную

нормальную составляющие ускорения

радиус кривизны винтовой линии.

Ответ:

1) w

= — ak\ w

О,

= 0;

—

aft

12.35. Точка

движется

по

линии пересечения сферы

-£*-f-.y

-f-

2")

-\-y*=-j.

Уравнения движения

точки

сферических координатах имеют

вид

(см.

задачу

10.22)

^-,

= т

Найти

проекции

модуль ускорения точки

сферических коор-

динатах.

Ответ:

wr =

j—

-f-

cos

0),

2~sin9,

— -^sin8cose;

w =

££-YA-(-sin

12.36.

Корабль движется

под

постоянным курсовым углом

географическому меридиану, описывая

при

этом локсодромию

(см

задачу 11.14). Считая,

что

модуль скорости

корабля

не

изменяется,

определить проекции ускорения корабля

на оси

сферических коор-

динат

г, X и <р

—

долгота,

^ —

широта места плавания), модуль

ускорения

радиус кривизны

лок-

содромии.

-—

Ответ:

= — -к-,

f \

"W\=-—-^-sin

a cos a tg 9,

" tO^-^-l/l-j-sin^atg

^ ;

__ R

задаче

12.37.

|/"l

-)-sin

atg

cp'

где

R —

радиус Земли.

12.37. Выразить декартовы координаты точки через тороидаль-

ные координаты

г =

СМ,

§ и <р и

определить коэффициенты Ляме.

112

Ответ:

1) л; = (а + г cos ?) cos ф, у =

(а-{-г

cos ») sin ф,

z = г sin <p;

=l,

H^ = a

12.38.

Движение точки задано в тороидальной системе координат

г, <]> и ср. Найти проекции скорости и ускорения точки на оси этой

системы отсчета.

Ответ:

1) v

= r, v. = (a -j- r cos ср)

<J>,

г»,, = г<?;

2) w

= ? — (а -)- г cos

<p)

cos 9 ф

2 2

(а -\- г cos 9)

-}- 2 cos

<рЛ|>

—2/- si

да

= гЦ -f- 2гф -f-

(a.

-\- r cos

<р)

sin срф

12.39.

Точка движется по винтовой линии, намотанной на тор,

но

закону

r = R— const, ij) = а>4

<р

= &£

Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидальной

системе координат (w = const, k = const).

Ответ:

— 0, v^ = (a -f- /? cos ср) со, x>

= ^;

«p

= —

(a + R cos

cp)

cos ерш

-(- RA

], г»ф = — 2 /?u>A sin cp,

я»

= w

(a -f- R cos cp) sin cp.

ГЛАВА

ПРОСТЕЙШИЕ

ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

13.

Вращение твердого тела вокруг

неподвижной

оси

13.1 (375). Определить

угловую

скорость:

секундной стрелки

часов,

минутной стрелки часов,

часовой стрелки часов,

4) вра-

щения

Земли вокруг своей

оси,

считая,

что

Земля

делает

один

обо-

рот

за 24

часа,

паровой турбины Лаваля, делающей

15 000 об[мин.

Ответ:

со=^ сект

0,1047

сек-

;

£0=^ сек-

0,001745

сек-

;

а = 2ТШ «к"

0,0001455

сек'

;

«^jg^ тс-

0,0000727

cevr\

5) ю=1571

сек-

13.2 (376). Написать уравнение вращения диска паровой турбины

При

пуске

в ход,

если известно,

что

угол

поворота пропорционален

кубу

времени

и при

= 3 сек

угловая скорость диска соответствует

п = 810 об/мин.

Ответ:

— nt

рад.

13.3 (377). Маятник центробежного регулятора, вращающийся

вокруг вертикальной

оси АВ,

делает

120 об/мин. В

начальный момент

угол

поворота

был

равен

-^ рад.

Найти

угол

поворота

угловое

перемещение маятника

за

время

£=1/2 сек.

Ответ:

ср=-£-я

рад;

Аф

= 2я рад.

13.4 (378). Тело, начиная вращаться равноускоренно

из

состояния

покоя,

делает

3600

оборотов

первые

2 мин.

Определить

угловое

ускорение.

Ответ:

е = я сек~

13.5 (379).

Вал

начинает вращаться равноускоренно

из

состояния

покоя;

первые

5 сек он

совершает

12,5

оборота. Какова

его

угло-

вая скорость

по

истечении этих

5 сек?

Ответ:

= 5

об/сек

= Юл сек-

№

13.6 (380). Маховое колесо начинает вращаться

из

состояния

покоя

равноускоренно; через

10 мин

после начала движения

оно

имеет

угловую

скорость,

соответствующую

120 об\мин.

Сколько

оборотов сделало колесо

за эти 10 мин?

Ответ:

600

оборотов.

13.7 (381). Колесо, имеющее неподвижную

ось,

получило началь-

ную

угловую

скорость

2и сек'

;

сделав

оборотов,

оно

вследствие

трения

подшипниках остановилось. Определить

угловое

ускорение

колеса, считая

его

постоянным.

Ответ:

е = 0,1тс сек~*,

вращение замедленное.

13.8 (382).

момента выключения мотора пропеллер самолета,

вращавшийся

угловой скоростью, соответствующей

л= 1200 об/мин,

сделал

до

остановки

оборотов. Сколько времени прошло

с момента выключения мотора

до

остановки, если считать вращение

пропеллера равнозамедленным?

Ответ:

8 сек.

13.9 (383). Тело совершает колебания около неподвижной

оси,

дричем

угол

поворота выражается уравнением

= 20°

sin ф,

где

угол

выражен

угловых

градусах

зависимостью ф

(2£)°,

при-

чем

t ,

обозначает секунды. Определить

угловую

скорость тела

момент £

= 0,

ближайшие моменты t%

и t

которые изменяется

направление вращения,

период колебания

Т.

Ответ:

gygir

сек'

; ^ = 45 сек;

= 135 сек;

7=180

сек.

13.10 (384). Часовой балансир совершает

крутильные гармонические колебания

с пе-

риодом

Т=1/2 сек.

Наибольший

угол

от-

клонения

точки обода балансира

от

положе-

ния

равновесия

а =

я/2

рад.

Найти

угловую

скорость

угловое

ускорение баланса через

сек

после момента, когда балансир

про-

ходит

ПОЛОЖеНие равНОВеСИЯ.

t К

задаче 13

10.

Ответ:

2тс

сек'

; в = 0.

13.11 (385). Маятник колеблется

вертикальной плоскости

око-

ло неподвижной горизонтальной

оси О.

Выйдя

начальный момент

из

положения равновесия,

он

достигает наибольшего отклонения

= тс/16 рад

через

2/3 сек.

1) Написать закон колебаний маятника, считая,

что он

совершает

г гармонические колебания.

каком положении маятник

будет

иметь наибольшую

угло-

вую скорость

чему

она

равна?

Ответ:

<р

Tg-sin

-г

отвесном положении; а>та1

-эт'

са

сек'

задаче

13.14.

13.12 (386). Определить скорость v и ускорение w точки, нахо-

дящейся

на поверхности Земли в Ленинграде, принимая во внимание

только вращение Земли вокруг своей оси;" широта Ленинграда 60°;

радиус Земли

6370

км.

Ответ:

г>

0,232

км/сек;

те> =

0,0169

м/сек*.

13.13 (387). Маховое колесо радиуса 0,5 м вращается равномерно

вокруг своей оси; скорость ючек, лежащих на его

ободе, равна 2

м/сек.

Сколько оборотов в минуту

делает колесо?

Ответ:

« = 38,2

об'/мин.

13.14 (388). Точка А шкива, лежащая на его

ободе, движется со скоростью 50

см/сек,

неко-

торая точка В, взятая на одном радиусе с точ-

кой

А, движется со скоростью 10

см/сек;

расстоя-

ние

АВ = 20 см. Определить

угловую

скорость <о

диаметр шкива.

Ответ:

= 2

ceic'

;

d = 50 см.

13.15 (389). Маховое .колесо радиуса /? = 2 м вращается рав-

ноускоренно

из состояния

покоя;

через £=10 сек точки, лежащие

на

ободе, обладают линейной скоростью г» =100

м/сек.

Найти ско-

рость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для

момента t = 15 сек.

Ответ:

т>=150

м/сек;

©„=11250

м/сек\

да

= 10

м/сек

13.16 (390). Найти горизонтальную скорость v, которую нужно

сообщить

телу,

находящемуся на экваторе, для того, чтобы оно, дви-

гаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направляющих,

имело ускорение свободного падения. Определить также время Т,

по

истечении которого тело вернется в первоначальное положение.

Радиус Земли R =

637-10

см, а ускорение силы

тяжести jia экваторе

g=978

см/сек*.

Ответ:

v=7,9

км/сек;

7 = 1,4 часа.

13.17 (391).

Угол

наклона полного ускорения

точки

обода махового колеса к радиусу равен.60°.

Касательное ускорение ее в данный момент и>

10]/3

м/сек*.

Найти нормальное ускорение

точки,

отстоящей от оси вращения на расстоянии

г =,0,5 м. Радиус махового колеса R=l м.

Ответ:

= b

м/сек

13.18(392). Вал радиуса R=10 см приво-

дится во вращение гирей Р, привешенной к нему

на

нити. Движение гири выражается уравнением я=100£

, где

х — расстояние гири от места

схода

нити с поверхности вала, выра-

женное

в сантиметрах, t — время в секундах. Определить

угловую

скорость to и угловое ускорение е вала, а также полное ускоре-

ние

w точки на поверхности вала в момент t.

Ответ:

ю = 20<

сек'

;

е = 20

сек'

;

= 200 ]/Г+4007*

см/*ек\

116

задаче

13.18.

13.19. Решить предыдущую задачу

общем виде, выразив уско-

рение

точек обода колеса через пройденное гирей расстояние

х,

радиус колеса

R и

ускорение гири

х = w

const.

Ответ:

w =

~\/

1+4^-.

13.20. Стрелка гальванометра длиной

3 см

колеблется вокруг

неподвижной

оси по

закону

= ф

sin kt.

Определить ускорение конца стрелки

в ее

среднем

крайних

положениях,

также моменты времени,

при

которых угловая

ско-

рость

со и

угловое ускорение

обращаются

нуль, если период

ко-

лебаний

равен

0,4 сек, а

угловая амплитуда

Фо

—™.

Ответ:

1) В

среднем положении стрелки

а» = 8,1 см/сек

крайних положениях стрелки

w = 77,5 см/сек

со

= 0 при * =

(0,1+0,2л)

сек (я = 0, 1, 2, ...)•

8 = 0 при

= 0,2л сек (я = 0, 1, 2, ...).

14.

Преобразование простейших движений

твердого тела

14.1 (395). Зубчатое колесо

диаметром

Dj = 360 мм

делает

=100

об/мин.

Чему должен равняться диаметр зубчатого колеса

//,

находящегося

колесом

У во

внутреннем зацеплении

делающего

300

об/мин?

Ответ:

Д,=

120 мм.

задаче

14.1.

задаче

14.2.

14.2 (396). Редуктор скорости, служащий

для

замедления враще-

ния

вала

/ и

передающий вращение валу

11,

состоит

из

четырех

шестерен

соответствующим числом зубцов: 2i=10,

22 =

60,^3=12,

= 70.

Определить передаточное отношение механизма.

Ответ:

lj # = — = 35.

14.3 (398). Станок

со

шкивом

приводится

движение

из

состояния

покоя бесконечным ремнем

от

шкива

электромотора;

радиусы шкивов:

= 75 см, г

= 30 см;

после пуска

в ход

электро-

117

мотора

его

угловое ускорение равно

0,4я сек~

Пренебрегая сколь-

жением ремня

по

шкивам, определить, через сколько времени

ста-

нок

будет

делать

300 об/мин.

Ответ:

10 сек.

14.4 (400).

механизме стре-

лочного индикатора движение

от

рейки

мерительного штифта

передается шестерне

2, на оси

которой укреплено зубчатое

ко-

лесо

сцепляющееся

шестер-

№.

задаче

н.э. ней 4,

несущей стрелку. Опреде-

лить

угловую

скорость стрелки,

если движение штифта задано уравнением

x =

asinkt

и.

радиусы

зубчатых

колес соответственно равны

, г

и г

Ответ:

a),

= -^-

задаче

14.4.

задаче

14.5.

14.5 (401).

механизме домкрата

при

вращении рукоятки

начинают вращаться шестерни

7, 2, 3, 4 и 5,

которые приводят

движение

зубчатую

рейку

домкрата. Определить скорость послед-

ней,

если рукоятка

делает

30 об/мин.

Числа зубцов шестерен:

6, Z

24,

= 8, z

= 32;

радиус пятой шестерни

= 4 см.

Ответ:

г>

7,8

мм/сек.

14.6 (402).

Для

получения перио-

дически изменяющихся

угловых

ско-

ростей сиеплены

два

одинаковых

эллиптических

зубчатых

колеса,

из

которых одно вращается равномерно

вокруг оси О, делая

270

об/мин,

а дру-

гое приводится первым

во

вращатель-

ное движение вокруг

оси О

. Оси О

параллельны

проходят через

фокусы эллипсов. Расстояние

равно

50 см;

полуоси эллипсов

и 15 см.

Определить наименьшую

наибольшую угловые

ско-

рости колеса

Ответ:

©min^n

ceie

;

о)

ах=81л

сек~\

118

задаче

14.6.

14.7 (403). Вывести закон передачи вращения пары эллипти-

ческих

зубчатых

колес

полуосями

а и Ь.

Угловая скорость

колеса

const. Расстояние

между

осями OxO^

— ia;

ср—угол,

образованный прямой, соединяющей

оси

вращения,

большой осью

эллиптического колеса

/. Оси

проходят через фокусы эллипсов.

Ответ: со,=——^

—

Шт,

где

с—линейный

—2accos<j>+c

эксцентриси-

тет эллипсов:

с =

]/а

—Ь

14.8 (404). Найти наибольшую

наименьшую угловые скорости

овального колеса О

, сцепленного

колесом

делающим

240 об/мин.

Оси вращения колес находятся

центрах овалов. Расстояние

'между

осями

равно

50 см.

Полуоси

овалов равны

40 и 10 см.

Ответ: u)

min

сек

задаче

14.7.

задаче

U.S.

14.9 (405). Определить, через какой промежуток времени

зубча-

тое коническое колесо

радиуса

=10 см

будет

иметь

угловую

скорость, соответствующую

4320

об/мин,

если

оно

приводится

во вращение

из

состояния покоя таким

же

колесом

радиуса

15 см,

вращающимся равноускоренно

угловым ускорением

об/сек

Ответ:

г!=24

еек.

•*—

у'

}

У//Л

[777Я

i '

Г,

У//Л

задаче

14.9.

задаче

14.10.

14.10 (406). Ведущий

вал /

фрикционной передачи делает

600 об/мин

на

ходу

передвигается (направление указано стрелкой)

так, что

расстояние

меняется

по

закону d=(10—0,5*)

см (t— в

секундах).

Определить:

угловое ускорение вала

// как

функцию

от рас-

стояния

ф,

2) ускорение точки на ободе колеса В в момент, когда d = г,

даны радиусы фрикционных колес: г = 5 см, R = 15 см.

= 30u /40

Ответ:

1) е = ~

сек-*;

14.11 (407). Найти закон движения, скорость и ускорение пол-

зуна В кривошипно-шатунного механизма ОАВ, если длины шатуна

кривошипа одинаковы: АВ — ОА = г, а вращение кривошипа О А

вокруг вала О равномерно:

= а)

. Ось х направлена по направляю-

щей ползуна. Начало отсчета расстояний — в центре О кривошипа.

Ответ:

x = 2r cos

<J)

т—

задаче 14.11.

- 2ru)oSin a

задаче

14.12.

-Н

14.12 (408). Определить закон движения, скорость и ускорение

ползуна В кривошипно-шатунного механизма, если кривошип ОА вра-

щается с постоянной угловой скоростью щ. Длина кривошипа О А = г,

длина шатуна AB — I.

Ось Ох направлена по направляющей ползуна. Начало отсчета —

центре О кривошипа. Отношенисе -г =

следует

считать весьма ма-

лым (X <^ IV

о.

= о)о^>

Ответ:

x — r (cos

w</-4-т

cos2!w

£)

-f- / — -j r;

\ 4 / ч

= — rcu

(sinш

£-)- -^ sin

2u)

V & I

— — ru)o (cos u)

-j-

cos

2u>4).

14.13

(409).

Найти закон движения стержня, если диаметр экс-

центрика d = 2r, а ось вращения Ю находится от оси диска С на рас-

стоянии

0С = а\ ось Ох направлена по

стержню, начало отсчета — на оси враще-

ния,

— = л.

Ответ:

x =

acos<?-\-r

/l —

sin

ср.

К задаче 14.13.

^гя# i

К задаче 14.14.

14.14 (411). Написать уравнение движения поршня нецентрального

кривошипно-шатунного механизма!. Расстояние от оси вращения кри-

120