Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Выразить

угловую

скорость

а>

стержня

ОцВ

через <о

крат-

чайшие расстояния

OiD и О^Е от

осей вращения стержней

О^А и

ОцВ до

шатуна

АВ.

Ответ

<»

= щ '

^~л

задаче

16.20.

16.21 (523).

шарнирном четырехзвеннике

ABCD

ведущий

кри-

вошип

АВ

вращается

постоянной угловой скоростью о)

бтс

сек'

Определить мгновенные угловые скорости кривошипа

CD и

стержня

ВС в тот

момент, когда кривошип

АВ и

стержень

ВС об-

разуют одну прямую, если

ВС^ЪАВ.

Ответ:

(»вс

= 2ic сек'

;

и>со

— 0.

16.22.

середине

стержня

АВ

шарнирного параллелограмма

OABOi

присоединен

помощью шарнира

стержень

DE,

приводя-

щий

возвратно-поступательное движение ползун

К.

Определить скорость ползуна

К и

угловую

скорость стержня

положении, указанном

на

чертеже, если

OA = OiB = 2DE —

20 см, а

угловая скорость звена

О А

равна

данный момент

1 сек'

Ответ:

г>#=40

см/сек;

o£

3,46 сек'

задаче

16.22.

задаче

16.23.

16.23 (526). Ползуны

В и Е

сдвоенного кривошипно-шатунного

механизма соединены стержнем

BE.

Ведущий кривошип

ОА и

ведо-

мый

кривошип

качаются вокруг общей неподвижной

оси О,

перпендикулярной

плоскости чертежа.

Определить мгновенные угловые скорости ведомого кривошипа

шатуна

DE в тот

момент, когда ведущий кривошип

ОА, име-

ющий

мгновенную

угловую

скорость

—12 сек

перпендикулярен

5«

131

направляющей ползунов. Даны размеры:

ОА= 10 см;

OD=\2

см;

А£

= 26 см;

Е£=12

см;

£>£=12|/3

см.

Ответ:

(>>

=l0}/

сек-

;

сй

-з-)/

сек'

16.24. Поршень

£>

гидравлического пресса приводится

движе-

ние

посредством шарнирно-рычажного механизма

OABD.

положе-

нии,

указанном

на

чертеже, рычаг

имеет

угловую

скорость ю

= 2 сек*

Определить скорость поршня

D и

угловую

скорость звена

АВ,

если О

А =

15 см.

Ответ:

г>д=34,6

см[сек;

содд

сект

16.25. Подвижное лезвие

ножниц

для резки металла приводится

в дви-

жение шарнирно-рычажным механизмом

AOBD.

Определить скорость шарнира

задаче

16.24.

угловую

скорость звена

BD,

если

положении, указанном

на

чертеже,

угловая скорость рычага

АВ

равна

2 сек~

, ОВ —

см, O

D = 10 см.

Ответ:

—

8,65

см/сек;

со

вв

О,87

сек'

задаче

16.25.

16.26. Определить скорость поршня

Е и

угловые скорости

стержней

АВ и BE

механизма пресса

положении, указанном

на

чертеже, если звено

ОА

имеет

данный момент

угловую

скорость

= 4 сек-

ОЛ=10

см, BD = BE

=20

см.

Ответ:

= 40 см/сек; ю

лв

= 0;

сов

= 2 сек-

16.27 (528).

машине

качающимся цилиндром длина криво-

шипа

ОЛ

= 12 см,

расстояние между осью вала

осью цапф

ци-

линдра

ОО

— 60 см,

длина шатуна

АВ = 60 см.

Определить скорость поршня

при

четырех положениях криво-

шипа,

указанных

на

чертеже, если угловая скорость кривошипа

= 5 сек'

const.

Ответ:

=15

см

[сек;

^=\Q

см[сек;

—v

58,88

см{сек.

132

16.28 (529).

машине

качающимся цилиндром длина кривошипа

ОЛ

см,

угловая скорость кривошипа ш

=15 сек"

const.

Найти

скорость поршня

угловую

скорость цилиндра

момент,

когда кривошип перпендикулярен

шатуну.

(См.

чертеж

к за-

даче

16.27.)

Ответ:

= 0.

г»

225

см/сек,

У//////////////А

задаче

16.23.

задаче

16.29.

16.29

(530).

Кривошипный

механи&м

связан

шарнирно

сере-

дине

шатуна

со

стержнем

CD, а

последний

—

со стержнем

DE,

который может вращаться вокруг оси

Е.

Определить

угловую

скорость стержня

DE в

указанном

на чер-

теже

положении кривошипного механизма, если точки

В и Е

распо-

ложены

на

одной вертикали; угловая скорость ш кривошипа

ОА

равна

сек'

;

ОЛ

см, DE=

100

см,

/_CDE

90°

/.BED

30°.

Ответ:

D£

0,5

сек"

16.30

(508).

Катушка

радиуса

катится

по

горизонтальной

пло-

скости

НИ без

скольжения.

На

средней цилиндрической части

ка-

тушки радиуса

намотана нить, конец которой

обладает

при

этом движении скоростью

и по

горизонтальному направлению.

Определить скорость

перемещения

оси

катушки.

Ответ:

—

2R—

R—r

ШШШШШ

задаче

16.30.

задаче

16.31.

16.31 (509). Цепная передача

велосипеде состоит

из

цепи,

охватывающей

зубчатое

колесо

Л с 26

зубцами

шестерню

В с

133

9 зубцами. Шестерня В неизменно соединена с задним колесом С>

диаметр которого равен 70 см.

Определить скорость велосипеда, когда колесо А делает в се-

кунду один оборот, а колесо С катится при этом без скольжения

по

прямолинейному пути.

Ответ:

22,87

км/час.

16.32 (510). Колесо радиуса

#=0,5

м катится без скольжения

по

прямолинейному участку пути; скорость центра его постоянна

равна х»

= 10

м/сек.

Найти

скорости концов М

и М

вертикального и

горизонтального диаметров ко-

леса. Определить его

угловую

скорость.

Ответ:

= 0; v

14,14

м/сек;

— 2Q

м/сек;

г»

= 14,14

м1

сек; со = 20

сек"

16.33 (511). Две параллель-

ные рейки движутся в одну

сторону с постоянными скоростями Vi = 6

м/сек

и г>

= 2

м/сек.

Между рейками зажат диск радиуса а = 0,5 м, катящийся по рей-

кам

без скольжения.

Найти

угловую

скорость диска и скорость его центра.

Ответ:

ш = 4

сек'

;

Vo = 4

м/сек.

16.34 (513). Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью

= 2,5 сек'

вокруг оси О неподвижной шестеренки радиуса

= 15 см, приводит в движение насаженную на его конце А шес-

теренку радиуса г

= Ъ см.

Определить величину и направление скоростей точек А, В, С, D

. и Е подвижной шестеренки, если СЕ J_ BD.

задаче 16.32.

задаче 16.33.

Ответ:

х>д =

— 70,7

см/сек.

см/сек;

— 0; •»o=100

см/сек;

VC —

—

задаче

16.34»

К задаче 16.35.

16.35 (534). На ось О насажены: зубчатое колесо К диаметра

20 см и кривошип ОА длиной 20 см, не связанные

между

собой.

шатуном АВ

наглухо

скреплено зубчатое колесо L диаметра

20 см, длина шатуна АВ =1 м. Колесо /f вращается равно-

мерно с угловой скоростью, соответствующей я = 60

об/мин,

и,

134

захватывая зубья колеса

приводит

движение шатун

АВ и кри-'

вошип

ОА.

Определить

угловую

скорость

кривошипа

ОА в

четырех

его

положениях:

двух

горизонтальных

двух

вертикальных.

Ответ:

= -уж

сек'

III.

и>

-ц-к

сек'

II.

сек'

IV.

сек'

16.36 (536). Механизм

Уатта

состоит

из

коромысла

А,

которое,

качаясь

на оси О\,

передает

при

помощи шатуна

АВ

движение

кри-

вошипу

ОВ,

свободно насаженному

на ось О. На той же оси О

сидит колесо

шатун

АВ

оканчивается колесом

II,

наглухо

связан-

ным

шатуном.

Определить

угловые

скорости кривошипа

ОВ и

колеса

/ в мо-

мент, когда

60°,

, если

= г

30Уд>

см, О

А =

7Ь

см

АВ

=150

см и

угловая скорость коромысла ш

= 6

сек'

Ответ:

3,75 сек'

;

= 6

сек'

задаче 16.36.

задаче 16.37.

16.37 (537). Планетарный механизм состоит

из

кривошипа

ОхА,

приводящего

движение шатун

АВ,

коромысло

ОВ и

шестеренку

радиуса

= 25 см;

шатун

АВ

оканчивается шестеренкой

радиуса

=Ю

см,

наглухо

с ним

связанной.

Определить

угловую

скорость кривошипа

А и

колеса

/ в мо-

мент, когда <х=45°,

^ =

90°, если

А =

30У2

см, АВ =

150

см,

угловая скорость коромысла

ОВ

= 8

сек"

Ответ:

щ =

Ъ,12

сек'

;

и>

— 4 сек'

16.38 (539).

машине

качающимся цилиндром длина криво-

шипа

ОА = г и

расстояние

ОО

а. Кривошип вращается

посто-

янной

угловой скоростью

Определить

угловую

скорость

шатуна

АВ в

зависимости

от

угла

поворота кривошипа

tp-

Определить наибольшее

наименьшее

значения

также значение

угла

ср, при

коюром и)

0. (См.

чер-

теж

задаче

16.27.)

135

Ответ:

(a cos

ф —'

г)

+ г

—2аг

соэф

(й

при

ф =

©Imin

— —

при

ф = :

= 0 при

= arccos—.

16.39 (541). Найти приближенное выражение для проекции на

координатные оси скорости любой точки М шатуна АВ кривошип-

ного механизма при равномер-

ном

вращении вала с угловой

скоростью со, предполагая, что

длина кривошипа г мала по

сравнению с длиной шатуна /.

Положение точки М опреде-

задаче

16.39.

ляется ее расстоянием MB — z.

Примечание.

формулу, получаемую

при

решении задачи, входит

— {-j- sin ф

, где

= mt

обозначает

угол

BOA. Это

выражение разла-

гаем

в ряд и

удерживаем только

два

первых члена.

[

ч ~\

г sin ф +

-— sin 2ф ;

= ~ ю

COS

ф.

17.

Неподвижная

подвижная

центроиды

17.1 '(542). Найти центроиды при движении стержня АВ, указан-

ном

в задаче 16.8.

Ответ:

Подвижная центроида — окружность радиуса 0,5 м с

центром в середине АВ; неподвижная центршда — окружность ра-

диуса

1 м с центром в точке О.

17.2 (543). Определить подвижные и неподвижные

центроиды блоков Л и В полиспаста, радиусы которых

соответственно равны г

и г

, предполагая, что обой-

ма С движется поступательно.

Ответ:

Подвижные центроиды: блока А — окруж-

ность радиуса г

А,

блока В — окружность радиуса -g- г

;

неподвижные центроиды: вертикальные касательные к

подвижным центроидам с правой стороны их.

17.3 (544). Найти геометрически неподвижную и под-

вижную центроиды шатуна АВ, длина которого равна

длине кривошипа:

Ответ:

Неподвижная центроида — окружность

радиу-

задаче 17.2.

са

2г с центром в точке О, а подвижная — окружность

радиуса г с центром в точке А пальца кривошипа.

17.4 (545). Построить графически подвижную и неподвижную

центроиды шатуна кривошипного механизма, у которого длина ша-

туна

равна удвоенной длине кривошипа: у = -у

136

17.5 (646). Стержень АВ движется таким образом, что одна из

его точек А описывает окружность радиуса г с центром в точке О,

а самый стержень проходит постоянно через данную точку N, ле-

жащую на той же окружности.

Найти

его центроиды.

Ответ:

Неподвижная центроида — окружность радиуса г с цен-

тром в точке О; подвижная центроида — окружность радиуса 2г с

центром в точке А.

К задаче 17.3. К задаче 17.5. К задаче 17.6.

17.6 (547). Найти неподвижную и подвижную центроиды звена

CD антипараллелограмма, поставленного на большее звено АВ, если

AB = CD = b, AD — BC = a и а <£.

Ответ:

Неподвижная центроида — гипербола с фокусами в точ-

ках А и В, а подвижная центроида — такая же гипербола с фоку-

сами

в точках С и D. Действительные полуоси гипербол равны -н-.

17.7 (548). Найти неподвижную и подвижную центроиды звена

ВС антипараллелограмма, поставленного на меньшее звено AD, если

AB = CD = b, AD = CB = a и

Ответ:

Неподвижная центроида — эллипс с фокусами в точках

А и D и с полуосями у и у

У~£

—

. Подвижная ценгроида —

такой

же эллипс, но с фокусами в точках В и С.

17.8 (551). Два стержня АВ и DE,

наглухо

соединенные под

прямым

углом

в точке

F, движутся таким образом, что стержень АВ

всегда проходит через неподвижную точку К, а другой стержень

DE—через неподвижную точку N; расстояние KN=2a.

137

Найти

уравнения центроид в этом" движении; оси координат

указаны на чертеже.

Ответ:

л*

, + т£ = 4с

17.9 (552). Две параллельные рейки АВ и DE движутся в про-

тивоположные стороны с постоянными скоростями v

. Между

рейками находится диск радиуса а, который вследствие движений

реек и трения катится по ним без скольжения.

Найти

1) уравнения центроид диска, а также определить 2) ско-

рость vo> центра О' диска и 3)

угловую

скорость ш диска; оси коор-

динат указаны на чертеже.

v,-

МгЬ'

Ответ:

1) y

—

•

|2Г/ =

К задаче 17.9.

Чг

2) скорость центра диска на-

правлена в сторону большей из данных ско-

ростей; величина vo> равна полуразности ве-

личин

данных скоростей;

^Ч^-

17.10 (553). Найти уравнения неподвижной и подвижной центроид

стержня АВ, который, опираясь на окружность радиуса а, концом А

скользит вдоль прямой Ох, проходящей через центр этой окруж-

ности;

оси координат указаны на чертеже.

Ответ:

(дг^, — а

) —

^==

Ttf

= ag

задаче

17.10.

задаче

17.11.

17.11 (554). Прямой

угол

ABC перемещается таким образом, что

точка А скользит по оси х, а сторона ВС проходит через непод-

вижную точку D на оси у.

Найти

уравнения неподвижной и подвижной центроид, если изве-

стно,

что AB = 0D — a.

Ответ:

a(2y

— a); 1

—

а(2г\

— а).

17.12 (555). Найти приближенные уравнения неподвижной и под-

вижной центроид шатуна АВ кривошипного механизма, предполагая,

что длина шатуна АВ=^1 настолько велика по сравнению с длиной

138

кривошипа

ОА = Г, что для угла АВО — а

можно принять

sina

cosa=l;

оси

координат указаны

на

чертеже.

задаче 17.12.

Ч&)

^-ф.

Ответ:

(х

— tf (xh + yb) =

xfr,

18.

Ускорения точек твердого тела

плоском

движении.

Мгновенный центр ускорений

18.1.

Центр

колеса, катящегося

по

прямолинейному горизон-

тальному

рельсу,

движется

по

закону

= 2Р см.

Стержень

АС

длиной

/=12 см

совершает колебания вокруг

.горизонтальной

оси С,

перпендикулярной

плоскости чертежа,

согласно уравнению

<р

= ~ sin ~ t рад (см.

чертеж

задаче 16.2).

Определить ускорение конца

стержня

АС в

момент

вре-

мени

= 0.

Ответ:

=4 см

/сек*;

=8,1 см/сек*; w

= 9,07 см/сек\

18.2. Сохранив условие предыдущей задачи, определить ускоре-

ние

конца

стержня

АС в

момент времени

t=\ сек.

Ответ:

=—9,44

см1сек\ w.

=—7,73

см/сек

;

= 12,20 см/сек*.

18.3.

При

движении диска радиуса

г = 20 см в

вертикальной

плоскости

ху его

центр

движется согласно уравнениям

xc=l0t

м,

_у

(Ю0

— 4,9^

) м. При

этом диск вращается вокруг горизонталь-

ной

оси С,

перпендикулярной

плоскости диска,

постоянной

угло-

вой скоростью

<в

1с/2

сек'

(см.

чертеж

задаче 16.4).

Определить

момент времени

t = 0

ускорение точки

А,

лежащей

на

ободе диска. Положение точки

А на

диске определяется

углом

(ot,

отсчитываемым

от

вертикали против

хода

часовой стрелки.

Ответ:

Ускорение направлено

по

вертикали вниз

равно

по

модулю

9,31 м/сек*.

18.4. Сохранив условие предыдущей задачи, определить ускоре-

ние

точки

А в

момент времени

t — 1 сек.

Ответ:

w, = — 0,49 м1сек

, w, — — 9,8 м1сек

•а>д

= 9,81 м(сек*.

18.5.

Два

одинаковых диска радиуса

каждый соединены цилинд-

рическим шарниром

А.

Диск

вращается вокруг неподвижной гори-

зонтальной

оси О по

закону

tp(i). Диск

вращается вокруг

139

горизонтальной оси А согласно уравнению ty — ty(t). Оси О и Л пер-

пендикулярны к плоскости чертежа.

Углы

ср и ф отсчитываются от

вертикали против

хода

часовой стрелки (см. чертеж к задаче 16.6).

Найти

ускорение центра С диска //.

Ответ:

•=

1/ w

-+-w*

, где w

= r(? coscp—

sinep-{-

-\- <ji cos ф — ф

sin ф), TW

= r

(<p

sin tp -f- $

cos

-(- $ sin

<])

-J-

ф"

cos ДО,

18.6. Сохранив условие предыдущей задачи, найти ускорение

точки В диска //, если /, АСВ = ^-.

Ответ:

= ~[/w%

-\~

w\ , где w

= r [cp cos

— cp

sin cp 4-

' x у x

-{-1/2" $ cos (45° -4-

ДО

— l/"2

sin

(45°

-f-ДО], ге>

= г

[ер

sin

-f-

-V

4- <f cos

4- У 2 ф sin (45° 4-

ДО

+ У 2 ф* cos (45° 4~ ДО].

18.7 (567). Линейка эллипсографа скользит концом В по оси Ох,

концом

А — по оси Оу; АВ —20 см. (См. чертеж к задаче

15.1.)

Определить скорость и ускорение точки А в момент, когда

угол

ср

наклона

линейки к оси Ох равен 30°, а проекции скорости и уско-

рения

точки В на ось х равны -v

= — 20

см/сек,

— 10

см/сек

Ответ:

=34,64

см/сек;

=—142,68

см\сек

18.8. Муфты А и В, скользящие вдоль прямолинейных образую-

щих, соединены стержнем АВ длиной /. Муфта А движется с постоян-

ной

скоростью VA

(CM.

чертеж к задаче 15.7).

Определить ускорение муфты В и

угловое

ускорение стержня АВ

положении, при котором стержень АВ образует с прямой ОБ

заданный

угол

ер.

sin

о v\

sin

Ответ:

= ~, г-; е

а =

-75-

—r~ sin cp.

/ COS

<р ' /

COS

18.9 (568). Найти ускорение ползуна В и мгновенный центр уско-

рений

К шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма, изображен-

ного на рисунке к задаче

16.39,

при

двух

горизонтальных и одном

вертикальном положениях кривошипа ОА, вращающегося с постоян-

ной

угловой скоростью а)

=15 сек'

вокруг вала О. Длина криво-

шипа

ОЛ = 40 см, длина шатуна АВ = 200 см.

Ответ:

Мгновенный центр ускорений

^ К при

ср

= О° и ср = 180° лежит на оси

направляющей ползуна.

м.

ер

= 90°; w

= 18,37

м/сек\

ВК =

40см;

АК=№

см.

задаче 18.Ш, 3)

<р

= 180°; w

= 72

м\сек\

ВК = 8 м.

18.10. Длина шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма в два

раза больше длины кривошипа ОА. Определить положение точки ша-

туна АВ, ускорение которой направлено вдоль шатуна, в момент,

140