Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

когда кривошип перпендикулярен

направляющей ползуна; кривошип

ОА

вращается равномерно.

Ответ:

На

расстоянии четверти длины шатуна, измеренной

от

ползуна

В.

18.11. Определить ускорение поршня

D и

угловое ускорение

ввена

АВ

приводного механизма гидравлического пресса, рассмотрен-

ного

задаче

16.24,

если

положении,

указанном

на

чертеже, рычаг

вращается

ускоренно

угловым ускорением е

= 4 сек'

Отв.ет:

•ге»

= 29,4 см/сек*;

ВАВ

5,24 сек-\

18.12 (669). Кривошип

О А

длиной

20 см

вращается равномерно

угловой скоростью

со

=:10

сек'

приводит

движение

ша-

тун

АВ

длиной

100 см;

ползун

движется

по

вертикали.

Найти

угловую

скорость

угловое

ус-

корение шатуна,

также ускорение ползу-

на

В в

момент, когда кривошип

шатун

взаимно перпендикулярны

образуют

с го-

ризонтальной осью

углы

а = 45° и ^ = 45°.

Ответ:

а>=2

сек'

; е=16 сек'

©д

565,6

см/сек

18.13 (571). Определить

угловую

скорость

угловое ускорение

шатуна нецентрального кривошипного маханизма,

также скорость

ускорение ползуна

В при 1)

горизонтальном правом

и 2)

верти-

кальном верхнем положении кривошипа

ОА,

если последний

вра-

щается вокруг конца

О с

постоянной угловой скоростью

причем

даны:

OA = r, AB —

1, расстояние

оси О

кривошипа

от

линии

дви-

жения

ползуна

OC = h (см.

чертеж

зада-

че 16.16).

Ответ:

и>

Г — Я" \Г — /Г) ' -

Лго)

-Г. . г/

1 А^

задаче

18.12.

щ =

гш

;

WB =

задаче

18.14.

18.14. Стержень

ОА

шарнирного четырехзвенника

ОАВО\

вра-

щается

ПОСТОЯННОЙ уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ

О)

Определить

угловую

скорость, угловое ускорение стержня

АВ,

а также ускорение шарнира

В в

положении, указанном

на

чертеже,

если

АВ = 2ОА = 2а.

Ответ:

со

= 0;

^-a>j,

^ =

^g-

au)

141

18.15. Определить ускорение шарнира

D и

угловое ускорение

звена

механизма, рассмотренного

задаче 16.25, если

поло-

жении,

указанном

на

чертеже, рычаг

АВ

вращается ускоренно

угло-

вым ускорением

г = 4 сек'

Ответ:

^o==32,4

см/сек

;

вд

==2,56

сек'\

18.16. Определить ускорение поршня

Е и

угловое ускорение

стержня

механизма, рассмотренного

задаче

16.26,

если

в дан-

ный

момент угловое ускорение звена

ОА

равно нулю.

Ответ:

WE= 138,4 см/сек

; г

ВЕ

= 0.

18.17. Ползун

кривошипно-шатунного механизма

ОАВ

движется

по

дуговой направляющей.

задаче

18.17.

Определить касательное

нормальное ускорения ползуна

положении, указанном

на

чертеже, если

ОА=Ю см, АВ = 20 см.

Кривошип

ОА

вращается, имея

данный момент

угловую

скорость

сек'

угловое ускорение

е=0.

Ответ:

WB%

см/сек

;

%Юв

18.18. Определить угловое ускорение шатуна

АВ

механизма,

рассмотренного

предыдущей задаче, если

положении, указан-

ном

на

чертеже, угловое ускорение кривошипа

ОА

равно

2 сек'

Ответ:

1 сек'

18.19 (572). Антипараллелограмм сосгоит

из

двух

кривошипов

АВ и CD

одинаковой длины

40 см и

шарнирно

соединенного

ними стержня

ВС

длиной

см.

Расстояние

между

неподвижными осями

равно

20 см.

Кривошип

АВ

вращается

с по-

стоянной

угловой скоростью

Определить

угловую

скорость

угловое уско-

рение стержня

ВС в

момент, когда

угол

ADC

равен

90°.

Ответ:

а>вс=-а-«»о> вращение замедленное;

вс

=-—

ш§.

18.20 (579).

машине

качающимся цилиндром, лежащим

на

цапфах

длина кривошипа

ОА—12 см,

длина шатуна

задаче

18.19.

АВ = 60 см;

расстояние

между

осью вала

осью цапф цилиндра

ОО! = 60 см.

Определить ускорение поршня

В и

радиус кривизны

его

траек-

тории

при двух

положениях цилиндра:

когда кривошип

шатун

взаимно перпендикулярны

и 2)

когда кривошип занимает положе-

ние

///;

угловая скорость кривошипа

const

= 5

сек'

(См. чер-

теж

задаче

16.27.)

Ответ:

1) да = 6,12 см

/сек

;

= 589 см;

w =

258,3

см/сек*;

= 0,39 см.

18.2.1. Центр колеса, катящегося

без

скольжения

по

прямолиней-

ному рельсу, движется равномерно

со

скоростью

Определить ускорение любой точки, лежащей

на

ободе колеса,

если

его

радиус равен

г.

Ответ:

Ускорение направлено

центру колеса

равно

—-.

18.22 (557). Вагон трамвая движется

по

прямолинейному горизон-

тальному участку пути

замедлением

= 2 м/сек

имея

данный

момент скорость va

= 1 м/сек.

Колеса катятся

по

рельсам

без

скольжения.

Найти

ускорения концов

двух

диаметров ротора, образующих

х вертикалью

углы

по 45°,

если радиус колеса

R = 0,5 м, а

ротора

г = 0,25 м.

Ответ:

= 2,449 м/сек

;

= 3,414 м/сек

;

= 2,449 м/сек

;

•а>

= 0,586 м/сек

задаче

18.22.

задаче 18.23.

18.23

(558). Колесо катится

без

скольжения

вертикальной пло-<

скости

по

наклонному прямолинейному пути.

Найти

ускорения концов

двух

взаимно перпендикулярных диамет-

.ров колеса,

из

которых один параллелен рельсу, если

рассматри-

ваемый момент времени скорость центра колеса

г>о=1

м/сек,

уско-

рение центра колеса

•а>о

= 3 м/сек*,

радиус колеса

/? = 0,5 м.

Ответ:

Wi = 2 м/сек*;

яе>

= 3,16 м/сек*;

= 6,32 м/сек

;

о>4

= 5,83 м/сек*.

18.24

(559). Колесо

радиуса

R = 0,5 м

катится

без

скольжения

по прямолинейному

рельсу,

данный момент центр

колеса имеет

скорость

г>о

О,5 м/сек

замедление гСо

О,5 м/сек

143

Найти:

мгновенный центр ускорения колеса,

ускорение

точки колеса, совпадающей

мгновенным центром

скоростей,

а также

ускорение точки

М и 4)

радиух:

кривизны

ее

траектории,

если

ОМ — МС =

0,5R.

Ответ:

1) г = 0,3536 м,

9=—-j;

2) w

0,5

м/сек

;

= 0,3536 м/сек

; 4)

0,25

ж.

18.25 (560). Шестеренка

радиуса

#=12 см

приводится

в дви-

жение кривошипом

0/4,

вращающимся вокруг

оси О

неподвижной

шестеренки

с тем же

радиусом; кривошип вращается

угловым

уско-

рением е

сек'

имея

данный момент

угловую

скорость

о)

А сек •

Определить:

ускорение

той

точки подвижной шестеренки, кото-

рая

данный жжент совпадает

мгновенным центром скоростей,

2) ускорение диаметрально противоположной точки

JVii

положе-

ние

мгновенного центра ускорений

К.

Ответ:

™AI

96 см/сек

;

и»лг

= 480

см/сек

;

МК=

4,24

см;

ZAMK=

45°

задаче 18.25.

задаче

18.26

18.26 (561). Найти положение мгновенного центра ускорений

скорость

ТОЧКИ

фигуры, совпадающей

с ним в

данный момент,

а также ускорение

точки фигуры,

которой

данный момент

совпадает мгновенный центр скоростей, если шестеренка

радиуса

катится внутри шестеренки

радиуса

R = 2r и

кривошип

ООу, при-

водящий

движение

бегающую

шестеренку, имеет постоянную

угло-

вую скорость

Ответ:

Мгновенный центр ускорений совпадает

центром

неподвижной шестеренки; VK

2ru>

;

18.27 (563). Найти ускорения концов

В, С, D, Е

двух

диаметроз

шестеренки

радиуса

= 5 см,

катящейся снаружи неподвижной

шестеренки

радиуса

= 15 см.

Подвижная шестеренка приводится

движение

при

помощи кривошипа

ОА,

вращающегося

постоянной

угловой

скоростью

сек'

вокруг

оси О

неподвижной шесте-

144

ренки;

один

из

диаметров совпадает

линией

О А,

другой

— ей пер-

пендикулярен.

(См.

чертеж

задаче

16.34.)

Ответ:

вУ

= 540 см\сек

;

—

— 742

CM/сек

;

= 900 см/сек

18.28.

Показать,

что в

момент, когда

угловое

ускорение

е =

проекции

ускорений концов отрезка, совершающего плоское движе-

ние,

на

направление, перпендикулярное

отрезку, равны

между

собой.

18.29.

Ускорения концов стержня

АВ

длиной

10 см,

совершаю-

щего плоское движение, направлены вдоль стержня навстречу

друг

другу,

причем

г»л = Ю см/сек

гг»л

= 20 см/сек

Определить

угловую

скорость

угловое

ускорение стержня.

Ответ:

со

= |/"з

сек'

е = 0.

18.30.

Ускорения концов однородного стержня

АВ

длиной

12 см,

совершающего плоское движение, перпендикулярны

к АВ и

направ-

лены

одну сторону, причем и>л

= 24 см/сек

Wg=\2

см/сек

Определить

угловую

скорость,

угловое

ускорение стержня,

также

ускорение

его

центра тяжести

С.

Ответ:

о)

О,

е=1 сек'

ускорение точки

перпендикулярно

АВ,

направлено

сторону ускорений точек

А и В и

равно

см/сек

18.31. Решить

предыдущую

задачу

предположении,

что

ускоре-

ния

точек

А и В

направлены

разные стороны.

Ответ:

= 0, г =

сек'

ускорение точки

перпендикулярно

АВ,

направлено

сторону ускорения точки

А и

равно

6 см/сек

18.32.

Ускорения вершин

А и В

треугольника

ABC,

совершаю-

щего плоское движение, векторно равны: WB

WA==O..

Определить

угловую

скорость

угловое

ускорение треугольника,

а также ускорение вершины

С.

Ответ:

о>

= 0; е = 0; Wt = a.

18.33 (576). Квадрат

ABCD

со

стороною

я=10 см

совершает

плоское движение

плоскости чертежа.

Найти

положение мгновенного центра ускорений

ускорения

вершин

его С и Д

если известно,

что в

данный момент ускорения

двух

вершин

А и В

одинаковы

по

величине

равны

10 см/сек

Направление ускорений

то-

чек

А и В

совпадает

со А " "

сторонами квадрата,

как ука-

зано

на

чертеже.

Ответ:

= w

==10

см/сек

направлены

по

сторонам квадрата. Мгно-

венный

центр ускорений

на- D

ХОДИТСЯ

ТОЧКе пересече-

задаче 18.33.

задаче

18.34

ния

диагоналей квадрата.

18.34 (577). Равносторонний треугольник

ABC

движется

в пло-

скости чертежа. Ускорения вершин

Ли В в

данный момент времени

равны

16 см/сек

направлены

по

сторонам треугольника (см. чертеж).

145

Определить ускорение третьей вершины

треугольника.

Ответ:

wc=16

см/сек

направлено

по

В от С к В.

18.35 (578). Квадрат

ABCD

со

стороною

а = 2 см

совершает

плоское

движение.

данный момент ускорения вершин

его А и В

соответственно равны

= 2 см/сек

, w

= 4 V^2 см/сек

направ-

лены,

как

указано

на

чертеже.

задаче 18.35.

задаче

18.36.

Найти

мгновенную

угловую

скорость

мгновенное угловое уско-

рение

квадрата,

также ускорение точки

С.

Ответ:

ш=у 2 сек'

; е = 1 сек~

, и»с = 6 см/сек*

направлено

по

стороне

CD от С к О.

18.36

(574)

Найти ускорение середины стержня

АВ,

если известны

величины

ускорений

его

концов: яуд=10

см/сек*,

ч&в

= 20

см/сек*

—

углы, образованные ускорениями

прямой

АВ: а =10° и

= 70°.

Ответ:

w = ^ Vw%

~\-w%

—

2WA®B

COS

Ф —

) =

8>66

см/сек

ГЛАВА

ДВИЖЕНИЕ

ТВЕРДОГО

ТЕЛА,

ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ

ТОЧКУ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОРИЕНТАЦИЯ

§19.

Движение

твердого

тела,

имеющего одну

неподвижную точку

19.1.

Ось z волчка равномерно описывает вокруг вертикали ОС

круговой конус с

углом

раствора 26. Угловая скорость вращения оси

волчка вокруг оси С равна (o

а постоянная угловая скорость собст-

венного вращения волчка равна ш.

Определить величину и направление абсолютной угловой скорости

Я волчка.

Ответ: 2 = |Ло

cos(Q, z) =

-2шсв

cos 8,

COS 6

0)2 + 20)0)! COS 6

19.2. Артиллерийский снаряд, двигаясь в атмосфере, вращается

вокруг оси z с угловой скоростью <а. Одновременно ось снаряда z

задаче 19.2.

вращается с угловой скоростью ©! вокруг оси £> направленной по

касательной к траектории центра тяжести С снаряда.

Определить скорость точки М снаряда в его вращательном дви-

жении,

если СМ = г и отрезок СМ перпендикулярен к оси z;

угол

между

осями z и С равен

Ответ:

= (

°s

Tf)

147

19.3 (596). Конус, высота которого

й = 4 см и

радиус

основания

= Ъсм,

катится

по

плоскости

без

скольжения, имея неподвижную

вершину

точке

О.

Определить

угловую

скорость конуса, координаты точки, вычерчи-

вающей годограф угловой скорости,

угловое

ускорение конуса, если

скорость центра основания конуса

= 48 см)сек =

const.

Ответ:

w=20

сек'

; ^ = 20 cos 15*, ^ =

20sin

\5t,

Zi=0;

= 300 сек'

х/

задаче

19 3.

задаче

19 4.

19.4 (597). Конус, вершина

которого неподвижна, катится

по

плоскости

без

скольжения. Высота конуса

СО—18 см, а

угол

при

вершине

АОВ = 90°.

Точка

С,

центр основания конуса,

дви-

жется равномерно

возвращается

первоначальное положение

че-

рез

1 сек.

Определить скорость конца

диаметра

АВ,

угловое

ускорение

конуса

ускорение точек

А и В.

Ответ:

S6i:\

см/сек

160 см/сек; s = 39,5 сек'

направ-

лено перпендикулярно

А и

В;

там =

1000 см/сек

направлено параллель-

но

OB;

= 1000 \^2 см/сек\

лежит

плоскости

АОВ и

направлено

под

углом

45° к ОВ.

19.5 (598). Конус

обегает

120 раз

минуту неподвижный конус

В.

Высота

конуса

OOi — 10 см.

Определить переносную

угловую

скорость

конуса вокруг

оси

z, относительную

угловую

скорость

со

конуса вокруг

оси ОО\,

абсо-

лютную

угловую

скорость

со

абсолютное

угловое

ускорение

конуса.

Отвеет:

<о

4те сек'

; ш

6,92тс

сек'

;

= 8к сек'

направлена

по оси ОС;

27,68я

сек"

направлено параллельно

оси х.

19.6S (599). Сохранив условия предыдущей задачи, определив

ско-

рости

№

ускорения точек

С и D

подвижного конуса.

148

задаче

19 5.

Ответ:

ч>с

= 0;

= 80л см/сек и

направлена параллельно

оси х;

•гг>

320тс

см/сек* и

направлено перпендикулярно

к ОС

плоскости

Oyz;

проекции ускорения точки

= —

480те

см/сек*,

= — 160

см/сек*.

19.7 (600). Конус

// с

углом

при

вершине

= 45°

катится

без

скольжения

по

внутренней стороне неподвижного конуса

/ с

углом

при

вершине <х

90°.

Высота подвижного конуса

-—100

см.

Точка

О\,

центр основания подвижного конуса, описывает окружность

0,5 сек.

Определить переносную (вокруг

оси г),

относительную (вокруг

оси OOi) и

абсолютную

угловые скорости конуса

II, а

также

его

абсо-

лютное углозое ускорение'.

Ответ:

4гс

сек'

направлена

по

оси

о)

7,39и:

сек'

направлена

по

оси

О;

4тс

сек'

направлена

по оси

ОМ.

;

=11,3тс

сек'

направлено

по

оси

х.

19.8 (601). Сохранив условия предыдущей задачи, определить

скорости

ускорения точек

М%

подвижного конуса.

Ответ:

г>

153,2п:

см/сек и

направлена параллельно отрицатель-

ной

оси Ox;

306,4it

см[сек и

направлена

параллельно отрицательной

оси Ox;

= 0, w

612,8тс

см/сек

направлено

от О\ по

перпен-

дикуляру

к Oz;

проекции ускорения точки

М{.

см/сек\

= —

865тс

см\сек\

задаче

19 7.

задаче

19 9.

ТОЧКИ

диска

см)сек

лежит

плоскости OOiM^

направлено перпендикулярно

ОМ%.

19.9(602). Диск

ОД

радиуса

# = 4|/~3 см,

вращаясь вокруг неподвижной точки

О,

обкаты-

вает

неподвижный конус

углом

при

вершине,

равным

60°.

Найти

угловую

скорость вращения

диска вокруг

его оси

симметрии, если ускорение

ио

величине постоянно

равно

48 см/сек*.

Ответ:

= 2

сенГ

19.10 (603). Тело движется вокруг неподвижной точки.

неко-

торый момент угловая скорость

его

изображается вектором, проекции

которого

на

координатные

оси

равны

у 3, у 5, У1'.

Найти

этот

момент скорость

точки

тела,

определяемой координатами

К 12,

/20, /28.

Ответ:

v = 0.

19.11

(606). Коническое зубчатое колесо,

ось

которого пересе-

кается

геометрической осью плоской опорной шестерни

центре

149

задаче

19 11.

последней, обегает пять

раз в

минуту опорную шестерню. Определить

угловую

скорость

вращения колеса вокруг

его оси и

угловую

скорость

(о

вращения вокруг мгновенной

оси,

если радиус опорной

шестерни вдвое больше радиуса колеса:

Ответ:

= 1,047 сек'

;

со

0,907

сек~\

19.12 (608). Угловая скорость тела

= 7 сек"

;

мгновенная

ось его

состав-

ляет

данный момент

неподвижными

координатными осями острые

углы

а,

Т-

Найти

величину скорости

v и

проекции

ее v

, v

на

коорди-

натные

оси для

точки тела, координаты которой, выраженные

метрах,

данный момент равны

0, 2, 0, а

также расстояние

этой точки

от

мгновенной

оси,

если

cos а

==-=-,

cos у = -у.

Ответ:

— —12

м/сек;

г»

= 4

м/сек;

v= 12,65

м/сек;

d==\,82

м.

19.13 (609). Найти уравнения мгновенной

оси и

величину угловой

скорости

(о

тела, если известно,

что

проекции скорости точки

М\ф,

0, 2) на

координатные

оси,

связанные

телом, равны

= 1

м/сек;

= 2

м/сек;

= 0,

а направление скорости точки

(0, 1, 2)

определяется косинусами

углов, образованных

осями координат:

Ответ:

=3,2

сек

dx-\-z

задаче

19 14.

> 19.14. Коническое зубчатое колесо,

свободно насаженное

на

кривошип О

А,

обкатывается

по

неподвижному кониче-

скому зубчатому основанию. Опреде-

лить

угловую

скорость

w и

угловое

ускорение

катящегося колеса, если модули угловой скорости

углового ускорения

(их

направления указаны

на

рисунке) кривоши-

па

ОА,

вращающегося вокруг неподвижной

оси OiO,

соответственно

равны

(о

и е

Ответ:

&=-г^-в\, е=-А—

ei-\~u>l

ctga£

(

где

в\ —

единичный вектор, направленный

от

точки

О к

точке

С,

е^

—

единичный вектор, перпендикулярный

плоскости О

АС и на-

правленный

на

читателя.

19.15.

условиях предыдущей задачи определить ускорения точек

С и В,

если радиус основания равен

150