Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

23.51 (483). Полагая в задаче

23.49,

что конус вращается вокруг

своей оси равноускоренно с угловым ускорением е, определить вели-

чину абсолютного ускорения w точки М в момент t = 2 сек при

следующих данных: а = 30°, а — 18 см, v

= 3

см/сек,

е = 0,5

сек~*,

момент £ = 0 угловая скорость со равна нулю.

Ответ:

w = 15

см/сек*.

23.52 (484). Река шириной 1 км течет с юга на север со ско-

ростью 5

км/час.

Определить кориолисово ускорение w

частиц

воды, находящихся на 60° северной широты. Определить затем,

у какого берега вода выше и насколько, если известно, что поверх-

ность

воды должна быть перпендику-

лярна

к направлению вектора, составлен-

ного из ускорения силы тяжести g и

вектора, равного и противоположного ко-

риолисову ускорению.

Ответ:

Кориолисово ускорение w

0,0175

см/сек*

и направлено к западу.

Вода выше у правого берега на 1,782 см.

23.53 (485). Магистраль южных железных дорог к северу от

"Мелитополя

идет прямо по меридиану. Тепловоз движется со ско-

ростью г) = 90

км/час

на север; широта места

<j>

= 47°. Найти корио-

лисово ускорение тепловоза.

Ответ:

0,266

см/сек*.

23.54 (486). По железнодорожному пути, проложенному по парал-

лели северной широты, движется тепловоз со скоростью xv = 20

м/сек

запада на восток. Найти кориолисово ускорение w

тепловоза.

Ответ:

ta>

0,291

см/сек*.

23.55. Определить кориолисово ускорение точек Mi, M% M

, Mt.

колеса электровоза, движущегося по меридиану, в момент пересече-

ния

экватора. Скорость центра колеса электровоза •г>

=144

км/час.

Ответ:

Для точек 7W

и М

= 0;

для точек М

и Mi w

= 0,581 см

/сек*.

задаче

23.52.

задаче 23 56.

23.56 (487). Река Нева течет с востока на запад по параллели 60°

северной

широты со скоростью tv = 4

км/час.

Определить сумму

проекций

на касательную ВС к соответствующему меридиану тех

181

составляющих ускорений частиц воды, которые зависят

от

скорости

течения.

Радиус Земли

/? = 64

м.

Ответ: w

c = 1396- 1(Г

см/сек\

23.57

(488). Река Нева

течет

востока

на

запад

по

параллели

60°

северной широты

со

скоростью

= 4

км/час.

Найти составляющие

абсолютного ускорения частицы воды. Радиус Земли

•

м.

Ответ: w

= 1692

•

1(Г

см/сек*; w

— 386

•

1(Г

см/сек*;

= 1616-КГ

см/сек*.

23.58

(489). Найти абсолютное ускорение шаров центробежного

регулятора

Уатта,

если

он

вращается вокруг своей вертикальной

оси,

имея

данный момент

угловую

скорость

IC/2

сек'

при

угловом

ускорении

s = 1

сек'

угловая скорость расхождения шаров

coj =

it/2 сек'

при

угловом ускорении

ei = 0,4

сек~*.

Длина рукояток

шаров

/ = 50 см,

расстояние

между

осями

их

привеса 2е=10

см,

угол

раствора регулятора

рассматриваемый момент

2а = 90°. Раз-

мерами шаров пренебречь, принимая шары

за

точки.

(См.

чертеж

задаче

22.14.)

Ответ: а; = 293,7 см/сек*.

23.59

(490). Найти абсолютное ускорение шаров центробежного

регулятора

Уатта,

если после изменения нагрузки машины регулятор

начал вращаться

угловой скоростью ш

—

сек'

причем шары

продолжают опускаться

данный момент

со

скоростью

= 100

см/сек

касательным ускорением

см/сек*.

Угол

раствора регулятора

2а

= 60°;

длина рукояток шаров

/=50 см;

расстоянием

2е

между

их

осями привеса можно

о,

пренебречь. Шары принять

за

точки.

(См.

чертеж

задаче

22.14.)

Ответ: w = 671 см/сек*.

23.60 (491). Воздушная трапеция

ABCD

совершает качания вокруг горизонтальной

оси

OiOi по

закону

<р

<ро

sin

iot. Гимнаст,

выполняющий

упражнение

на

перекладине

АВ,

вращается вокруг

нее с

относительной угло-

задаче

60.

вой

скоростью (в

const;

по

условию дано:

= AD = l.

Определить абсолютное уско-

рение

точки

М на

подошве гимнаста, отстоящей

от

перекладины

АВ

на

расстоянии

а в

момент

t =

n/u>

сек.

В начальный момент гимнаст

был

расположен вертикально, голо-

вой

вверх; трапеция

ABCD

также занимала вертикальное нижнее

положение.

Ответ:

[cpg

{I — я)

—я(2<Ро-Ь

*)]

направлено верти-

кально

вверх, если выражение

скобках положительно.

23.61. Точка движется

по

радиусу

диска согласно уравнению

Tz=ae

где a, k —

постоянные величины. Диск вращается вокруг

оси,

перпендикулярной

к его

плоскости

проходящей через центр,

согласно уравнению

<р

= kt.

Определить абсолютную скорость, абсо-

лютное ускорение, касательное

нормальное ускорения точки.

182

Ответ:

v = ake

V2;

23.62.

Точка М движется по поверхности Земли; курс движения k

(угол

между

направлением на север и скоростью v точки относи-

тельно Земли), широта места в данный момент равна ср. Определить

восточную w

, северную w

и вертикальную w

составляющие

кориолисова ускорения точки.

Ответ:

= —2г>со cos k sin cp; w

2гчо

sin k sin cp;

z =

—2va

sin k cos ер, где со — угловая скорость вращения Земли.

23.63. В условиях предыдущей задачи определить величину и

направление горизонтальной составляющей кориолисова ускорения

точки М.

Ответ:

cli

2va>

sin tp; горизонтальная составляющая перпенди-

кулярна к скорости v точки М относительно Земли и направлена

влево от нее в северном полушарии и вправо в южном полушарии.

23.64.

Высота точки М над поверхностью Земли равна h, широта

места ф. Определить восточную w

, северную w

и вертикальную w

составляющие переносного ускорения точки, обусловленного враще-

нием

Земли (R — ее радиус, ю —угловая скорость).

Ответ:

=0;

—(R + h) ш

sin

coscp;

= — (R + h) w

cos

ф.

23.65. Восточная, северная и вертикальная проекции скорости

точки М относительно Земли соответственно равны VE, V^ И v

Определить проекции относительного ускорения точки на координат-

ные оси х, у, z (ось х направлена на восток, ось у —на север,

ось z — по вертикали), если высота ее над поверхностью Земли

данный момент равна А, а широта места ф (R и со — радиус и угло-

вая скорость Земли).

Ответ:

= v

—щ^tg

+ -;

23.66.

В условиях предыдущей задачи определить составляющие

абсолютного ускорения точки М, движущейся вблизи Земли.

Ответ:

--^~tg(p

+ -~j

-2

sin<p-v

cosф)со;

(R + h) со

sin ф cos ф -f-

sin ф;

p-\-l>\i

ГЛАВА

VIII

СЛОЖНОЕ

ДВИЖЕНИЕ

ТВЕРДОГО

ТЕЛА

24. Сложение плоских движений тела

24.1 (580). Кривошип III соединяет оси О

и О

двух

зубчатых

колес / и //, причем зацепление может быть или внешнее, или внут-

реннее,

как указано на чертеже; колесо / остается неподвижным, а

кривошип

111 вращается вокруг оси О

с угловой скоростью с%

задаче 24.1.

Зная

радиусы колес т

и г

, вычислить для колеса II его абсо-

лютную

угловую

скорость

и>ч

и его относительную

угловую

скорость

по отношению к кривошипу.

Ответ:

Внешнее зацепление:

Внутреннее

зацепление:

г,

— г»

•

Знак

минус указывает на то, что соответствующие тела враща-

ются в противоположные стороны.

24.2 (581). Найти относительную и абсолютную угловые скоро-

сти зубчатого колеса // радиуса г, катящегося по неподвижному

зубчатому колесу / с тем же радиусом и приводящегося в движе-

184

ние

кривошипом III, вращающимся вокруг оси неподвижного колеса

О с угловой скоростью (о

; движение кривошипа ОА принять за

переносное.

Ответ:

(0о<»

о)

(о

= 2соп.

задаче 24.2.

24.3 (582). Зацепление, приводящее в быстрое вращение точиль-

ный

камень, устроено следующим образом: стержень IV посредством

особой ручки приводится во вращение вокруг оси О

с угловой

скоростью ю

; на конце стержня О

находится палец, на который

свободно надето колесо // радиуса г

. При вращении ручки палец

заставляет колесо // катиться без скольжения по наружному непо-

движному

кругу

III радиуса г

. При этом, благодаря трению, колесо

вращает без скольжения колесо / радиуса г

свободно насажен-

ное

на ось Ох и неизменно связанное с осью точила.

По

данному радиусу г

наружной неподвижной обоймы найти

такое значение г

чтобы было

со

/©

=12,

т. е. чтобы точило вра-

щалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.

Ответ:

= ут г

24.4 (583). Найти число оборотов в минуту шестерни с числом

зубцов z

= 25, если кривошип ОА вращается вокруг оси О непо-

движной шестерни (с числом зубцов z

= 6O) с угловой скоростью,

соответствующей я

= 30

об/мин,

и несет на себе ось двойной ше«

стерни с числами зубцов z

= 40, z

= 50.

Ответ:

—п

[1——

| = — 60

об/мин

(в отношении знака ми-

нус см. ответ к задаче 24.1).

=5ff

задаче 24.4.

задаче 24.5.

24.6 (584). В эпициклическом механизме, применяемом в конных

приводах молотилок, водило ОА и колесо / радиуса т

насажены

185

на

вал О свободно; ось О{ колеса // укреплена на водиле, а колесо

///

радиуса г

может свободно вращаться вокруг оси О.

Определить

угловую

скорость ш^ колеса /, если водилу ОА со-

общена угловая скорость о>

, а колесу /// от

другого

двигателя (тоже

конного)

сообщена угловая скорость о>

противоположного направ-

ления.

Ответ:

24.6 (585). Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес.

Первое колесо (число зубцов z

= 20) насажено на ведущий'вал /,

делающий л

4500

об/'мин,

второе (2

= 25) свободно насажено

на

ось, жестко связанную с ведомым валом //, третье колесо (z

=70)

с внутренним зацеплением неподвижно.

Найти

число оборотов в минуту ведомого вала и бегающего

колеса.

Ответ:

Я//=1000

об/мин;

Ла=—

1800

об/мин.

г 3-

•г _

з-

•г

•^—V/

К задаче 24.6. К задаче 24.7.

К задаче 24.8.

24.7 (586). Ведущий вал / редуктора делает п

= 1200

об/мин.

Найти

число оборотов в минуту ведомого вала //, если непод-

вижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет 2^ = 180 зуб-

цов,

бегающие шестеренки, спаренные между* собой, имеют г

= 60

= 40 зубцов, шестеренка, закрепленная на ведомом валу, имеет

—80 зубцов.

Ответ:

я//=3000

об/мин.

24.8 (587). Редуктор скоростей состоит из неподвижной шесте-

ренки

радиуса ^=40 см,

двух

бегающих шестеренок радиусов

=20 см и г

= 30 см, спаренных между собой, и шестеренки с

внутренним зацеплением радиуса г

=90 см, сидящей на ведомом

валу. Ведущий вал и кривошип, несущий оси бегающих шестеренок,

делают я/=1800

об/мин.

№

Найти

число оборотов

минуту ведомого вала.

Ответ:

3000

об/мин.

24.9. Редуктор скоростей

планетарной передачей состоит

из

неподвижного солнечного колеса

жестко связанного

валом

рамки,

свободно вращающейся вокруг осей

/ и // с

угловой

ско-

ростью

двух

шестеренок

2 и 3,

жестко связанных между собой

свободно насаженных

на ось EF,

вращающуюся вместе

рамкой,

ведомой шестерни

жестко связанной

валом

//.

Определить отношение угловой скорости вала

// к

угловой

ско-

рости рамки, если шестеренки имеют следующее число зубцов:

Ответ:

—

••

2500•

V////S

—

!_!

•/

—

Х/ША

задаче

24.9.

задаче

24 10.

24.10

(588). Найти

угловую

скорость

со//

ведомого вала редук-

тора

дифференциальной передачей, если ведущий

вал с

кривоши-

пом,

несущим

на

себе передаточные шестеренки, спаренные между

собой,

вращается

угловой скоростью

со/=120

сек'

. Колесо

вращается

угловой скоростью со! =180

сек'

имеет число зубцов

80;

бегающие

колеса имеют числа зубцов: z

=20,

,г

40,

колесо, сидящее

на

ведомом

ралу, имеет

= 60

зубцов. Колесо

ведущий

вал

вращаются

одном

направлении.

Ответ:

со

280

сек'

24.11 (589). Редуктор скоростей

дифференциальной

передачей состоит

из

четырех зубчатых колес,

из

кото-

рых первое

—с

внутренним зацепле-

нием—

Делает

160

Об/'MUH

имеет

задаче

24 П.

= 70

зубцов; второе

третье

спа-

рены

между собой

сидят

на

оси,

вращающейся вокруг

оси

веду-

щего вала

вместе

последним, делая «/=1200

об/мин;

числа

187

г~

зубцов: г

= 20, 2г

= 30; четвертое—с внутренним зацеплением — имеет

=80 зубцов и заклинено на ведомом

валу.

Найти

число оборотов в минуту ведомого вала, если вал / и

колесо / вращаются в противоположных направлениях.

Ответ:

— Ь85

об/мин.

24.12 (590). Редуктор скоростей имеет неподвижную шестеренку /,

спаренные

между

собой подвижные шестеренки 2 а 3 с внутрен-

ним

зацеплением и шестерню 4, заклинен-

ную на ведомом

валу.

Найти

число оборотов в минуту ведо-

мого вала, если числа зубцов равны 21=30,

= 80, z

= 70, 2

= 20; ведущий вал

вращается с угловой скоростью, соответ-

ствующей и/=1200

об/мин.

Ответ:

пц

=—375

об/мин.

24.13 (591). В блоке системы «Три-

плекс» на валу а — а жестко насажен

цепной

блок А; на тот же Бал свободно

насажена втулка Ъ с подъемной цепью и

грузом,

наглухо

соединенная с рукояткой В.

На

каждый палец рукоятки свободно насажены две шестерни // и

///, спаренные

между

собой, шестерни // сцеплены с шестерней /,

заклиненной

на валу а — а, шестеренки /// сцеплены с неподвижным

зубчатым колесом IV.

Определить отношение

угловых

скоростей вращения вала а — а

втулки Ь, если числа зубцов колес /, //, /// и IV соответственно

равны:

—\2,

= 28, z

= 14, z

= 54*

Ответ:

-^-=10.

улу. /\

з-

-//

задаче

24.12.

•В

•а

•R

задаче 24 13.

24.14 (592). В цилиндрическом дифференциале зубчатое колесо

радиуса R свободно насажено на вал /—/и несет на себе шестер-

ни

радиусов г

и г

, спаренные

друг

с другом. Колесо R приводится

движение шестеренкой радиуса г

. Шестеренки радиусов г

и г

188

зацепляются с шестеренками радиусов г

и г

, заклиненными соот-

ветственно на валах / — / и //, из которых последний выполнен в

виде втулки.

Найти

угловую

скорость вала //, если известны угловые скоро-

сти вращения п

и п

валов /—/ и О —О, причем эти валы вра-

щаются в одну сторону.

Ответ:

Л2

(

24.15 (593). В планетарном приводе картофелекопателя централь-

ная

шестеренка а, совершающая поступательное прямолинейное рав-

номерное движение вместе со своей осью, соединена при помощи

паразитных шестеренок b с подвижными шестеренками с, к втулкам

которых прикреплены крылья d; оси шестеренок Ъ и с насажены

на

водило S, вращающееся вокруг оси центральной шестеренки а

с угловой скоростью ео

Определить абсолютную

угловую

скорость шестеренок, а также

характер движения крыльев, если радиусы всех шестеренок одинаковы.

Ответ:

а>

= 0; крылья Со-

вершают поступательное цикло-

идальное движение вместе с

центрами шестеренок с.

задаче

24.16.

24.16 (594). Кривошип О А с противовесом В вращается с угло-

вой скоростью (в

= const вокруг оси О неподвижной шестеренки

несет на конце А ось другой шестеренки того же размера, соеди-

ненной

с цепью.

Определить

угловую

скорость и угловое ускорение подвижной

шестеренки, а также скорость и ускорение произвольной ее точки

М, если длина кривошипа ОА = 1.

Ответ:

= 0, е=0 —шестеренка совершает круговое поступа-

тельное движение вместе с центром A;

= l&, w

— w

= l(al.

' 24.17 (595). В эпициклической передаче ведущая шестерня ради-

уса R вращается против часовой стрелки с угловой скоростью <о

угловым ускорением е

, кривошип длиной 3R вращается вокруг

- 189

ее оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью и тем же

угловым ускорением.

Найти

скорость и ускорение точки М ведомой шестерни ради-

уса R, лежащей на конце диаметра, перпендикулярного в данный

момент к кривошипу.

Ш0У

Ответ:

у —

R V10 (eg +

О—

12«Jet.

задаче

24.17.

25.

Сложение

пространственных

движений

тела

25.1 (611). Даны два кониче-

ских

зубчатых

колеса, оси которых

неподвижны,

а соответственные

углы

равны аир. Первое колесо вращается с угловой скоростью <«,.

Определить

угловую

скорость со

второго колеса и вычислить

ее в том случае, когда а = 30°, |3 = 60°, щ = \0

об/мин.

sin-S-

Ответ:

= w

— = 5,16

об/мин.

sin-—

25.2 (612). Карусель представляет

круглую

площадку АВ, кото-

рая

вращается вокруг оси ОС, проходящей через ее центр D, делая

об/мин,

а ось ОС вращается в том же направлении вокруг верти-

кали

ОЕ и делает 10

об/мин.

Угол

между

осями а = 20°, диаме1р

площадки

АВ равен 10 м, расстояние OD равно 2 м.

задаче

задаче 25 2.

Определить скорость v точки В в тот момент» когда она зани-

мает самое низкое положение.

Ответ:

г» = 8,77 м/сек.

25.3 (613). Шаровая дробилка состоит из полого шара // (в ко-

тором находятся шары и вещество, подвергающееся дроблению),

сидящего на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое

колесо Е радиуса г. Ось CD сидит в подшипниках в раме /, состав-

ляющей одно целое с осью АВ и приводящейся во вращение при

190