Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

совершает горизонтальные гармонические колебания на фундаменте

по

закону x =

asinwt.

Определить абсолютное ускорение точки А

момент времени £

у- сек.

Ответ:

IS>A

= <о

V^d* -j- /*.

23.8. Тележка, на которой установлен мотор, движется по гори-

зонтали

вправо с постоянным ускорением w = K

см/сек*.

Мотор вра-

щается по закону

ср

= у£

. Определить абсолютное ускорение в мо-

мент t = 1 сек

четырех

точек М

, Ж

ротор-а, отстоящих от

оси

ротора на расстоянии 1=2 у 2 см и занимающих в этот момент

положение,

указанное на чертеже.

Ответ:

4}>

см(сек\

Wi = 0, w

4~y

см/сек*,

= 8

см/сек*.

23.9 (458). Автомобиль на прямолинейном

участке

пути движется

ускорением w

= 2

м\сек

На продольный вал насажен вращаю-

щийся

маховичок радиуса R = 0,25 м,

имеющий

в данный момент

угловую

У///////////////////////////////.

задаче

23.8.

Маховичок

задаче

23.9.

скорость

= 4 сек

угловое

ускорение е = 4 сек * Найти абсо-

лютное ускорение точек обода маховичка в данный момент.

Ответ:

w = 4,58

м(сек*.

23.10 (459). Самолет движется прямолинейно с ускорением

ЯРо

const = 4

м/сек\

винт диаметром

d=l,8ju

вращается равномерно

угловой скоростью, соответствующей

я=1800о<5/лия.

Найти

уравнения движения, скорость

ускорение конца винта в системе коор-

динат, неподвижной относительно Земли,

причем ось Ох этой системы координат

совпадает с осью винта. Начальная ско-

рость самолета г>

= 0.

Ответ:

х = 2Р м, У = 0,9 cos

60itf

м,

г = 0,9 sin

60itf

м;

v =

Vl№-\-2916Т?

м/секг,

за

аче

23.п.

23.11 (460). В регуляторе, вращающемся вокруг вертикальной оси

постоянной угловой скоростью я = 180

об/мин,

тяжелые гири А,

прикрепленные

концам пружины, совершают гармонические коле-

171

задаче

23.13.

задаче

23.14.

бания

вдоль паза

таким образом,

что

расстояние

их

центров

тяжес1и

от оси

вращения изменяется

по

закону

х = (10

-|-5sin8тс£)

см.-

Определить ускорение центра тяжести гири

момент, когда корио-

лисово ускорение достигает максимального значения,

указать

зна-

чения

кориолисова ускорения

при

крайних положениях гири.

Ответ:

6OO11

см/сек*;

= 0.

23.12 (461). Струя воды течет

по

горизонтальной

трубе

ОА, рав-

номерно

вращающейся вокруг вертикальной

оси с

угловой скоростью,

соответствующей

п = 60

обjмин.

Определить кориолисово ускорение

этой точке струи,

где

относительная скорость

©,.

21/11

м/сек

направлена

по

О А. Принять

для it

приближенное значение

it = 22/7.

Ответ:

= 24 м\сек

23.13(462). Круглая трубка радиуса

R — 1 м

вращается вокруг

горизонтальной

оси О по

часовой стрелке

постоянной угловой

скоростью

ш—1 сек'

. В

трубке около

ее

точки

колеблется

ша-

рик

М,

причем

так, что

угол

sini<

Определить абсо-

лютные ускорения шарика:

ка-

сательное

нормальное

момент t=z=2

сек.

Ответ:

= — 4,93 м/сек

;

— 13,84 м1сек\

23.14 (463). Диск вращает-

ся

вокруг

оси,

перпендикуляр-

ной

плоскости диска,

по ча-

совой стрелке равноускоренно

угловым ускорением

1 сек'\ в мо-

мент £

= 0

угловая скорость

его

равна нулю.

По

одному

из

диамет-

ров диска колеблется точка

М так, что ее

координата £

sinitf

дл,

причем

взято

секундах. Определить

момент

t = 1

/з сек

проек-

ции

абсолютного ускорения точки

М на оси S, %

связанные

диском.

Ответ:

= 10,95 дм}сек

; w

= — 4,37 дм/сек*.

23.15 (464). Точка движется равномерно

относительной скоро-

стью

по

хорде

диска, который вращается вокруг своей

оси О,

перпендикулярной

плоскости диска,

постоянной

угловой скоростью

ш.

Опре-

делить абсолютные скорость

ускорение

точки

в тот

момент, когда

она

находится

на

кратчайшем расстоянии

h от оси, в

предпо-

ложении,

что

относительное движение

точ-

ки

происходит

сторону вращения диска.

Ответ:

v =

-\~hu>;

w =

ufih

-j-

2vav

23.16 (465).

Для

передачи вращения

одного вала

другому,

параллельному

первому, применяется муфта, которая

яв-

ляется обращенным эллиптическим

цир-

кулем

закрепленным кривошипом

OOi.

Кривошип

АВ

вращается

угловой скоростью

вокруг

оси Oi и при-

водит

во

вращение крестовину вокруг

оси О

вместе

со

вторым валом.

задаче

23 16.

Определить

угловую

скорость вращения крестовины, а также

тпереносную и относительную (по отношению к крестовине) скорости

ускорения (переносное, относительное и кориолисово) точки А

ползуна при щ = const, если 00% = AOi = OiB = а.

Ответ:

w =

-J-;

= au>i sin ^ t; v

= ащ cos у t;

«)

= да

= -^ sin у t; w

aa>\

cos ~ t.

23.17 (466). Велосипедист движется по горизонтальной платформе,

вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой ско-

ростью

со

-н-

сек'

;

расстояние велосипедиста до оси вращения плат-

формы остается постоянным и равным г = 4 м. Относительная скорость

велосипедиста v

= 4

м/сек

и направлена в сторону, противополож-

ную переносной скорости соответствующей точки платформы. Опре-

делить абсолютное ускорение велосипедиста. Найти также, с какой

относительной скоростью он должен двигаться, чтобы его абсолют-

ное ускорение равнялось нулю.

Ответ:

1) w = 1

м/сек*

и направлено по радиусу к центру диска;

2) Ч1

=2м/сек.

23.18 (467). Компрессор с прямолинейными каналами равномерно

вращается с угловой скоростью <о вокруг оси О, перпендикулярной

плоскости чертежа.

Воздух

течет по каналам с постоянной относи-

тельной скоростью v

. Найти проекции абсолютной скорости и уско-

рения

на оси координат для частицы

воздуха,

находящейся в точке С

канала АВ, при следующих

данных: канал АВ наклонен

радиусу ОС под углом 45°,

ОС = 0,5 м,

= 4тс

сек'

= 2

м/сек.

Ответ:

г>

= 7,7

м/сек;

г», = 1,414

м/сек;

w, =

35,54

м/сек\

— — 114,5

м/сек*.

23.19 (468). Решить пре-

дыдущую

задачу для случая

криволинейного канала, если

радиус кривизны канала в точке С равен р, а

угол

между

нормалью

кривой АВ в точке С и радиусом ОС равен ср. Радиус СО равен г.

B/v-

задаче

23.18.

задаче

23.19.

Ответ:

г»

= v

cos

ср

-{- w;

sin

ср;

п>^=с

>—

-yjeosep

]•

=•)

sin

23.20

(469). Выразить в функции от времени угловое ускорение е

качающейся кулисы поперечно-строгального станка, если кривошип

длиной г вращается равномерно с угловой скоростью ш; расстояние

173

между

осями вращения кривошипа

кулисы

а>г. (См.

чертеж

задаче

21.13.)

(г

—а

)

алю

sin at

Ответ: s

23.21 (470). Камень

совершает переносное движение вместе

с кулисой, вращающейся

угловой скоростью

а> и

угловым ускоре-

нием

вокруг

оси O

перпендикулярной

плоскости кулисы,

относительное прямолинейное движение вдоль прорези кулисы

со

скоростью

ускорением

Определить проекции абсолютного ускорения камня

на

подвиж-

ные

оси

координат, связанные

кулисой, выразив

их

через перемен-

ное расстояние

OiA — s.

(См. чертеж

задаче

22.20.)

Ответ:

—sa>

;

ss, -(-

u>,

причем

оси £ и TJ

направ-

лены соответственно вдоль прорези

перпендикулярно

к ней.

23.22

(471). Определить

угловое

ускорение вращающейся кулисы

кривошипно-кулисного механизма строгального станка

при

двух

вер-

тикальных

двух

горизонтальных положениях кривошипа, если длина

кривошипа

/=40 см,

расстояние

между

осями кривошипа

кулисы

= 30 см,

угловая скорость равномерного вращения кривошипа

= 3

сек"

(См.

чертеж

задаче

22.20.)

Ответ:

<р

= 0 и

ср

180°,

0; tp

90°, e

l,21

сек

;

270°,

е=

1,21

сек~

(вращение замедленное).

23.23

(472). Найти ускорение относительного движения камня

кулисы вдоль

ее

прорези

предыдущей

УЯАмШ

задаче при указанных

четырех

положениях

кривошипа.

Ответ:

ср

О,

154,3

см/сек

;

<р

= 90° и ^ =

270°,

103,7

см/сек

;

<р

180°,

да

=—

1080

см/сек*.

23.24

(473). Найти уравнение движе-

ния,

скорость

ускорение суппорта

строгального станка, приводимого

движение кривоши"пно-кулисным механиз-

мом

качающейся кулисой

В.

Схема

указана

на

чертеже. Кулиса соединена

суппортом

М при

помощи ползуна

В,

скользящего относительно суппорта

по

направляющей, перпендикулярной

к оси его

движения. Дано: O

fi=A

ОА =

г,

О =

а,

г <а;

кривошип О

вращается

постоянной

уг-

ловой скороаью

ш;

угол

поворота кривошипа отсчитывается

от вер-

тикальной

ост.

Г sin at

ш 1

~'ЖГ

У///2$

К задаче

23.2"4.

Ответ:

х=1-г=

v==r

+ r

cos

at)

cos at +

г)

174

Примечание.

Координата отсчитываегся

от

вертикали, проходящей

через точку

О.

23.25

(474). Найти ускорение резца строгального станка

качаю-

щейся

кулисой

при

двух

"вертикальных

двух

горизонтальных поло-

жениях кривошипа, если длина кривошипа

г = 10 см,

расстояние

между

центрами вращения кривошипа

кулисы

а = 30 см,

длина

кулисы

/ = 60 см,

угловая скорость вращения кривошипа

4 сек'

const.

(См.

чертеж

задаче

23.24.)

Ответ:

При

ср

= 180° w

= 0;

при

<р

= 90° и

270°

= ^z22\

см/сек*.

23.26. Лопатка

АВ

турбины вращающейся против часовой стрел-

ки

замедленно

угловым ускорением, равным

3 сек~

имеет радиус

кривизны

20 см и

центр кривизны

точке

С,

причем

ОС —

10)^10

см.

Частица воды

Р,

отстоящая

от оси О

турбины

на

расстоянии

ОР

= 20 см,

движется

по

лопатке наружу

имеет

ско-

рость

25 см\сек и

касательное ускорение

см/сек

по

отношению

лопатке.

Определить абсолютное ускорение частицы

Р в тот

момент, когда

угловая скорость турбины равна

2 сек'

Ответ:

см/сек\

задаче 23

26.

задаче

23.27.

23.27

(476).

По

радиусу диска, вращающегося

вокруг

оси

OiO

угловой скоростью

со

= 2t сек'

, в

направлении

от

центра диска

его

ободу движется точка

М по

закону

0М = 4Р см.

Радиус

ОМ

составляет

осью OiO

угол

60°.

Определить величину абсолютного ускорения точки

М в

момент

= 1 сек.

Ответ:

35,56

см[сек*.

23.28 (477). Прямоугольник

ABCD

вращается вокруг стороны

угловой скоростью (в

= j сек'

const. Вдоль стороны

АВ дви-

жется точка

М по

закону $

aslny^

см.

Даны размеры:

DA —

СВ = а см.

Определить величину абсолютного ускорения точки

момент

вре-

мени

t = 1 сек.

Ответ:

\^2

см/сек\

175

23.29

(478). Квадрат

ABCD со

стороною

2а см

вращается вокруг

Стороны

АВ с

постоянной угловой скоростью

ш*=%\/

сек'

Вдоль

диагонали

АС

совершает гармониче-

ское колебание точка

М по

закону

К задаче 23.28.

К задаче 23.29.

= a cos

-~-1

см.

Определить величину абсолют-

ного ускорения точки

при £—1 сек

t — 2 сек.

Ответ:

i = ак

У5 см/сек

;

* =

0,44атс

см/сек

23.30. Слержень О

вращается

вокруг

оси z,

проходящей через

точку

О, с

угловым замедлением

сек~

Вдоль стержня

от

точки

скользит шайба

М.

Определить абсо-

лютное ускорение шайбы

момент, когда

она

находится

на

расстоя-

нии

60 см от

точки

О и

имеет скорость

ускорение

движении

вдоль стержня соотве!ственно

120 см/сек и 90 см/сек

если

этот

момент угловая скорость стержня

равна

5 сек~К

Ответ:

ге>

=1533

см/сек

составляет

направлением

МО

угол

в 23°.

23.31. Шайба

движется

по

горизонтальному стержню

ОА,

так

что ОМ =

0,Ы

см. В то же

время стержень вращается вокруг

вертикальной оси, проходящей

че-

рез точку

О, по

закону

= t

-\-t

Определить радиальную

транс-

версальную составляющие абсо-

лютной скорости

абсолютного ускорения шайбы

момент

t = 2 сек.

Ответ:

—2

см/сек,

г>

=10

см/сек; w

= ~ 49 см/сек

•a>

=24

см/сек

23.32. Круг радиуса

вращается

постоянной угловой скоростью

t» вокруг неподвижной точки

О,

лежащей

на его

окружности.

При

вращении круг пересекает неподвижную

горизонтальную прямую

—

ось

х, про-

ходящую через точку

О.

Найти

ско-

рость

ускорение точки

пересече-

ния

круга

осью

х в

движениях этой

точки

по

отношению

кругу

и по от-

ношению

к оси х.

Выразить искомые

задаче

32. величины через расстояние

0М=х.

Ответ:

По

отношению

прямой

Ох

точка

движется

со ско-

ростью

—

]/Чг

—X

ускорением —ш

лг.

По

отношению

кругу

176

К задачам 23.30

23.31.

точка движется

сторону, противоположную вращению круга,

с по-

стоянной

скоростью 2<ог

ускорением 4м

г.

23.33. Горизонтальная прямая

АВ

перемещается параллельно самой

себе

по

вертикали

постоянной скоростью

и и

пересекает

при

этом

неподвижный круг радиуса

г.

Найти скорость

ускорение точки

пересечения прямой

окружностью

движениях этой точки относи-

тельно круга

относительно прямой

АВ в

функции

от

угла

<р (см.

чертеж).

Ответ:

1) В

движении

по

окружности точка

имеет скорость

-Д-

касательное ускорение

—

?°д

нормальное ускорение

По

отношению

прямой

АВ

точка

движется

со

скоростью

os ?

ускорением

^—.

яп

9 г sin

ср

задаче 23.33.

23.34.

Полупрямая

ОА

вращается

плоскости чертежа вокруг

неподвижной точки

О с

постоянной угловой скоростью

ш.

Вдоль

ОА

перемещается точка

М. В

момент, когда полупрямая совпадала

осью

лг, точка

находилась

начале координат.

Определить движение точки

относительно полупрямой

ОА,

если известно,

что

абсолютная скорость

точки

постоянна

по

, величине.

Определить также абсолютную траекторию

абсолютное уско-

рение точки

М.

Ответ:

Точка

движется

по

А со

скоростью

=vcos<at.

Абсолютная траектория точки М—окружность,

ее

уравнение

полярных координатах r=—sin<p>

декартовых координатах

*-\-\У —

<г)

\2/

• Абсолютное ускорение точки

М да

23.35. Точка движется

постоянной скоростью

v по

радиусу

диска, вращающегося

постоянной угловой скоростью

вокруг

оси,

перпендикулярной

плоскости диска

проходящей через

его

центр.

Определить абсолютное ускорение точки

в тот

момент, когда

она

будет

находиться

на

расстоянии

т от

центра диска.

Ответ:

«>

]/7

4г>

23.36.

Шарик

движется

со

скоростью

120

см/сек

от А к В

по

хорде

АВ

диска, вращающегося вокруг

оси,

проходящей через

^его центр перпендикулярно

плоскости диска. Найти абсолютное

177

ускорение шарика, когда он находится на кратчайшем расстоянии от

центра диска, равном 30 см. В этот момент угловая скорость диска

равна 3

сек'

угловое замедление равно 8

сек~*.

Ответ:

=l0\8

см/сек*.

23.37. Решить предыдущую задачу в предпо-

ложении, что диск вращается вокруг диаметра,

параллельного хорде.

Ответ:

= 361,2

см]сек

23.38. Решить задачу

23.36

при условии, что

осью вращения диска является диаметр, перпенди-

кулярный к хорде.

Ответ:

= 720

см/сек*.

23.39. Корабль, находящийся на экваторе, идет

курсом северо-восток. Скорость движения корабля

равна 20 узлам. Найти абсолютную скорость и кориолисово ускоре-

ние

корабля с учетом вращения Земли, считая радиус Земли равным

R =

6378

км (

задаче

23.36.

(наименование

курса указывает, куда идет судно;

узел

= 1

морская

час

Ответ:

470,4

м/сек;

= 1,06

•

м)сек

23.40. В условиях предыдущей задачи найти абсолютное ускоре-

ние

корабля, считая его скорость постоян-

ной.

Ответ:

347,766

•

10~

м/сек*.

23.41. По ободу диска радиуса R, вра-

щающегося вокруг своего диаметра с по-

~Z>

стоянной угловой скоростью о), движется с

постоянной

по модулю скоростью V точка

М. Найти абсолютное ускорение точки М

как

функцию

угла

<р> составленного радиус-

вектором точки с осью вращения диска.

задаче 23.41.

Ответ:

= j/i£ +

*#*

sin

*<P

2toV

0 +

cos2

?)•

23.42. Диск радиуса R вращается с постоянной угловой ско-

ростью (о вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно

плоскости диска. По одному из диаметров диска движется точка М

так, что ее расстояние от центра диска меняется по закону

Найти

абсолютную траекторию, абсолютную скорость и абсолютное

ускорение точки М.

Ответ:

Если начальное положение точки М принять за начало

координат, а ось у направить по начальному положению диаметра,

по

которому движется точка М, то уравнение траектории

будет

178

(окружность половинного радиуса с центром на середине радиуса).

Абсолютная скорость v

taR.

Абсолютное ускорение w

—

2u>

23.43. Диск вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг

оси,

проходящей через его центр перпендикулярно к плоскости

диска. По

хорде

АВ из ее середины D движется точка М с постоян-

ной

относительной скоростью и. Хорда отстоит от центра диска на

расстоянии

с.

Найти

абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М

функции от расстояния DM=x.

Ответ:

]/"(о

-f (а + »с)

; w

= w

j/ш

+ (2а + ше)*.

задаче

23.42.

задаче

23.43.

задаче

23.44.

По подвижному

радиусу

диска от центра к ободу дви-

жется точка М с постоянной скоростью v

. Подвижный радиус пово-

рачивается в плоскости диска с постоянной угловой скоростью ш

Плоскость

диска вращается вокруг своего диаметра с постоянной

угловой скоростью щ.

Найти

абсолютную скорость точки М, считая, что при £ = 0

точка М находилась в центре диска, а подвижный радиус был направ-

лен по оси вращения диска.

Ответ:

= v

УI

(S + К

sin2

"ЧО-

23.45. Точка движется со скоростью 2

м/сек

по окружности

обода диска диаметром 4 м. Диск вращается в противоположном

направлении,

имея в данный момент

угловую

скорость 2 сек"

угловое ускорение 4

сек'

Определить абсолютное ускорение точки.

Ответ:

ге»

=8,24

м!,сек

и направлено под

углом

76° к

радиусу.

23.46.

Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоско-

сти диска и проходящей через его центр, по закону

®=—t

Вдоль радиуса диска начинает двигаться точка по закону

s =

4£

—lOt-j-8

(см). Расстояние s измеряется от центра диска.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки

момент времени t = 1 сек.

Ответ:

г»

= 4,47

см/сек;

= 0.

23.47

(479). Полое кольцо радиуса r-жестко соединено с валом АВ,

притом так, что ось вала расположена в плоскости оси кольца.

Кольцо

заполнено жидкостью, движущейся в нем в направлении

стрелки с постоянной относительной скоростью и. Вал АВ вращается

179

по

направлению движения стрелки часов, если смотреть

по оси вра-

щения

от Л к В.

Угловая скорость вала

<и

постоянна. Определить

величины

абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных

точках

1, 2, 3 я 4.

Ответ:

гг)

= гш

—

=3го>

-}-

—;

«е>

и>

—

fiwa

задаче 23.47.

задаче 23.48.

задаче 23.49.

23.48

(480).

По

условиям предыдущей задачи, измененным лишь

том

отношении,

что

плоскость

оси

кольца

будет

перпендикулярна

оси

вала

АВ,

определить

те же

величины

двух

случаях:

1) переносное

относительное движения одного направления;

2) составляющие движения противоположны

по

направлению.

Ответ:

ra>

— 2мш; w

Згш

+ —

гш

— у +

2мсо;

та>

шгг;

—

2сод;

2wu)

23.49

(481). Точка

равномерно движется

по

образующей

кру-

гового конуса

осью

ОА от

вершины

основанию

относительной

скоростью

v/,

угол

МО А —а. В

момент £

= 0

расстояние 0М<,=а.

Конус

равномерно вращается вокруг своей

оси с

угловой скоростью

и>.

Найти

абсолютное ускорение точки

М.

Ответ:

Ускорение лежит

плоскости, перпендикулярной

к оси

вращения,

представляет собой гипотенузу треугольника

катетами

= ш

(a -}- v

t) sin a и w

= 2tv« sin a.

23.50 (482). Определить

предыдущей задаче величину абсолют-

ного ускорения точки

М в

момент

t = 1 сек в том

случае, когда

она

движется

по

образующей конуса

постоянным относительным

ускорением

направленным

от

вершины конуса

основанию,

при

следующих данных:

a = 30°,

а=\5см,

= 10 см\сек

, ш=1

сек'*,

момент

t = 0

относительная скорость точки

равна нулю.

Ответ:

10=14,14

см/сек*.

180