Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Найти

уравнение колебательного движения

тела,

предполагая,

что

точка

синусоиды

соответствует

положению

тела

при

= 0.

Ответ:

у-*=

2,5sin(50nt)

см.

21.7 (419). Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизон-

тальному

участку

со

скоростью г>=18

км/час,

причем кузов совер-

шает

на

рессорах гармонические колебания

с амплитудой

а — 0,8 см и

периодом

Т =

0,5 сек.

Найти уравнение траектории

центра тяжести кузова, если

его

среднее

расстояние

ог

полотна дороги /г =1,5

м.

При

= 0

центр тяжести находится

среднем положении

скорость колебания

направлена

вверх.

Ось Ох

направить

го-

ризонтально

по

полотну

сторону

дви-

жения,

ось Оу —

вертикально

вверх

че-

рез положение центра тяжести

при t = 0.

Ответ:

у = 1,5 +

0,008

sin 0,8лх. •

21.8 (420). Определить уравнения

траектории сложного движения конца

двойного маятнщка, совершающего одно-

временно

два

взаимно перпендикулярных

гармонических колебания равной частоты,

но

фазных

фаз,

если уравнения указанных колебаний имеют

вид

задаче

21 к

амплитуд

asin((nt-\-a),

у =

b(sinat-{-р).

Ответ:

Эллипс

21.9 (421). Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу,

получающуюся

при

сложении

двух

взаимно перпендикулярных

гар-

монических колебаний:

х = a sin

2(i>t,

у = a sin at

Найти

уравнение траектории.

Ответ:

= 4у

(а

—

21.10 (422). Железнодорожный поезд движется равномерно

со

скоростью

км/час;

сигнальный фонарь, привешенный

послед-

нему вагону, срывается

кронштейна. Определить траекторию абсо-

лютного движения фонаря

длину пути

который

будет

пройден

поездом

за

время падения фонаря, если фонарь находился

на

высоте

4,905

м от

земли.

Оси

координат провести через начальной положе-

ние

фонаря,

ось Ох —

горизонтально

сторону движения поезда,

ось

Оу —

вертикально

вниз.

Ответ:

Парабола

вертикальной осью

у =

0,0706лг

;

8 -s- м, (х,у —

метрах,

t — в

секундах).

И, В,

Мещерский

161

-X

21.11 (423). Резец М совершает поперечное возвратно-поступа-

тельное движение согласно закону х — a sin (at. Найти уравнение

траектории конца резца М относительно диска, вращающегося рав-

номерно

с угловой скоростью со вокруг оси О,

пересекающей абсолютную траекторию резца.

Ответ:

(\\

— а/2)

— а

/4 — окружность

радиуса а/2 с центром в точке С (см. чертеж).

21.12 (424). В некоторых измерительных и

Целительных приборах для перемещения указателя

применяется

дифференциальный винт, состоящий

из

оси АВ, имеющей в части А винтовую на-

резку с шагом h

мм, а в части В — нарезку с

шагом

1ц,<Цг

Часть А вращается в неподвиж-

ной

гайке С, а часть В охватывается элементом D, лишенным вра-

щательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль

неподвижной

шкалы.

1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка

оси

на 1/и оборота (соответствующая шкала нанесена на диске £),

задаче

21.11.

задаче

21.12.

еЛш п = 200, /г

= 0,5 мм ,и /z

= 0,4 мм. Обе нарезки правые или

обе левые.

2) Как изменится показание прибора, если в части А сделать

левую

нарезку, а в части В —

правую?

Ответ:

1) s = i- (h

— h

) =

0,0005

мм.

2) s =

-^-(Ai

+ ft

) =

0,0045

мм.

21.13 (425). Ускорительный механизм строгального станка состоит

из

двух

параллельных валов О и О

кривошипа ОА и кулисы О

В.

Конец

кривошипа ОА соединен шарнирно с ползуном, скользящим

вдоль прорези в кулисе О\В. Найти уравнение относительного дви-

жения

ползуна в прорези кулисы и уравнение вращения самой кулисы,

если кривошип ОА длиной г вращается с постоянной угловой ско-

ростью со, расстояние

между

осями валов ОО

— а.

Ответ:

% —

a?-{-r

-{-2ar

cos (at;

sin

(£>t

+ r

cos

162

21.14 (426). В ротативном двигателе, схематически показанном на

чертеже, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним

вокруг неподвижной оси вала О, а шатуны поршней вращаются вок-

руг пальца А неподвижного кривоши-

па О А. Указать: 1) траекторию абсо-

лютного движения точек В поршней и

2) приближенное уравнение их относи-

К задаче

21 13.

К задаче

21 14.

тельного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры

вращаются с угловой скоростью ш. Дано: О А = г и АВ = /. Оси Ох

Оу имеют начало в центре вала.

Принято,

что X = г/1 мало.

Ответ:

1) Окружность х* -j- (у -{- г)

= Р\

2) \ = lh—

22. Сложение скоростей точки

22.1.

Корабль движется прямолинейно со скоростью •% На высоте h

над морем со скоростью v

летит самолет тем же курсом. Опреде-

лить расстояние /, отсчитываемое по го-

ризонтали, на котором надо сбросить

вымпел, чтобы он попал на корабль. Со-

противлением

воздуха

движению вымпела

пренебречь.

Ответ:

/=fm —

К задаче

22.1.

22.2. Решить

предыдущую

задачу,

если самолет летит с той же

скоростью навстречу движущемуся кораблю.

Ответ:

i = (

22.3. Корабль, проходящий точку А, движется с постоянной по

модулю

и направлению скоростью щ» Под каким

углом

£ к прямой АВ

6* Ш

надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы встретиться с кораб-

лем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению'

равна V!? Линия АВ составляет

угол

i|)

с перпендикуляром к курсу

корабля.

Ответ:

sin|$ = — cosi|)

22.4. В предыдущей задаче определить время, Т, по истечении

которого катер встретится с кораблем, если первоначальное расстоя-

ние

между

ними равнялось АВ==1.

Ответ:

j / I sin ft I cos %

UoSinifo

Kof

—

Уg cos

to t»

cos

(i)3

—P)

cos(\j;

—{

A*—

задаче 22.3.

22.5. Проволочная окружность вращается в своей плоскости отно-

сительно неподвижного шарнира О с постоянной угловой скоростью ш.'

Как

будет

двигаться точка М пересечения этой окружности с непод-

вижной

окружностью того же радиуса R, проходящей также через

шарнир

О?

Ответ:

Точка пересечения обходит каждую из окружностей

постоянной скоростью, равной со/?.

22.6 (427). Корабль идет курсом ЮВ со скоростью а узлов, при этом

флюгер на мачте показывает ветер В. Корабль уменьшает ход до а/2

узлов, флюгер показывает ветер СВ. Определить: 1) направление

2) скорость ветра.

Примечание.

Наименование курса указывает, куда идет корабль,

наименование

ветра —откуда он

дует.

Ответ:

1) С севера; 2) -^— узлов.

22.7 (428). Для определения собственной скорости самолета при

ветре на земле отмечают прямую линию известной длины /, концы кото-

рой

должны быть хорошо видны

сверху.

Направление отмеченной

прямой

должно совпадать с направлением ветра. Вдоль этой прямой

самолет пролетел сначала по ветру за время t

сек, а затем против

ветра за время /

сек

- Определить собственную скорость v самолета

скорость V ветра.

Ответ:

v=-£ (j- -f- у-]

м/сек—

1,8/ (у- -j- -Л

км1час;

164

22.8 (429).

Для

определения собственной скорости

самолета

при

ветре размечают

на

земле треугольный полигон

ABC со

сторо-

нами

ВС = 1

СА =

АВ —

метров.

Для

каждой стороны поли-

гона определяют время полета:

сек.

Определить собственную

задаче

22.8.

скорость

самолета, предполагая,

что она

неизменна

по

величине,

скорость

ветра. Задачу решить графически.

Пояснение.

Собственной скоростью самолета называется скорость

самолета относительно

воздуха.

Ответ:

От

произвольной точки

отложить

три

вектора, соот-

ветственно равных

ljt

параллельных сторонам

ВС, С А

АВ

полигона. Величина скорости

самолета определится

радиу-

сом окружности, проходящей через концы этих векторов. Скорость

ветра определяется вектором

МО.

22.9 (430). Пассажир движущегося

со

скоростью

км/час

по

горизонтальному шоссе автомобиля видит через боковое стекло

кабины

траектории капель дождя наклоненными

вертикали

под

углом

40°.

Определить абсолютную скорость падения

дождевых

капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель

стекло.

Ответ:

v =

;—|—

= 23,8

м/сек.

•!

22.10

(431). Берега реки параллельны; лодка вышла

из

точки

и,

держа курс перпендикулярно

берегам, достигла противополож-

ного берега через

10 мин

после отправления.

При

этом

она

попала

точку

С,

лежащую

на 120 м

ниже точки

А по

течению реки.

Чтобы, двигаясь

прежней относительной скоростью, попасть

из

точки

А в

точку

В,

лежащую

на

прямой

АВ,

перпендикулярной

берегам, лодке надо держать курс

под

некоторым

углом

прямой

АВ

против течения;

этом

случае

лодка достигает противоположного

берега через

12,5 мин.

Определить ширину реки

относительную

скорость

лодки

по

отношению

воде

скорость

течения реки.

Ответ:

/=200

ж,

= 20 м/мчн;

г>=12

м/мин.

22.11 (432). Корабль плывет

на юг со

скоростью

30^2

км/час.

Второй корабль идет курсом

на

юго-восток

со

скоростью

км/час.

Найти

величину

направление скорости второго корабля, опреде-

ляемые наблюдателем, находящимся

на

палубе

первого корабля.

Ответ:

tv = 30

км/час

направлена

на

северо-восток.

165

задаче

22.12,

22.12. Линейка АВ эллипсографа приводится в движение стер-

жнем ОС, вращающимся вокруг оси О с постоянной угловой скоро-

•

стью щ. Кроме того, весь механизм вместе с направляющими вра-

щается вокруг оси, перпендикулярной к чертежу и проходящей через

точку О, с постоянной угловой скоростью,

равной

также со

Найти

абсолютную скорость произ-

вольной

точки М линейки как функцию

расстояния

ЛМ = / в предположении, что

вращение

стержня ОС и вращение всего

щ^ механизма происходят в противополож-

ных направлениях.

Ответ:

= (AB — 2l)a)

23.13. Решить предыдущую задачу

для случая, когда оба вращения происходят в

одном направлении.

Ответ:

VM не зависит от положения точки

М и равна АВ-щ.

22.14 (435). Шары центробежного регуля-

тора

Уатта,

вращающегося вокруг вертикаль-'

ной

оси с угловой скоростью ш=10 сек~\

благодаря изменению нагрузки машины отхо-

дят от этой оси, имея для своих стерж-

ней

в данном положении

угловую

скорость

(й!=

1,2

сек'

Найти абсолютную скорость шаров

регулятора в рассматриваемый момент, если дли-

на

стержней / = 50 см, расстояние

между

осями

их привеса 2е = 10 см, углы, обра-

зованные

стержнями с осью регулятора,

<х±

Ответ:

-о

— 306

см/сек.

22.15 (436). В гидравлической турбине во-

да из направляющего аппарата попадает во

вращающееся рабочее колесо, лопатки кото-

рого поставлены, во избежание

входа

воды

ударом, так, чтобы относительная скорость v

касалась лопатки. Найти относительную ско-

рость частицы воды на наружном ободе ко-

лёса (в момент входа), если ее абсолютная ско-

рость при

входе

г» =15

м/сек,

угол

между

абсолютной скоростью и радиусом а = 60°, радиус

входа

R = 2 м,

угловая скорость колеса соответствует и =30

об/мин.

задаче

22.14.

задаче 22.15.

Ответ:

= 10,06

м/сек;

У 22.16. Частицы воды входят в турбину со скоростью «.

Угол

между

скоростью и и касательной к ротору, проведенной в точке

входа

частицы, равен а. Внешний диаметр ротора D, его число обо-

ротов в минуту п.

166

Определить

угол

между

лопаткой ротора

касательной

точке

входа

воды,

при

котором вода

будет

входить

без

удара

(относитель-

ная

скорость частиц

этом

случае

должна быгь направлена вдоль

лопаток).

60« sin a

Ответ:

Ч§

задаче

22.16.

задаче

22.17.

22.17 (438).

кулисном механизме

при

качании кривошипа

ОС

вокруг

оси О,

перпендикулярной

плоскости чертежа, ползун

А,

перемещаясь вдоль кривошипа

ОС,

приводит

движение стержень

АВ,

движущийся

вертикальных направляющих

К.

Расстояние

ОК=1~

Определить скорость движения ползуна

относительно кривошипа

ОС

функции

от

угловой скорости

to и

угла

поворота

<р

кривошипа.

Ответ:

*V=^J

22.18 (439). Найти абсолютную скорость какой-либо точки

спарника

АВ,

соединяющего кривошипы

ОА и О

осей

О и O

если радиусы колес одинаковы:

R=l м;

радиусы кривошипов:

ОА = О

В =

0,5

м.

Скорость экипажа г>

= 20

м/сек.

Скорость точки

определить

для

четырех моментов, когда кривошипы

ОА и О

либо

вертикальны, либо горизонтальны. Колеса катятся

по

рельсам

без

скольжения.

Ответ: т>

= 10 м/сек;

г)

= 30 м/сек; v

= 22,36 м/сек.

задаче

22.18.

задаче

22.19.

22.19

(440).

Колеса

А и В

вагона,

движущегося

со

скоростью

по

прямолинейному

рельсу,

катятся

по

нему

без

скольжения.

Радиусы

колес

равны

г, и

расстояние

между

осями

Определить

скорость

центра

колеса

относительно

системы

координат,

неизменно

связан-

ной

колесом

В.

167

Ответ'.

Скорость равна

—,

перпендикулярна

к АВ и

направ-

лена вниз.

22.20

(441). Механизм состоит

из

двух

параллельных валов

кривошипа

ОА и

кулисы

Оф;

конец

кривошипа

ОА

сколь-

зит вдоль прорези

кулисе

В;

расстояние

между

осями валов

ОО

равно

а;

длина кривошипа О

равна

причем

1^>а. Вал О вра-

щается

постоянной угловой скоростью

о).

Найти:

угловую

ско-

рость

©!

вала

относительную скорость точки

А по

отношению

кулисе

В,

выразив

их

через переменную величину

0^ = $;

2) наибольшие

наименьшие значения этих величин;

3) те

положе-

ния

кривошипа, когда щ=а>.

Ответ:

1)^^

l-a'

= (0

l+a-

щ =

и>

при О

В±О

О.

22.21 (442). Камень

качающейся кулисы

ного станка приводится

движение зубчатой

механизма строгаль-

передачей, состоящей

из

зубчатки

D и

зубчатки

Е,

несущей

на

себе

ось

камня

виде пальца. Радиусы

зубча-

ток

/?= 100 мм,

tfj.^350

мм,

А — 300 мм,

расстояние

ме-

^ч. /Шл

fr-П^Ю

ЖДу

0СЬЮ

бчатки

Е и

V^C'

/\ I

vSJ

центром

качания кулисы

0x6

= 700 мм.

Определить

угловую

скорость кулисы

моменты, когда отрезок

либо вертикален (верхнее

нижнее положения), либо

пер-

пендикулярен

кулисе

АВ

(левое

правое положения),

если зубчатка имеет

угловую

скорость

©=7 сек"

Точки

и В

расположены

на

одной вертикали.

Ответ:

U)I

0,6

сек~

U)II

COIV=O;

<om=l,5

сек~\

11.11 (443). Определить

угловую

скорость вращающейся кулисы

кривошипно-кулисного механизма

при

четырех

положениях криво-

шипа—двух вертикальных

двух

горизонтальных, если

а = 60 см,

/=80

см и

угловая скорость кривошипа

соответствует

л = 30 об/мин.

(См.

чертеж

задаче

22.20.)

У///////////////////////Ш/.

задаче

22.21.

;

(0щ =

Ответ:

coi

= yjx

сект

; o)u

coiv

= 0,64 я сек~

;

(0щ

= 4я

сект

22.23

(444). Определить абсолютную скорость поршня ротатив-

ного двигателя

при

двух

вертикальных

двух

горизонтальных поло-

168

жениях шатуна

АВ,

если длина кривошипа

ОА = г

=,80

мм,

длина

шатуна

АВ =

240

мм,

число оборотов цилиндра

картером

п =

1200 об)мин.

(См.

чертеж

задаче

21.14.)

Ответ:

v\=20,11

м/сек;

г»ш=40,21

м/сек;

x!n=t)iv=33,51

м/сек.

22.24.

Восточная, северная

вертикальная составляющие скоро-

сти точки

относительно Земли соответственно равны

v& v^, v^.

Высота точки

над

поверхностью Земли

данный момент равна

широта места

ср.

Радиус Земли

R, ее

угловая скорость

ш.

Определить

составляющие абсолютной скорости точки.

Ответ:

.= v

-\-(R-\-

К)

cos

<p;

— v

; v

= v

(ось

направ-

лена

на

восток,

ось у —

на

север,

ось z —

вертикально вверх).

23.

Сложение ускорений точки

23.1 (447). Наклонная плоскость

АВ,

составляющая

угол

45°

с горизонтом, движется прямолинейно параллельно

оси Ох с

посто-

янным

ускорением

дм)сёк*.

По

этой плоскости спускается тело

с постоянным относительным ускорением

У2

дм[сек*;

начальные

скорости плоскости

тела равны нулю, начальное положение тела

определяется координатами лг

О,

y =

Определить траекторию,

скорость

ускорение абсолютного движения тела.

Ответ:

y — h — -—; v = \^5 t

дм/сек;

w = У5

дм\сек

задаче

23 1.

задаче

23 2.

23.2 (448). Велосипедист

на

некотором участке горизонтального

прямолинейного пути движется

по

закону

s = 0,l^

(s — в

метрах,

— в

секундах). Дано:

R =

350

мм, 1=180 мм,

= \8

зубцов,

г^

= 48

зубцов.

Определить абсолютное ускорение осей

М и N

велосипедных педа-

лей (предполагая,

что

колеса катятся

без

скольжения)

при

£=Ю сек,

если

этот момент кривошип

расположен вертикально.

Ответ:

= 0,860 м\сек\ w

= 0,841

м/сек*.

23.3

(449). Определить абсолютное ускорение какой-нибудь точки

спарника

АВ,

соединяющего кривошипы осей

О и O

если

эки-

паж движется

по

прямолинейному

участку

пути равномерно

со ско-

169

ростью г»

= 36

км/час.

Радиусы колес R—1 м, радиусы кривошипов

г ?= 0,75 м. (См. чертеж

задаче

22.18.)

Ответ:

т — 75

м/сек

23.4 (450). Найти скорости

ускорения точек

гусеницы трактора, движущегося без скольжения по прямолинейному

ssw^ssk

вШжжжажЖ^Ж'

задаче 23.4.

участку пути со скоростью

и ускорением гг>

; радиусы колес трак-

тора равны R; скольжением гусеницы

по

ободу колес пренебречь.

Ответ:

Vi = v

= v

2; v

= 2v

; w

=0;

23.5 (455). На тележке, движущейся по горизонтали вправо с уско-

рением

w = 49,2

см1сек?,

установлен электрический мотор, ротор

которого при пуске

ход вращается согласно уравнению

<р

—^

причем

угол

ф измеряется

радианах. Радиус ротора равен 20 см.

Определить абсолютное ускорение точки

А,

лежащей на ободе ро-

тора, при £=1 сек, если

этот момент точка

находится

поло-

жении,

указанном на чертеже.

Ответ:

г»д = 74,6

см/сек

направлено по вертикали вверх.

23.6 (456). Определить

предыдущей задаче

угловую

скорость

равномерного вращения ротора, при которой точка А, находясь

по-

ложении

В, имеет абсолютное ускорение, равное нулю.

Ответ: to

=1,57 сек'\

шМ//Ш///ЩШ/7/ШШк

К.

задаче 23.5.

задаче 23.7.

23.7 (457). К валу электромотора, вращающегося согласно урав-

нению

ф =

со^

(со = const), прикреплен под прямым углом стержень

ОА длиной

при этом электромотор, установленный без креплений,

170