Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике
Подождите немного. Документ загружается.
Ответ:
w
c
=
•
?
=
2Re
0
e
2
+ -§^-
(е
4
- 2е
3
), где
и
е
4
—
лежащие в плоскости рисунка единичные векторы, перпендикулярные
к прямым ОС и ОВ соответственно (оба орта направлены вверх).
§
20.
Пространственная
ориентация;
кинематические
формулы
Эйлера
и их
модификация;
аксоиды
20.1.
Искусственная горизонтальная площадка на качающемся
корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось у± вращения
внешнего кольца параллельна продольной оси корабля;
угол
поворота
внешнего кольца обозначается через р
1
(угол
бортовой
качки).
Угол
поворота внутренней рамки обозначается через а. Для ориентации
колец вводят три системы координат: система |г]£ связана с кораблем
t
К
задаче
20.1.
(ось g направлена к правому
борту,
ось ц — к носу корабля, ось £—
перпендикулярна к палубе); система x
1
y
1
z
1
связана с внешним кольцом
(ось у
х
совпадает с осью г\); система xyz связана с внутренним кольцом
(ось х совпадает с х
х
). Положительные направления отсчета
углов
видны из рисунков; при а = 0 = 0 все системы отсчета совпадают.
Определить ориентацию (соответствующие направляющие косинусы)
внутреннего кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
X
У
г
%
cosjj
sin a sin j3
cos a sin P
0
cos а
— sin а
£
—
sinp
sin a cos P
cos a cos p
20.2. Во втором способе установки карданова подвеса, описанного
в
предыдущей задаче, ось вращения внешнего кольца параллельна
поперечной оси корабля. При этом способе подвеса ось \, связанная
с кораблем, совпадает с осью х
х
вращения внешнего кольца, а ось у
вращения внутреннего кольца совпадает с осью у
ь
жестко связанной
с внешним кольцом.
Угол
поворота внешнего кольца обозначается
теперь а
(угол
килевой
качки),
а
угол
поворота внутреннего кольца —
через р.
151
Определить ориентацию внутреннего кольца подвеса относительно
корабля.
Ответ:
X
У
Z
л
cos
р
0
sing
sin
к sin р
cos
a.
— sin л cos p
С
— cos a sin P
sin
a
cos
a cos P
К
задаче
20.2.
20.3. Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом прецессии ф, углом
нутации 6 и углом собственного вращения 9 (см. рисунок). Опреде-
лить направляющие косинусы подвижной системы отсчета
Oxyz.
Ответ:
X
У
г
%
cos
ф cos 6 cos f — sin ф sin f
— cos ф cos Ь sin
cp
— sin ф cos
<p
cos
ф sin 6
1
sin
^ cos 6 cos 9 -J- cos ^
s
i° f
— sin ^ cos 8 sin
<p
-\-
cos
Ф
cos 9
sin
Ф
sin 6
;
— sin 8 cos
<f>
sin
6 sin f
cos
6
20.4.
Зная
скорости изменения
углов
Эйлера, определить
угловую
скорость тела и ее проекции на оси неподвижной Ощ(, и подвижной
Oxyz
систем отсчета.
Ответ:
со
=
j_
да _j_ <^ _j_
2
фф cos 65
u)
£
= tp sin 0 cos
ф
— 8 sin ф, u>
n
= ?
sin
9 sin ф -[- 9 cos ф, ш
с
= ф cos 8 -\- ф;
(Й^.^
— 4>sin8coscp-j-8sin!p, (o
)l
= 4)sin8sin'f-|"9coscp,
ш^
= фcos6-|-4>.
20.5. Для определения вращательного движения самолета с ним
связывают ортогональную систему координат
Схуг,
причем ось х
направляется
по оси самолета от хвоста к кабине летчика, ось у
располагается в плоскости симметрии самолета, а ось z — по размаху
крыла
вправо для летчика (С — центр тяжести самолета). Угловые
перемещения
самолета относительно осей Cbf, (горизонтальная ось \
направляется
по курсу самолета, ось
-ц
— вертикально вверх, а гори-
зонтальная
ось
С
— перпендикулярно к осям % и ц) определяются,
152
как
показано на рисунке, тремя самолетными углами: углом рыскания
ф,
углом тангажа 6 и углом крена ф.
Определить ориентацию самолета (системы отсчета
Cxyz)
относи-
тельно трехгранника С|т]£.
Ответ:
X
и
г
1
cos г|5 cos б
sin i|> sin ф— cos i|) sin в cos ф
sin ф cos
ф+cos
г|> sin 6 sin ф
1
sine
COS 6 COS ф
— cos в sin ф
I
— sin if cos 6
cos г|) sin ф + sin ^ sin 6 cos ф
cos i|) cos ф — sin t|) sin в sin ф
К
задачам 20.3 и 20.4.
К
задачам 20.5 и 20.6.
20.6.
Зная
скорости изменения самолетных углов, определить
проекции
угловой скорости самолета на оси систем координат
Cxyz
и
С|г)£ (Ол. чертеж к предыдущей задаче).
Ответ:
со*=ф
sin
8-fcp,
^ ^
©У
= ф cos 8 cos ф + 8 sin ф,
<»
г
= — ф cos 8 sin ф -f- 8 cos ф;
со*
= ф cos ф cos 8 -(- 8 sin ф,
К
задачам 20.7 и 20.8.
cog = — ф sin ф cos б -}- 6 cos
яр.
20.7. Для исследования качки корабля и
его устойчивости на курсе вводят три кора-
бельных
угла:
ф — дифферент, 8 — крен и
ф
—угол
рыскания; система отсчета
Cxyz
жестко связана с кораблем;-С — центр тяжести корабля; ось х на-
правлена от кормы к носу, ось у — к левому борту, ось z — пер-
пендикулярно
к палубе; система координат С|т]£ ориентируется отно-
сительно курса корабля: ось £ вертикальна, горизонтальная ось \
направлена
по курсу, горизонтальная ось т} — влево от курса (на
рисунке изображены системы осей, введенных А. Н. Крыловым).
. • 153
Определить ориентацию
относительно трехгранника
Ответ:
корабля (координатных осей
Схуг)
X
У
г
Е
cos ф
cos
<p
-f
s
'
n
Ф
sin 9 sin 9
— cos ф
sin 9 +
s
in
Ф
s
'
n
"
cos<p
sin
<|/
cos
8
1
cos 8
sin 9
cos
9
cos
<p
-sin
9
С
—
sin
ф cos
ip +
cos Ф
sin • sin у
sin 4*
sin if -f-
cos
v sin в
cos
<{>
" cos ф cos
9
20.8. Зная скорости изменения корабельных углов, определить
проекции
угловой скорости корабля
на оси
систем отсчета
Схуг и
CSTJC
(CM.
чертеж
к
предыдущей задаче).
Ответ:
ч>
х
=
ф
cos б
sin
<p
-f-
б cos
ср>
^ =
8 cos
ф
-f-
<f sin ф
cos б, •
w
y
=
ф
cos б cos tp
—
6
sin 9, ш =
ф
—
ф
sin б,
ш
г
= —
ф sin 9
-f-
Т! ю^
= —
0
sin
ф
+
ф cos ф cos
0.
20.9. Точка
-М
(центр тяжести самолета, корабля) движется вдоль
поверхности Земли, принимаемой
за
шар радиуса
R*)\
восточная состав-
ляющая скорости точки равна
VE>
а
северная V/f. Определить скорость
изменения
широты
9
и
долготы
X
текущего положения точки
М.
V
N
\
V
E
Ответ:
ф
= -тг, —-в ; при
положительных
v
E
и v^
состав-
ляющая
ф
направлена
на
запад,
а
составляющая
%—по оси
вращения Земли
от
Южного полюса
к
Северному.
SN
К
задачам 20.9.
К
задачам 20.10.
20.10.
Для
изучения движения вблизи земной поверхности
тел
(самолетов, ракет, кораблей)
и
приборов, установленных
на них,
вводят подвижной координатный трехгранник
—
трехгранник
Дарбу.
При
географической ориентации трехгранника
Дарбу
OfrjC
горизон-
тальная
ось k
направляется
на
восток, горизонтальная
ось
т\—на
*) Здесь
и в
дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем.
154
север, ось £ — вертикально вверх. Определить проекции на оси £, ц, £
угловой скорости ' трехгранника О£т]£, если проекции скорости его
начала (точки О) относительно Земли равны v§ = v
E
, v
n
— v
N
, t)j = O;
угловая скорость вращения Земли равна U; радиус Земли R.
Ответ:
coj = —ф = — -
п
= (U + Я) cos ф =
cos
Ф"»
<о
с
= (С/ + й.) sin ф = (U + ^jjj) sin
Ф
.
20.11.
Трехгранник Дарбу
Oxyz
на поверхности Земли ориенти-
рован
не географически, как это было сделано в предыдущей задаче,
а по траектории основания трехгранника относительно Земли: ось х
направляется горизонтально по скорости v вершины О (центр тяже-
сти самолета, корабля) трехгранника относительно Земли, ось у
направляется горизонтально влево от оси х, а ось z — вертикально
вверх.
Определить проекции угловой скорости трехгранника
Oxyz,
если
скорость точки О равна v, а ее курс определяется
углом
i|)
(угол
между
направлением на север и относительной скоростью
точки О).
Ответ:
<л
я
= U cos ф cos if;
<о^
=
£/cos9sini|)
+ -D;
—•.
=
U cos ф cos if;
<о^
=
Здесь R, U, ф и X имеют значения, введенные в задачах 20.9 и
20.10,
а р — радиус геодезической кривизны траектории (р > 0 при ф0
и
р < 0 при ф > 0).
л(зенит)
11
//роещия/праешории
f/а
горизонтамни/с
^плоскость Оху
1у(себер)
ftucosa
+
и
£
К
задаче 20.11.
К
задаче 20.12.
•*.
20.12.
Трехгранник Дарбу
Ох°_у°г°
на поверхности Земли ориен-
тирован следующим образом: ось х° направляется по абсолютной
скорости V точки О (предполагается, что она движется по поверх-
ности
Земли), горизонтальная ось у
0
направляется влево от оси х°,
ось г° вертикальна.
155
Определить проекции угловой скорости трехгранника
Ox°y°z°>
если
составляющие скорости точки
О
относительно Земли равны
.
v
E
и v
N
.
Ответ:
(в*. —О, ау=-£-, u)
2
o
=
(f/-b^)
si
n<p
+ ^ где Н, U,
tp
и А
имеют значения, введенные
в
задачах
20.9 и
20.10
(
V"N
И tgo = -
20.13. Гироскоп направления установлен
в
кардановом подвесе.
Система координат x
1
y
1
z
1
связана
с
внешней рамкой
(ось
вращения
ее вертикальна), система
xyz
скреплена
с
внутренней рамкой
(ось х
1
вращения
ее
горизонтальна).
Ось z
внутренней рамки является одновре-
менно
осью собственного вращения
гироскопа.
К
задаче
20.13.
Определить:
1)
ориентацию
оси z
вращения гироскопа относительно
географически ориентированных осей
\if, (см.
задачу
20.10),
если
поворот внешней рамки
(оси у
г
)
отсчитывается
по
часовой стрелке
ог плоскости меридиана (плоскость
rfj) и
определяется
углом
а,
а подъем
оси z над
горизонтом определяется
углом
Р;
2) проекции
на оси х, у, z
угловой скорости вращения трехгран-
ника
xyz,
предполагая,
что
точка
О
подвеса гироскопа неподвижна
относительно Земли.
Ответ:
1)
2
Sin a COS P
COS
a COS P
С
sin
p
-
2)
w*
=
p'—£/
cos
<p
sin а,
ц>У
= а cos
j3
-f- U
(cos
<p
cos а sin
j3—sin
if cos
P),
ю
г
= d sin p + [/
(cos
<p
cos a cds p -f sin
tp
sin j3),
где
U—угловая
скорость вращения Земли,
<р
—
широта места.
20.14.
В
условиях предыдущей задачи определить проекции
уг-
ловой скорости вращения трехгранника
xyz,
если северная
и
восточ-
ная
составляющие скорости точки подвеса соответственно равны
1>N
и
V
E-
156
Ответ;
©*=
В — (U
+'-Б—-—)
cos
ш
sin a ^- cos a,
х
^ \ ' #СОвф /
Т
#
<o
y
=acosP
+ (£/ +
7r-^—)
(cos
<p
cos a sin
В
—
sincpcosB)—^
sin a sin p,
J
\ i\ COS ф/ /\
ю*
= a sin В-ы t/
-\-
R
E
—) (cos ф cos a cos В-f-sin
<p
sin B),
где
R —
радиус Земли.
20.15 (604). Движение тела вокруг неподвижной точки задано
углами Эйлера:
Определить координаты точки, вычерчивающей годограф угловой
скорости,
угловую
скорость
и
угловое
ускорение тела относительно
неподвижных осей
х, у, z.
Ответ:
х =
<я
х
= 2 ]/"3 cos 2t, у =
а>
у
==
— 2
"|/"з
sin
2#,
г
=
со
г
= 0;
о)
= 2 "^3
сек-
1
;
8 = 4
20.16 (605). Найти подвижный
и
неподвижный аксоиды внешнего
колеса вагона, катящегося
по
горизонтальному пути, средний радиус
кривизны
которого равен
5 м,
радиус колеса вагона
0,25 м,
ширина
колеи
0,80 м<
К
задаче
20.16.
Примечание.
Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикаль-
ной
оси Ог, проходящей через центр закругления пути, и относительно
вагона вокруг оси АВ, т. е. вращается вокруг неподвижной точки О.
Ответ:
Неподвижный аксоид
—
конус,
ось
которого совпадает
с осью
Oz и с
углом
при
вершине
a=2
arctg
21,6 = 174° 42'.
Подвижный аксоид
—
конус
с
осью
АВ и
углом
при
вершине
Р
= 2
arctg
0,046
3 = 5° 18'.
20.17 (610). Движение тела вокруг неподвижной точки задано
при
помощи
углов
Эйлера следующими уравнениями:
<p
= nt,
ij)
= я/2 -{- ant, 6 =
я/3. Определить проекции угловой скорости
и
углового
ускорения тела
на
неподвижные
оси,
если
а и п —
постоян-
157
ные
величины. Указать также
то
значение параметра
а, при
котором
неподвижным аксоидом тела
будет
плоскость
Оху.
Ответ:
и>
х
=
—j-
cos ant,
(u
y
==-—smant,
ч>
г
= n
I
a -f- -^
e^
= —
дя
/ sin a?rf, г
у
=
ап
cos ant, ^ = 0; a = — -s-.
20.18. УГЛЫ Эйлера, определяющие положение тела, изменяются
по
закону (регулярная прецессия)
ф
=
ф
0
-j~ и^,
6 =
9
О
,
<р
=
ф
о
-\-щ(,
где
фо> 6
O
i ?о —
начальные значения углов,
а «
f
и «а —
постоянные
числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить
угловую
скорость
со
тела, неподвижный
и
подвижный аксоиды.
Ответ.
1)
<о
= Yn\ -f- n\
-j~
2щщ cos 6
0
;
2) неподвижный аксоид
—
круговой конус
Е
4
4" ^ —
П%
Sin
8
6
0 а
п v n • И» Sin 8
n
—
7—^-н—г—Г2^"
:
=0
с
осью
С и
углом раствора 2arcsin-
s
-;
(ге
а
cos 8
0
+
rt
t
)
2
J v F
со
3) подвижный аксоид
—
круговой конус
^^
ру
у \у
L
"E—г—^2
a
= 0 с
осью
г и
углом раствора
2
arcsin
"'
sin
"
COS
B
o
-)- «
2
)
S
} Y V
m
ГЛАВА
VII
СЛОЖНОЕ
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§
21.
Уравнения движений точки
21.1. Определить уравнение прямолинейного движения точки, скла-
дывающегося
из
двух
гармонических колебаний:
Хх = 2 cos (nt -f-
я/2),
х
2
= 3 cos
(я^
+
я).
о
Ответ: JtT
= l/l3cos(rc£-J-a), где a = arctg у =
33°40
f
.
21.2. Барабан записывающего устройства вращается равномерно
со скоростью
ю
0
сек'
1
.
Радиус барабана
г.
Самописец соединен
с деталью, движущейся
по
вертикали
по
закону
у =i
a_sin
coj/.
Найти
уравнение кривой, которую запишет перо
на
бумажной ленте.
Ответ:
у-
К
задаче 21.2
К
задаче 21.3.
21.3.
При
вращении
поворотного
крана
вокруг
оси
ОхО
2
с
постоян-
ной
угловой скоростью
со
х
груз
А
поднимается вверх посредством
каната,
навернутого
на
барабан
В.
Барабан
В
радиуса
г
вращается
с
постоянной
угловой скоростью
о)
2
.
Определить абсолютную траекто-
рию
груза, если вылет
крана
равен
d.
159
Ответ:
Винтовая
линия,
уравнение которой
Ш
2
Г " 0)
2
Г
ось
х проходит через ось
О
г
О
2
и начальное положение
груза,
ось г
направлена
вверх по оси вращения крана.
21.4. При совмещении работы механизмов подьема
груза
и пере-
мещения
крана
груз
А перемещается в горизонтальном и вертикаль-
ном
направлениях. Барабан В радиуса г = 50 см, на который навит
канат,
поддерживающий
груз
А, вращается при пуске в ход с угло-
вой
скоростью ш = 2я
сек"
1
.
Кран
перемещается в горизонтальном
направлении
с постоянной скоростью v = 0,5
м/сек.
Определить
абсолютную траекторию
груза,
если начальные координаты
груза
х
0
— 10 м, у
о
= 6 м.
Ответ:
у =
•*~*°
а
К
задаче
21 4.
21.5. Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси Oi0
2
с
постоянной угловой скоростью о. По горизонтальной стреле от А
к
В движется тележка с постоянной скоростью v
0
.
Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный
момент тележка находилась на
оси
ОуО%.
Ответ:
Траектория — архи-
медова спираль
9L
J__.
\
\
К
7"
/
К
задача
21.6.
где г — расстояние тележки о
оси
вращения,
<р
—
угол
поворот
крана
вокруг оси ОхО
2
.
21.6 (417). Лента прибора, слу-
жащего для записи колебательных
движений,
движется по направлению Ох со скоростью 2
м/сек.
Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду,
наибольшая
ордината которой АВ = 2,5 см, а длина О^С = 8 см.
160