Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

вошипа

до

направляющей линейки

А,

длина кривошипа

г,

длина

ша-

туна

I; ось Ох

направлена

по

направляющей ползуна. Начало отсчета

расстояний

— в

крайнем правом положении ползуна;

—

= к,

Ответ:

х=г[/(к

+ 1)

—

J/X«—(sinep

A)» —

cos

14.15. Кулак, равномерно вращаясь вокруг

оси О,

создает равно-

мерное возвратно-поступательное движение стержня

. АВ.

Время

х(см)

задаче

Л/ о\

14.15.

t(cen)

ответу

задачи 14.15.

одного полного оборота кулака

8 сек;

уравнения движения стержня

в те-

чение этог.о времени имеют

вид (х—в

сантиметрах,

t—в

секундах)

(30

+ Ы,

(30

5(8—0.

Определить уравнения контура кулака

построить график движения

стержня.

+ —

ср,

0 ^

==g

it,

-?(2*_<р)

Г7Г7

Ответ:

г =

14.16.

Найти закон движения

построить график возвратно-посту-

пательного движения стержня

АВ,

если задано уравнение профиля

кулака

г =

[20+

—

<?)см,

0<ср<2тг.

Кулак, вращаясь равномерно, делает

об/мин.

х(см)

V////A

задаче

14.16.

ответу

задачи

14.16.

-t(cen)

Ответ:

х = 20 + 1Ш за

время одного оборота кулака

(3 сек),

после чего движение периодически повторяется.

121

14.17 (414). Написать уравнение контура кулака, у которого пол-

ный

ход стержня h = 20 см соответствовал бы одной трети оборота,

причем перемещения стержня должны быть в это время пропорцио-

нальны

углу

поворота. В течение следующей трети оборота стержень

должен оставаться неподвижным, и, наконец, на протяжении послед-

ней

трети он должен совершать обратный ход при тех же условиях,

что и на первой трети. Наименьшее расстояние конца стержня от

центра кулака равно 70 см. Кулак делает 20

об/мин.

Ответ:

Контур кулака, соответствующий первой трети оборота,

представляет архимедову спираль:

Второй трети оборота соответствует окружность радиуса г = 90 см.

задаче

14.17.

задаче 14.IS.

Для последней трети оборота контур кулака представляет собой

также архимедову спираль:

14.18 (415). Найти, на какую длину опускается стержень, опираю-

щийся

своим концом о круговой контур радиуса г = 30 см кулака,

движущегося возвратно-поступательно со скоростью v=5

см)сек.

Время опускания стержня £ = 3 сек. В начальный момент стержень

находится в наивысшем положении.

Ответ:

h =

4,020

см.

14.19 (416). Найти ускорение кругового поступательно движу-

щегося кулака, если при его равноускоренном движении без началь-

ной

скорости стержень опустился за 4 сек из наивысшего положе-

ния

на h = 4 см. Радиус кругового контура кулака г =10 см, (См.

чертеж к задаче

14.18.)

Ответ:

w=\

см/сек

ГЛАВА

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО

ТЕЛА

15.

Уравнения

движения

плоской

фигуры

15.1 (492). Линейка эллипсографа приводится в движение криво-

шипом

ОС, вращающимся с постоянной угловой скоростью ш

вокруг

оси О.

Приняв

ползун В за полюс, написать уравнения плоского движе-

ния

линейки эллипсографа, если ОС = ВС —

АС—г.

В начальный

момент линейка АВ была расположена горизонтально.

Ответ:

= 2r

cosu>

=G;

= — w

задаче 15.1.

задаче 15.2.

задаче 15.3.

15.2. Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонталь-

ной

прямой. Скорость центра С колеса постоянна и равна v. .

Определить уравнения движения колеса, 'если в начальный момент

ось у, жестко связанная с колесом, была вертикальна, а неподвижная

ось у проходила в это время через центр С колеса. За полюс при-

нять

точку С.

Ответ:

= vt; Ус = — Я,

~Б*-

15.3 (493). Шестеренка радиуса г, катящаяся по неподвижной

шестеренке радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА, вра-

щающимся равноускоренно с угловым ускорением е

вокруг оси О

неподвижной шестеренки.

Составить уравнения движения подвижной шестеренки, приняв за

полюс ее центр А, если при £ = 0 угловая скорость кривошипа

% = 0 и начальный

угол

поворота

<ро

= 0.

123

Стеет:

— {R + г) cos

где Фх~

угол

поворота подвижной шестеренки.

15.4 (494). Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвижной

шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА, вра-

щающимся равномерно вокруг оси О не-

подвижной шестеренки с угловой ско-

ростью щ. При t =

угол

= 0.

Составить уравнения движения под-

вижной шестеренки, приняв ее центр А

за полюс.

Ответ:

— (R — r) cos со,/;

Ул = № — г) sin a

ф1

= — (*

задаче

15.4.

где ф!

—угол

поворота подвижной ше-

стеренки; знак минус показывает, что

шестеренка вращается в сторону, противо-

положную кривошипу.

15.5 (495). Найти

уравнения

движения

шатуна паровой машины,

если кривошип вращается равномерно; за полюс взять точку А на

оси пальца кривошипа; г—длина кривошипа, /-—длина шатуна, ю

—

угловая скорость кривошипа. При ^ = 0

угол

а = 0. (См. чертеж

задаче

14.12.)

Ответ:

x — r cos (o

t; у — г sin ЩГ; ф = — arcsin (~ sin ю

15.6 (498). Инверсор, или прямило Поселье — Липкина представ-

ляет собой шарнирный механизм, состоящий из ромба

ADBC

задаче

15.6.

со сторонами длиной а, причем вершины С и D движутся по одной

окружности при помощи стержней ОС и OD длиной /, вер-

шина

5 —по

другой

окружности при помощи стержня О

В длиной

г^ОО

Найти

траекторию вершины А.

Ответ:

Прямая, перпендикулярная к OOi и отстоящая от точки О

на

расстоянии х = -

124

15.7. Муфты

А и В,

скользящие вдоль прямолинейных напраз-

ляюших, соединены стержнем

АВ

длиной

Муфта

движется

с по-

стоянной

скоростью

Написать

уравнения движения стержня

АВ,

предполагая,

что

муфта

начала двигаться

от

точки

О. За

полюс принять точку

А.

Угол

BOA

равен

я — а.

Ответ:

=—

x^cosa;

= v

t sin

a; <j>=—arcsin —j—

sin a.

15.8. Конец

стержня

АВ

скользит

по

прямолинейной направ-

ляющей

постоянной скоростью

причем стержень

при

движении

опирается

на

штифт

Написать

уравнения движения стержня

и его

конца

В.

Длина

стержня равна

превышение штифта

D над

прямолинейной направ-

ляющей равно

И. В

начале движения конец стержня

совпадал

с точкой

О —

началом неподвижной системы координат;

ОМ = а. За

полюс принять точку

А.

Ответ:

= vt, у

= 0,

<р

arctg

— vt'

задаче

16.8.

задаче

15.9. Кривошип

О\А

длиной

а/2

вращается

постоянной угловой

скоростью

св. С

кривошипом

точке

шарнирно соединен стер-

жень

АВ,

проходящий

все

время через качающуюся

муфту

О,

причем

00!=? а/2.

Найти

уравнения движения стержня

АВ и

траекторию

(в

поляр-

ных

декартовых координатах) точки

М,

находящейся

на

стержне

на

расстоянии

а от

шарнира

А. За

полюс принять точку

А.

Ответ:

1) ХА= уО

+cosutf),

^-sinu>t,

? = y;

2) Кардиоида:

р=а (cos 9 —

1), je

-|-_y

=а

(х—Ух*-\-у*).

15.10 (500). Конхоидограф состоит

из

линейки

АВ,

которая

шар-

нирно

соединена

точке

А с

ползуном, скользящим

по

прямолиней-

ной

направляющей

ED, и

проходит через качающуюся около непод-

вижной

оси О

муфту.

Ползун совершает колебательное движение

по

закону

х = с sin

mt,

где с и to —

заданные постоянные числа

(оси

координат показаны

на

рисунке).

125

Найти

уравнения движения

линейки

АВ и

уравнения

полярных

декартовых координатах

кривой,

которую описывает точка

М ли-

нейки

АВ,

если

АМ =

Ь.

Ответ:

1) x

csma>t,

Ул = а,

<р

= arctg—~-•

S1H (*)£

задаче 15.10.

задаче 15.11.

16.11. Кривошип О

антипараллелограмма

OABOi,

поставленного

на

большое звено

ООь

равномерно вращается

угловой скоростью

со.

Приняв

за

полюс точку

А,

составить уравне-

ния

движения звена

АВ,

если

0А = 0\В = а

OOi = AB = b

(a<^b);

начальный

мо-

мент кривошип О

А был

направлен

по ОО\.

Ответ:

ХА = я cos

u>t;

= a sin

mt;

„ , a sin

<nt

со

= — 2

arctg

r ;.

° b — a

cos

15.12. Кривошип О А антипараллелограм-

ма

OABOi,

поставленного

на

малое звено

ООь

равномерно вращается

угловой

ско-

ростью

со.

Приняв

за

полюс точку

А,

составить

уравнения движения звена

АВ,

если

ОА =

= b

(a^>b);

начальный момент криво-

задаче 15.12.

а и OOi =

шип

О А

был

направлен

по ООь

Ответ:

cos utf;

= a sin

a>t;

= 2

arcctg

— /а

16. Скорости точек твердого тела в плоском движении.

Мгновенный центр скоростей

16.1. Направив

ось

перпендикулярно

скорости любой

из

точек

плоской

фигуры, показать,

что

проекции

на эту ось

скоростей

всех

лежащих

на ней

точек равны нулю.

16.2. Центр

колеса, катящегося

по

прямолинейному горизон-

тальному

рельсу,

движете?

по

закрну

Хс = It* см.

Стержень

АС дли-

ной

/=12 см

совершает колебания вокруг горизонтальной

оси С,

126

перпендикулярной к плоскости чертежа, согласно уравнению

<р

-g-sin-2-^

pad.

Определить скорость конца А стержня АС в момент времени t=0.

Ответ:

Скорость направлена по горизонтали вправо и равна по

модулю

9,86

см/сек.

16.3. Сохранив условие

предыду-

щей задачи, определить скорость кон-

ца А стержня АС в момент времени

t = 1 сек.

Ответ:

Скорость направлена по

горизонтали вправо и равна по

модулю

см/сек.

16.4. При движении диска радиуса

г = 20 см в вертикальной плоскости

ху его центр С движется согласно

уравнениям

Xc=l0t

м, _ус = (Ю0 —

—

4,9£

)

м. При этом диск вращается

вокруг горизонтальной оси С, перпен-

дикулярной к плоскости диска, с по-

стоянной

уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ '(0 =

1г/2

сек'

Определить в момент времени

£=:0 скорость точки А, лежащей на

ободе диска. Положение точки А на

диске определяется

углом

y = wt, от-

считываемым от вертикали против

хода

часовой стрелки.

Ответ:

Скорость направлена по

горизонтали вправо и равна по

модулю

10,31 м1 сек.

16.5. Сохранив условие

предыду-

щей задачи, определить скорость точки

А в момент времени t = 1 сек.

Ответ:

1^=10

м[сек;

=—9,49

м/ сек; г>д=13,8

м/сек-

16.6. Два одинаковых диска радиуса

г каждый соединены цилиндрическим,

шарниром А. Диск / вращается вокруг

неПОДВИЖНОЙ ГОриЗОНТаЛЬНОЙ ОСИ О

по

закону

<р

<р(О-

Диск II вра-

щается вокруг горизонтальной оси А согласно уравнению

Оси О и Л перпендикулярны к плоскости чертежа.

Углы

<р и

тываются от вертикали против

хода

часовой стрелки.

Найти

скорость центра С диска //.

Ответ:

= г (ф cos

-f- t[i cos

ф);

= г ($ sin

-j-

sin i|

задаче

16.6.

отсчи-

= r

-f f

cos

(<p

— (

127

16.7. Сохранив условие предыдущей задачи, найти скорость точки В

диска //, если /_ АСВ = я/2.

Ответ:

^ = г 1ф cosф + ]/2ф

cos(45°

+ ij))]; tin = г

{фsin

•f l/2\|)sin(45°+i|0]; ^ = гТ^ф

+ 2^

+ 2К^ф-ф cos [45° — (ф -Щ

16.8(501). Стержень АВ длиной 1 м движется, опираясь все время

своими концами на две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу.

Найти

координаты хну мгновенного центра скоростей в тот

момент, когда

угол

ОАВ — 60°.

Ответ:

х =

0,866

м; у = 0,5 м.

задаче 16.8.

задаче 16.9

задаче

16.10.

16.9(502). Доска складного стола, имеющая форму прямоуголь-

ника

ABCD

со сторонами ЛВ = 56 см и AD = 112 см, поворачи-

вается вокруг оси шипа О так, что занимает положение

А^В-^х^ъ

где АВ

= ВС

; при раскладывании затем получается квадрат

EFCi.

Найти

положение оси шипа.

Ответ:

х=14 см; у — 42 см.

16.10(503).

Доска складного стола, имеющая форму прямоуголь-

ника

со сторонами а и Ь, поворотом вокруг оси шипа О перево-

дится из положения

ABCD

в положение

AxBjCxDi

и,

будучи

разложена, образуег

прямоугольник со сторонами b и 2а.

В Найти положение оси шипа О относи-

тельно сторон АВ и AD.

задаче 16.11.

Ответ:

= -^; у

= ^-~~.

16.11 (506). Прямая АВ движется в плос-

кости чертежа. В некоторый момент времени

скорость v

точки А составляет с прямой

АВ

угол

30° и равна 180

см/сек,

направ-

ление скорости точки В в этот момент сов-

падает с направлением прямой АВ.

Определить скорость v

точки В,

Ответ:

v^ — 156

см/сек.

16.12(507).

Прямая АВ движется в плоскости чертежа, причем

конец

ее А все время находится на полуокружности CAD, а сама

прямая

все время проходит через неподвижную точку С диаметра СО.

задаче

16.12.

128

Определить скорость Vc точки прямой, совпадающей с точкой С,

тот момент, когда

радиус

ОА перпендикулярен к CD, если извест-

но,

что скорость точки А в этот момент 4

м/сек.

Ответ:

= 2,83

м/сек.

16.13 (515). Линейка эллипсографа АВ длиной / движется концом

А по оси Ох, а концом В — по оси Оу. Конец линейки А совер-

шает гармоническое колебательное движение х = a sin at, где а < /.

Определить величину скорости v точки С,

зная,

что СА — т,

ВС = п, со = const.

Ответ:

Vr = -r

—а

sin

at'

задаче

16.14.

16.14 (518). Стержень OB вращается вокруг оси О с постоян-

ной

угловой скоростью со = 2 сек'

и приводит в движение стер-

жень AD, точки Л и С которого движутся по осям: А — по гори-

зонтальной Ох, С—-по вертикальной Оу.

Определить скорость точки D стержня при ер = 45° и найти

уравнение траектории этой точки, если AB — OB = BC =

CD=12

см.

Ответ:

—

53,66

см/сек;

задаче

16.

~"^ R

У/////,

15.

16.15

(516).

кривошип-

/' п\/\ • В

ном

механизме длина криво-

шипа

О А = 40 см, длина ша-

туна

АВ = 2 м; кривошип вра-

щается равномерно с угловой

скоростью, соответствующей

180

об/мин.

Найти

угловую

скорость со шатуна и скорость средней его

точки М при

четырех

положениях кривошипа, для которых

угол

АОВ соответственно равен 0, -^, я, -^.

Ответ:

I. со =

сек'

;

= 377

см/сек.

II. со = 0; v

754

см/сек.

III. со = ~ л

сек'

;

= 377

см/сек.

IV. со = 0;

, = 754

см/сек.

5 И. В.

Мещерский

129

Знак

минус

выражении

указывает,

что

шатун вращается

в сто-

рону, противоположную кривошипу.

16.16 (517). Найти скорость ползуна

нецентрального криво-

шипного механизма

при

двух

горизонтальных

двух

вертикальных

положениях кривошипа, вращаю-

щегося вокруг вала

О с

угловой

скоростью и)

= 1,5 сек'

если

ОА =

40 см, АВ

200 см, ОС = 20 см.

Ответ:

г)

= »

= 6,03 см/сек;

•D

= rt

—60 см/сек.

16.17. Определить скорость

точ-

ки

четырехзвенного механизма

ОАВОх

положении, указанном

на

чертеже, если звено

ОА

длиной

см

имеет

данный момент

угловую

скорость

2 сек"

Точка

расположена

середине стержня

Ответ:

20 см/сек.

16.18. Определить скорость поршня

приводного механизма

указанном

на

чертеже, если

ОА = 20 см,

OiB

— OiD.

Кривошип

ОА

вращается

равномерно

угловой скоростью

2 сек'

Ответ:

46,25

см/сек.

л в

задаче

16.16.

насоса

задаче

16.17.-

задаче

16.18.

16.19 (521). Стержни

0%А и О

В,

соединенные

со

стержнем

АВ

посредством шарниров

А к В,

могут

вращаться вокруг неподвижных

точек

Oi и О

оставаясь

одной плоскости

образуя шарнирный

четырехзвенник. Дано: длина стержня

Р^А = а и его

угловая скорость

ш.

Определить построением

ту

точку

стержня

АВ,

скорость которой направ-

лена вдоль этого стержня,

также найти

величину скорости

точки

М в тот мо-

мент, когда

угол

АВ

имеет данную

величину

я.

Ответ:

au>

sin a.

16.20 (522). Угловая скорость стержня

шарнирного

четырех-

звенника

равна

щ.

130

о,

задаче

16.J9,