Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике
Подождите немного. Документ загружается.
Ответ:
Траектория
—
парабола
у — tg
а.
•
х —
9 2
g
2
•
-
лг
а
; высота
tf
^a;
L a;
10.16.
В
условиях предыдущей задачи определить,
при
каком
угле
бррсания
а
дальность полета
L
будет
максимальной. Найти соответ-
ствующие
высоту
и
время полета.
Ответ:
а = 45°;
L
raax
= |; Я = |; Г =
]/2-|.
10.17.
В
условиях задачи
10.15
определить
угол
бросания
а, при
котором снаряд попадет
в
точку
А с
координатами
х и у.
Ответ:
tga =
Pi ±
^~f
^~^-
10.18. Определить параболу безопасности
(все
точки, лежащие
вне
этой
параболы,
не
могут
быть
достигнуты
снарядом
при
данной
на-
чальной скорости
г»
0
и
любом
угле
бросания
а).
Ответ:
y
=
f
g
-§^x\
10.19. Точка движется
по
винтовой линии
х = a cos kt, y = a sin kt, z
=s v£.
Определить уравнения движения точки
в
цилиндрических координатах.
Ответ:
г = а, y = kt, z — xt.
10.20. Даны уравнения движения точки:
x
=
2acos
2
y,
y^asmkt,
где
а и k —
положительные постоянные. Определить траекторию
и
закон
движения точки
по
траектории, отсчитывая расстояние
от на-
чального положения точки.
Ответ:
Окружность
(х — а)
2
-{-у
2
= a
2
; s = akt.
10.21.
В
условиях предыдущей задачи определить уравнения
дви-
жения
точки
в
полярных координатах.
Ответ:
г — 2а cos у; ф =
-„-.
10.22.
По
заданным уравнениям движения точки
в
декартовых
координатах
найти
ее
траекторию
и
уравнения движения
в
сферических коорди-
натах.
Ответ:
Линия пересечения сферы
х
2
-f-_y
2
-f- z
2
— R
2
и
цилиндра
(
р \2 ра
х
J -j-j/2 —_,
Уравнения движения
в
сферических координатах:
,r
= R, ф = у,
®
= Y-
10.23. Точка
участвует
одновременно
в
двух
взаимно перпенди-
кулярных
затухающих
колебаниях, уравнения которых имеют
вид
х =
Ae~
ht
cos (kt +
е),
у =
Ae~
ht
sin {kt
-\-
г),
101
где
Л^>0, h^>0, k~^>0 и s —
некоторые постоянные. Определить
уравнения движения
в
полярных координатах
и
найти траекторию
точки.
Ответ:
r = Ae~
M
,
<p
=
kt-\-e; траектория
—
логарифмическая
_
-(<р-е)
спираль
г = Ае * . • .
§
11.
Скорость
точки
11.1 (325). Точка совершает гармонические колебания
по
закону
x
—
asinkt.
Определить амплитуду
а и
круговую частоту
k
колеба-
ний,
если
при х = Х\
скорость
v = Vi,
а
при х = дг
а
скорость
v = г/
4
.
Ответ:
а =
11.2 (327). Длина линейки эллипс'о-
-х
графа
АВ = 40 см,
длина кривошипа
ОС = 20 см, АС = СВ.
Кривошип
к
задаче П.2. равномерно вращается вокруг
оси О
с угловой скоростью
ш.
Найти урав-
нения
траектории
и
годографа скорости точки
М
линейки, лежащей
на
расстоянии
AM =10 см от
конца
А.
х^
v^ jc?
л1
^
Ответ:
ГШП
+
ТЖ=^'
900(л
а
' 100w
2
•
11.3 (328). Точка описывает фигуру Лиссажу согласно уравне-
ниям
(х, у — в
сантиметрах,
t — в
секундах). Определить величину
и на-
правление скорости точки, когда
она
находится
на оси Оу.
Ответ:
1) v=2 см/сек; cos
(г»,
х) =
—1.
2)
г>
= 2 см/сек;
cos(i>,
х)= 1.
11.4 (329). Точка движется согласно уравнениям
{t
— в
секундах,
х, у — в
сантиметрах). Определить величину
и на-
правление скорости точки
при
£
= 0; t=\ сек; t=2 сек.
Ответ:
1)
Ъъ
— ^ъ см/сек; cos
(vo,
x) = -^;
cos(vo,
у) = ~.
2)^
= 0.
3)
v
i
= Y'
K
см/сек;
cos(t>a,
х) = —
-=-;
cos(t>
2
,
y) =
—=-,
11.5 (330). Кривошип О
А
вращается
с
постоянной угловой
ско-
ростью
ш.
Найти скорость середины
М
шатуна кривошипно-шатун-
102
ного механизма
и
скорость ползуна
В в
зависимости
от
времени,
если
ОА = АВ = а (см.
чертеж
к
задаче 10.12).
Ответ:
I) v
M
= ~ ш У
8
sin
2
wt
-)-
1. 2) v
B
= 2awsino>t
t
11.6 (363). Движение точки задано уравнениями
#
9
причем
ось Ох
горизонтальна,
ось Оу
направлена
по
вертикали вверх,
г»
0
,
g и
«о<С"о величины постоянные. Найти:
1)
траекторию точки,
-2) координаты наивысшего
ее
положения,
3)
проекции скорости
на
координатные
оси в тот
момент, когда точка находится
на оси Ох.
Ответ:
1)
Парабола
у = х tg a
D
—
2pg
^
g
х
3
.
£\ X ' п— Sin
«iOtQj
V .I ^r— Sill
OLn
.
3)
u* = t»
0
cos a
9
; v
y
= zt
г>
0
sin a
0
,
причем верхний
знак
соответствует начальному моменту времени,
а
нижний
—
момеяту
,
2w
0
sin a
0
11.7
(364). Движение точки задано теми
же
уравнениями,
что и
в
предыдущей задаче, причем
i>
0
=
20 м/сек, a
0
= 60°,
g=9,8l
м/сек*.
Найти,
с
какой скоростью
Vi
должна выйти
из
начала координат
в
момент £
= 0
вторая точка
для
того, чтобы, двигаясь равномерно
по
оси Ох, она
встретилась
с
первой точкой,
и
определить расстоя-
ние
Xi до
места встречи.
Ответ:
t»i = 10
м/сек;
Xi = 35,3 м.
11.8
(365). Определить высоты
Н
ъ
Л
2
и /г
3
над
поверхностью воды
трех
пунктов отвесного берега, если известно,
что три
пули, выпу-
щенные одновременно
в
этих пунктах
с
горизонтальными скоростями
50,
75 и 100 м/сек,
одновременно упали
в
воду,
причем расстояние
точки падения первой пули
от
берега равно
100 м;
принять
во
внимание
только ускорение силы тяжести g=9,81
м/сек*.
Опреде-
лить также продолжительность
Т
полета пуль
и их
скорости
vi, %
и
v
3
в
момент падения
в
воду.
Ответ:
/г
1
= /г
2
= /г
3
= 19,62 м; Т = 2 сек;
1*1
= 53,71 м/сек,
г»а
= 77,52 м/сек, f
3
= 101,95 м/сек.
11.9 (366).
Из
орудия,
ось
которого образует
угол
30° с
гори-
зонтом, выпущен снаряд
со
скоростью
500 м/сек.
Предполагая,
что
снаряд имеет только ускорение силы тяжести g=9,8l
м/сек*,
найти
годограф скорости снаряда
и
скорость точки, вычерчивающей годо-
^граф.
Ответ:
Годограф
—
вертикальная пряма», отстоящая
от
начала
•координат
на 432 м;
-Dj
= 9,81 м/сек
1
.
11.10 (332). Определить уравнения движения
и
траекторию точки
колеса электровоза радиуса
R=l м,
лежащей
на
расстоянии
103
V/////V///////////.
а = 0,5
м
от оси, если колесо катится без скольжения по гори-
зонтальному прямолинейному
участку
пути; скорость оси колеса
г» =10
м/сек.
Ось. Ох совпадает
с
рельсом, ось Оу— с радиусом
точки при ее начальном низшем положении. Определить также ско-
рость этой точки
в
те моменты времени, когда диаметр колеса, на
котором она расположена, займет горизонталь-
ное и вертикальное положения.
Ответ:
Укороченная циклоида
х=\Ы—0,5sin 10/, у = 1 — 0,5 cos 10/.
Скорость:
1)
11,18
м/сек;
2) 5
м/сек;
15
м/сек.
11.11 (333). Скорость электровоза
v
o
=
=
72
км/час;
радиус колеса его R=l м; колесо
катится по прямолинейному рельсу без сколь-
жения.
1) Определить величину
и
направление ско-
рости
v
точки М на ободе колеса
в
тот момент,
к
аадачё~и.п. когда радиус точки М составляет
с
направлением
скорости
v
a
угол
тс/2-f-a-
2) Построить годограф скорости точки М и определить скорость
г^ точки, вычерчивающей годограф.
Ответ:
1) Скорость v — 40 cos
^
м/сек
и
направлена по пря-
мой
МА.
2) Окружность p =
2t»
0
cosS,
где 9 =-9"'
Р
а
Д
и
У
са
г
—^о
(см.
чертеж);
ti
1
=|~=400
м/сек
2
.
11.12 (334). Определить уравнения движения и траекторию точки
М колеса вагона радиуса ft. = 0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии
а = 0,6
м и
лежащей
в
начальный момент на 0,1
м
ниже рельса,
если вагон движется
по
прямолинейному пути
со
скоростью
v =10
м/сек.
Найти также моменты времени, когда эта точка
будет
проходить свое нижнее и верхнее положения, и проекции ее скорости
на
оси Ох, Оу
в
эти моменты времени. Ось Ох совпадает с рельсом,
ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки.
Ответ:
Удлиненная циклоида
х =
10/—0,6
sin 20*; у = 0,5
-
0,6 cos 20£
nk
при
t=TQ
сек—
нижнее положение точки, v
x
= — 2
м/сек,
i/j, = 0;
при
t=£(\-\-2k)
сек —верхнее положение точки, г»
л
= 22
м/сек,
Vy = 0, где
&
= 0, 1, 2, 3,..,
11.13. Точка
участвует
одновременно
в
двух
взаимно перпендику-
лярных
затухающих
колебаниях согласно уравнениям
X = Ае'
ш
cos (kt + 8), у =
Ae'
ht
sin (kt
-\-
e).
104
Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных
координат и найти модуль скорости точки
Ответ: 1) v
x
= — Аё~
ы
[h cos (kt + e) + k sin
(kt-\-e)],
v
y
= — Ae'"' [h sin (A* -f e) — A cos (A* -f e)];
2) ty =
—Л/»-*
p =
i4Ag-";
г.
3)
v=A Yh* -f А
2
<Г
Л
'
=
11.14.
Какую кривую опишет корабль, идущий под постоянным
курсовым углом а к географическому меридиану? Корабль приняв
за точку, движущуюся по поверхности земного шара.
N
К
f
К
задаче
11 14.
Ответ:
tg (— -J--|-) = tg
(-£--|-^)ei*-*°>
ct
£
a
,
где 9 — широта, а
>. — долгота текущего положения корабля (эта кривая называется
локсодромией).
Указание. Воспользоваться сферическими координатами г, X и ср.
11.15. Уравнения движения точки М в цилиндрической системе
координат имеют вид (см. задачу
10.19)
г
=з
а,
•
<p
=
kt,
z = vt.
Найти
проекции скорости точки М на оси цилиндрической системы
координат, уравнения движения точки М
ь
описывающей годограф
скорости, и проекции скорости точки Mi.
Ответ: 1) v
r
~Q, v
9
= ak, v
s
= r,
2) г, — ak,
<pi
= | +
kt
>
z
* —
r
>
3) v
ri
= 0,
v
9l
=ak\
v
Zl
=0.
11.16.
Точка
М
движется
по
окружности
согласно
уравнениям
o
kt kt
r 2acos
<
p
(r,
<p
—
полярные координаты). Найти проекции скорости точки
М на
оси полярной системы координат, уравнения движения точки
Mi, опи-
сывающей годограф скорости,
и
проекции скорости точки
yWj.
105
Ответ:
1) v
r
— — ak sin у, v
v
— ak cos у;
2)
ri
=ak,
Ф!
= у + «;
3) v
ri
=
0,
4)
<H
= ak\
11.17. Точка движется
по
линии пересечения сферы
и
цилиндра
согласно уравнениям
г.
kt . ' kt
(г,
<р, 9
—
сферические координаты;
см,
задачу
10.22).
Найти
модуль
и
проекции скорости точки
на оси
сферической системы координат.
г,
п
Rk kt Rk Г
Ответ:
v
r
=0,
v
v
=
T
C0S
Y
t
Vi==
\'
W==
F
11.18 (335). Найти
в
полярных координатах
(г, ср)
уравнение кри-
вой,
которую опишет корабль, сохраняющий постоянный
угол
пеленга
а
на
неподвижную точку
(угол
между
направлением скорости
и
направ-
лением
на
точку), если дано:
а и
r
f
_
0
=r
0
.
Корабль принять
за
точку,
движущуюся
на
плоскости,
и за
полюс взять произвольную непо-
движную точку
в
этой плоскости. Исследовать частные случаи
а = 0,
и/2
и те.
Ответ:
Логарифмическая спираль
г =
г
о
е~ч>
с1
е
а
.
При
а=тс/2
окружность
г = г
0
; при а=0 или
а.
=
%
прямая.
§
12.
Ускорение точки
12.1 (336). Поезд движется
со
скоростью
72
км/час,
при
тормо-
жении
он
получает
замедление, равное
0,4
м[сек
2
.
Найти,
за
какое
время
до
прихода поезда
на
станцию
и на
каком
от нее
расстоянии
должно быть начато торможение.
Ответ:
50 сек; 500 м.
12.2 (337). Копровая баба,
ударив
сваю, движется затем вместе
с
ней в
течение
0,02 сек до
остановки, причем свая
углубляется
в
землю
на 6 см.
Определить начальную скорость движения сваи,
считая
его
равнозамедленным.
Ответ:
6 м/сек.
12.3 (338). Водяные капли вытекают
из
отверстия вертикальной
трубочки через
0,1 сек
одна после
другой
и
падают
с
ускорением
9$1
см/сек
2
.
Определить расстояние
между
первой
и
второй каплями
через
1 сек
после момента истечения первой капли.
Ответ:
93,2 см.
12.4 (339). Движение трамвая
по
прямолинейному пути
в
период
разгона характеризуется
тем, что
проходимый трамваем
путь
пропор-
ционален
кубу
времени;
в
течение первой минуты трамвай прошел
путь
90 м.
Найти скорость
и
ускорение
в
моменты *
= 0 и t = 5 сек.
Построить
кривые расстояний, скоростей
и
ускорений.
Ответ:
г»
в
==0;
да
о
=О;
v
k
=-^M[MUH;
^=45 м[мин\
106
12.5 (341). Считая посадочную скорость самолета равной 400
км]час,
определить замедление его при посадке на пути /= 1200 м, считая,
что замедление постоянно.
Ответ: w = 5,15
м/сек
2
.
12.6 (342). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее под-
нятия
на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на
падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать,
что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением
9,81
м/сек
2
?
Ответ: 21
удар.
12.7 (344). Ползун движется по прямолинейной направляющей
с ускорением w
x
= —
n
2
sm-^-t
м/сек
2
.
Найти уравнение движения
ползуна, если его начальная скорость v
Ox
— 2n
м/сек,
а начальное
положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за
начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и уско-
рений.
Ответ:
x =
4sm-^t
м.
12.8 (343). Поезд, имея начальную скорость 54
км/час,
прошел
600 м в первые 30 сек. Считая движение поезда равнопеременным,
^
определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды,
если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении
радиуса R— 1 км.
Ответ:
г) = 25
м/сек;
w =
0,708
м/сек
2
.
12.9 (372). При
отходе
от станции скорость поезда возрастает
равномерно и достигает величины 72
км/час
через 3 мин после
отхода;
путь расположен, на закруглении радиуса 800 м. Определить
касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мин
после момента
отхода
от станции.
1
2
Ответ:
w
t
= -^
м/сек
2
;
w
n
=
-g-
м/сек
2
;
w — 0,25
м/сек
2
.
12.10 (345). Поезд движется равнозамедленно по
дуге
окружно-
сти радиуса /? = 800 м и проходит путь s = 800 м, имея начальную
скорость г>
0
= 54
км/час
и конечную г»= 18
км/час.
Определить
полное ускорение поезда в начале и в
конце
дуги,
а также время движения по
этой
дуге.
Ответ:
Щ —
0,308
м/сек
2
;
w = 0,129
м/сек
2
;
7 = 80 сек.
12.11 (346). Закругление трамвайного к задаче
i2.ii.
пути состоит из
двух
дуг радиусов pj =
=
300 м и р
2
= 400 м. Центральные
углы
а
1
= а
2
= 60°. Построить
график
нормального ускорения вагона, идущего по закруглению со
скоростью
г>
= 36
км/час.
12.12 (348). Точка движется по
дуге
окружности радиуса R= 20 см.
Закон
ее движения по траектории: s =
20sinjt£
(t — в секундах, s —
в
сантиметрах). Найти величину и направление скорости, касательное,
107
нормальное и полное ускорения точки в момент t = b сек. Построить
также график скорости, касательного и нормального ускорений.
ч
Ответ:
Скорость равна по величине 20п
см/сек
и направлена
в
сторону, противоположную положительному направлению отсчета
дуги
s; w
t
— 0;
w=w
n
= 20n,
2
см/сек
2
.
12.13 (349). Прямолинейное движение точки происходит по закону
s =
-S-
(at -f e~
ai
), где а и g — постоянные величины. Найти началь-
ную скорость точки, а также определить ее ускорение в функции
от скорости.
Ответ:
v
o
= 0;
w-z=g—av.
12.14 (350). Движение точки задано уравнениями
лт—
10cos2ft
lr
,
j> =
10sin
2n-=-
о
о
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах). Найти траекторию точки,
величину и направление скорости, а также величину и направление
ускорения.
Ответ:
Окружность радиуса 10 см; скорость
г>
= 4я
см/сек
и
направлена по касательной в сторону перехода от оси Ох к оси О у
поворотом на 90°; ускорение w= 1,6л
2
см/сек
2
и направлено к центру.
12.15 (355). Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в пе-
риод пуска имеют вид х — 75 cos it
2
, у = 75 sin it
2
(х, у — в санти-
метрах,
t — в секундах). Найти скорость, касательное и нормальное
ускорения пальца.
Ответ:
v =
6O0t
см/сек;
w
t
= 600
см/сек
2
;
w
n
=
4800t
2
см[сек\
12.16 (352). Движение точки задано уравнениями
где а и k — заданные постоянные величины.
Найти
уравнение траектории, скорость и ускорение точки как
функции
радиуса-вектора г = У^
2
Г
22
у у
Ответ:
Гипербола
х
2
—_у
2
= 4а
2
; u = £r; w = k
2
r.
12.17
(356).
Найти ускорение и
радиус
кривизны траектория
точки в момент ^=1 сек, если уравнения движения точки имеют вид
х = 4 sin ^
t>
У — 3 sin у с
{t — в секундах, х, у — в сантиметрах).
Ответ:
W=1,25JI
2
см/сек
2
;
р = оэ.
12.18 (357). Найти
радиус
кривизны при х=у = 0 траектории
точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям
х = — a sin 2(ot, у — — а sin со£.
Ответ:
р = оо.
12.19 (358). Найти величину и направление ускорения, а также
радиус
кривизны траектории точки колеса, катящегося без скольже-
ния
по горизонтальной оси Ох, если точка описывает циклоиду
108
согласно уравнениям
(t
— в
секундах,
х, у— в
метрах). Определить также значение радиуса
кривизны
р при
^
= 0.
Ответ:
Ускорение
те>
= 400 м/сек* и
направлено
по МС к
центру
С
катящегося круга;
р = 2МА;
ро
= 0.
К
задаче
12.19.
К
задаче
12.20.
12.20. Найти траекторию точки
М
шатуна кривошипно-шатунного
механизма, если
г = /=60 см, МВ =
-^1,
<р
= 4т^ (t — в
секундах),
а также определить
тории точки
в
скорость, ускорение
и
радиус
кривизны траек-
момент,
Ответ:
Эллипс
.„
08
когда
ср
=
О.
~|~^j8
==
1>
•У=80Л
см/сек;
задаче
12.21.
о>=
1600л
2
см/сек*;
р
= 4 см.
12.21.
На
проволочной окружности радиуса
10
см
надето колечко
М;
через него проходит
стержень О А, который равномерно вращается
вокруг точки
О,
лежащей
на той же
окружности;
угловая скорость стержня такова,
что он
поворачивается
на
прямой
угол
в 5 сек.
Определить скорость
v и
ускорение
w
колечка.
Ответ:
v = 2тг см/'сек; w =
0,4п:
2
смjсек
1
.
12.22 (367). Движение снаряда задано уравнениями
где
Vo и a
0
—
постоянные величины. Найти
радиус
кривизны траекто-
рии
при (=0 и в
момент падения
на
землю.
Ответ:
р
=
-
12.23 (368). Снаряд движется
в
вертикальной плоскости согласно
уравнениям
х =
dQOt,
у =
400£
—
Ы*
(t — в
секундах,
х, у — в мет-
рах). Найти:
1)
скорость
и
ускорение
в
начальный момент,
2)
высоту
и
дальность обстрела,
3)
радиус
кривизны траектории
в
начальной
и
в
наивысшей точке.
Ответ:
v
o
= 500 м/сек; w$ = 10 м/сек
%
, ft = 8
KM;
s = 24 км;
рв=41,67
км; р = 9 км,
109
12.24 (370).
Из
орудия береговой артиллерии
с
высоты
Л
= 30 м
над уровнем моря произведен выстрел
под
углом
а
о
= 45° к
гори-
зонту
с
начальной скоростью снаряда
v<s==
1000 м/сек.
Определить,
на
каком расстоянии
от
орудия снаряд
попадет
в
цель, находящуюся
на
уровне моря. Сопротивлением
воздуха
пренебречь.
Ответ:
102 км.
12.25 (371). Найти касательное
и
нормальное ускорения точки, движение
которой выражается уравнениями
X=at,
у=Щ —
%-.
К
задаче
12.24.
^
Ответ:
w
t
= — ~ ; w
n
= ~, где
v—скорость точки.
12.26 (373). Точка движется
по
винтовой линии согласно уравне-
ниям
j*r=2cos4^
y = 2sin4t, z = 2t,
причем
за
единицу длины взят
иетр. Определить
радиус
кривизны
р
траектории.
Ответ:
p
=
2-g-
м.
12.27 (374). Движение точки задано
в
полярных координатах
уравнениями
г = ае
ы
и
ср
= ££, где а и k —
заданные постоянные
величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение
и
радиус
кривизны
траектории точки
как
функции
ее
радиуса-вектора
г.
Ответ:
r = ae
f
—
логарифмическая спираль;
v = k^
12.28. Движение точки задано уравнениями
x=2t,
y = f
(t
— в
секундах,
х и у — в
сантиметрах). Определить величины
и
направления скорости
и
ускорения точки
в
момент времени
£=1 сек.
Ответ:
v=2V~2
см/сек;
ВУ—2
см/сек*;
(гГх)=45°,
(щх) = 90°.
12.29. Построить траекторию движения точки, годограф скорости
и
определить
радиус
кривизны траектории
в
начальный момент, если
точка движется согласно уравнениям
х —
М,
y~t*
(t—в
секундах,
х и у — в
сантиметрах).
Ответ:
Уравнение траектории
у =
^—кубическая парабола;годо-
граф скорости
—
прямая, параллельная
оси v
y
; p
0
= oo
(начальная точка
траектории
—
точка перегиба).
12.30. Кривошип
ОуС
длиной
а/2
вращается
с
постоянной угловой
скоростью
ш
вокруг
оси О\. В
точке
С с
кривошипом шарнирно
.связана линейка
АВ,
проходящая
все
время через качающуюся
муфту
О,
находящуюся
на
расстоянии
а/2 от оси
вращения
Оь
110