Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

помощи

рукоятки О. Колесо Е сцепляется с неподвижным колесом

F радиуса R.

Определить абсолютную.

угловую

скорость шаровой дробилки,

если рукоятка вращается с угловой скоростью ©

; угол между осями

АВ и CD равен ct. Определить также _

абсолютное угловое ускорение шаровой / ^\^ ^^

дробилки,

если угловая скорость ру- /^*~^ч5адЧ '

°Ттв?тТ

nSt

teJlLJfflltmfi*

—

U)Q

— sin a.

25.4 (614).

Для

растирания

руды

применяются бегуны

виде чугунных

колес

со

стальными ободьями, катя-

щимися

по дну

конической чаши.

Бе-

гуны вращаются вокруг горизонталь-

ной

оси АОВ,

которая

свою очередь

вращается вокруг вертикальной

оси ОО

составляющей

осью

АОВ

одно целое.

Найти

абсолютные скорости точек

обода бегуна, принимая,

что

мгно-

венная

ось

вращения бегуна проходит

через середину

линии касания обода

бегуна

дном чаши. Скорость вращения

вокруг вертикальной

оси ©

= 1 сек~\

ширина

бегуна

й = 50 см.

Средний

радиус бегуна

R — 1 м,

средний радиус

вращения

г = 60 см, tg a = 0,2.

Ответ:

г>л

г>£

= 28 см\сек.

25.5 (615). Дифференциальная пере-

дача состоит

из двух

дисков

АВ и DE,

центры которых находятся

на их

общей

оси вращения;

эти

диски сжимают

ко-

лесо

MN, ось

которого

перпенди-

кулярна

к оси

дисков.

Определить

для

колеса

MN ско-

рость

центра

Н и угловую

скорость

вращения вокруг

оси HI,

если скорости

точек касания колеса

дисками равны:

радиус колеса

r — Ь см.

РЯ

задаче

25.3.

задаче

25.4.

задаче

25 5.

3 м/сек, г»

= 4 м/сек,

сек

Ответ:

г»

= 0,5

м/сек;

25.6 (616). Сохранив условия предыдущей задачи

зная длину

м>

оп

елить

абсолютную

угловую

скорость

абсолютное

угловое ускорение колеса

MN.

Ответ:

ю =

|/4949

сек'

; 8 = 490 сек'

191

25.7 (617). Волчок А вращается относительно оси ОВ с посто-

янной

угловой скоростью ©х сек'

. Ось ОВ описывает равномерно

конус. За 1 мин вершина волчка Сделает я оборотов.

Угол

BOS — a.

Найти

угловую

скорость со и угловое ускорение 8 волчка.

Ответ:

о>= 1/ Wi + f-go) +

«igQCOsa; e = % -^sina.

25.8 (618). Круглый диск вращается с угловой скоростью щ

вокруг горизонтальной оси CD; одновременно ось CD вращается

вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через центр О диска, с

угловой скоростью со

ft/.

К задаче 25.7.

К задаче 25.8.

К задаче 25.9.

Вычислить величину и направление мгновенной угловЪй скорости ю

мгновенного углового ускорения е диска, если щ = 5 сек'

щ = 3

сек'

Ответ:

и = 5,82 сек'

и составляет углы a =

30°41

и р =

59°19'

с положительными направлениями осей х иг; е=15 сек'

и на-

правлено по оси у.

25.9 (619). Диск радиуса R вращается с постоянной угловой

скоростью со

вокруг горизонтальной оси

OjOi,

которая в свою оче-

редь вращается с постоянной угловой скоростью со

вокруг вертикальной оси.

Найти

скорости и ускорения точек А и В, ле-

жащих на концах вертикального диаметра диска.

Ответ:

= vn = Ra/,

=Wa = Rb

25.10 (620). Квадратная рама вращается вокруг

оси АВ, делая 2

об/мин.

Вокруг оси ВС, совпадаю-

задаче 25.Ю. щей с диагональю рамы, вращается диск, делая

об/мин.

Определить абсолютную

угловую

скорость и угловое ускорение

диска.

Ответ:

ю = 0,39 сек'

; 8 = 0,031 сек'

25.11 (621). Ось мельничного бегуна О А вращается равномерно

вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью Q. Длина оси

OA = R, радиус бегуна АС = Г.

192

Считая, что в данный момент точка С "бегуна имеет скорость,

равную нулю, определить

угловую

скорость бегуна ш, направление

мгновенной оси, подвижный и неподвижный аксоиды.

Ответ:

w =

2; мгновенная ось — прямая ОС; аксо-

иды — конусы с вершиной в точке О, подвижный — с углом z'OC

при

вершине, равным arctg „-, неподвижный — с углом zOC, равным

Г)

«- arctg f.

/к

задаче 25.11.

задаче 25.12.

25.12 (622). Дифференциальная передача состоит из конического

зубчатого колеса 111 (сателлита), насаженного свободно на кривошип

IV, который может вращаться вокруг неподвижной оси CD. Сател-

лит соединен с коническими зубчатыми колесами / и //, вращающи-

мися

вокруг той же оси CD с угловыми скоростями ш

= 5 сек'

о)

= 3 сек'

, причем вращения происходят в одну сторону. Радиус са-

теллита г = 2 см, а радиусы колес 1 и II одинаковы и равны R — 7 см.

Определить

угловую

скорость ш

кривошипа IV,

угловую

ско-

рость ш

4 сателлита по отношению к кривошипу и скорость точки А.

Ответ:

= 28

см/сек;

и>

4сек'

;

25.13 (623). В дифференциальном

механизме, рассмотренном в предыду-

щей задаче, конические зубчатые ко-

леса I и 11 вращаются в разные стороны

с угловыми скоростями u>i = 7 сек'

= 3

сек'

Определить

, а>

и u>

если

= 5 см, г = 2,5 см.

Ответ:

= 10

см/сек;

= 2 сек'

;

10 сек'

25.14 (624). При движении авто- .-'

мобиля по закругленному пути внешние

колеса автомобиля, проходя больший

путь, должны вращаться быстрее внутренних колес, проходящих

меньший путь. Во избежание поломки задней ведущей оси автомобиля

применяется зубчатая передача, называемая дифференциальной и имею-

щая

следующее устройство.

7 И. В. Мещерский 193

э-адаче 25.14.

Задняя

ось, несущая два колеса, делается из

двух

отдельных

частей / и //, на концах которых

наглухо

насажены два одинако-

вых

зубчатых

колеса А и В. На этих частях вала в подшипниках

вращается коробка С с коническим колесом D,

наглухо

с ней сое-

диненным.

Коробка получает вращение от главного (продольного)

вала, приводимого в движение мотором, через посредство

зубчат-

ки

Е.

Вращение коробки С передается зубчатым колесам А к В при

помощи

двух

конических шестеренок F (сателлитов), свободно вра-

щающихся вокруг осей, укрепленных в коробке перпендикулярно к

задней оси /—// автомобиля.

Найти

угловые скорости задних колес автомобиля в зависимости

от угловой скорости вращения коробки С и

угловую

скорость со

сателлитов по отношению к коробке, если автомобиль движется со

скоростью v = 36

км/час

по закруглению среднего радиуса р = 5 м\

радиусы колес задней оси /? = 0,5 м; расстояние

между

ними/=2лг.

Радиусы

зубчатых

колес А и В

Ш . т-

вдвое больше радиусов сателлитов:

Ответ: о>

= 24

сект

;

со

сек~

;

= 8

сект

25.15 (625). При применении диф-

ференниального зацепления для по-

•х

у -г

ЧИ.

г. лучения назначенного отношения

- ^ у

V чисел оборотов осей АВ и MN

задаче 25.15. К

КОНИЧеСКИМ

КОЛеСЛМ

/ И // Диф-

ференциального зацепления присо-

единяют

наглухо

цилиндрические зубчатые колеса /' и IV', которые

сцепляются с шестеренкамя IV и V, насаженными

наглухо

на ось АВ.

Найти

соотношение

между

угловыми скоростями ©

и со валов

АВ и MN, если радиусы колес 1 н 11 одинаковы, числа зубцов

колес 1', 1Г, IV и V соответственно равны т, п, х, у-

Ответ:

— = тН г — •

25.16 (626). В дифференциальной передаче, рассмотренной в пре-

дыдущей задаче,

между

зубчатыми колесами 1' и IV введено паразит-

ное колесо с неподвижной осью вращения.

Требуется найти соотношение

между

угловыми скоростями щ и

со валов АВ и MN, сохраняя все остальные условия задачи.

г* со 1 / к у

Ответ:

— = -^- — — —

25.17 (627). Дифференциальная передача," соединяющая обе по-

ловины задней оси автомобиля, состоит из

двух

шестеренок с оди-

наковыми

радиусами R =

см, насаженных на полуоси, вращающиеся

при

движении автомобиля на повороте с разными, но постоянными

по

величине угловыми скоростями coi = 6 сек'

и ©

= 4 сек~

оди-

накового направления. Между шестеренками зажат бегущий сателлит

радиуса

г==3

см, свободно насаженный на ось. Ось сателлита

194

жестко заделана в кожухе и может вращаться вместе с ним вокруг

задней оси автомобиля.

Найти

относительно корпуса автомобиля ускорения четырех

точек Mi, M

> М

и М

'сателлита, лежащих на концах

двух

диамет-

ров,

как показано на чертеже.

Ответ:

•йг>

= 210,4

см{сек\

= 90,8

см{сек

= w

173,4

см/сек

м.

задаче

25.17.

25.18 (628). В дифференциале зуборезного станка ускорительное

колесо 4 сидит на

ведущем валу а свободно, вместе со скреплен-

ным

с ним жестко колесом 1. На конце ведущего вала а сидит

головка, несущая ось СС сателлитов 2—2.

Определить

угловую

скорость ведомого ва- ^Ik

ла b с наглухо заклиненным колесом 3 в

пяти

случаях:

1) Угловая скорость ведущего вала w

угловая скорость ускорительного колеса

2) Угловая скорость ведущего вала

да

ускорительное колесо вращается

в ту же

сторону,

что и

ведущий

вал, с

угловой

ско-

ростью

о)

3) Ускорительное колесо

ведущий

вал

вращаются

одну

и ту же

сторону

с рав-

ными

УГЛОВЫМИ СКОРОСТЯМИ

(В

4) Ускорительное колесо

ведущий

вал

вращаются

одну

и ту же

сторону, причем

*==*

задаче 25.18.

5) Угловая скорость ведущего вала

«>

ускорительное колесо

вращается

противоположную сторону

угловой скоростью

Ответ:

1) ш

= 2«)

; 2) ш

2а>

— ш

;

о>

;

со

О;

5) щ =

2u>

-f ш

25.19 (629).

дифференциале зуборезного станка, описанном

предыдущей задаче, угловая ^скорость ведущего вала

= 60

об/мин.

* 195

Определить, какова должна быть угловая скорость ускоритель-

ного колеса, чтобы ведомый

вал был

неподвижен.

Ответ:

и>

= 120

об/мин.

25.20

(630).

дифференциале зуборезного станка ускорительное

колесо

несет

на

себе

ось

сателлитов. Угловая скорость ведущего

Бала

Определить

угловую

скорость

ведомого вала

следующих

трех

слу-

чаях:

1) Ускорительное колесо

4 вра-

щается

сторону ведущего вала

с уг-

ловой скоростью ш

То же, но

вращения ведущего

вала

ускорительного колеса противо-

положны

по

направлению.

3) Ускорительное колесо

и ось са-

теллитов неподвижны.

Ответ:

и)

=ш

;

= —

Зсо

;

3) U)

= — Ш

задаче 25.20.

25.21

(631).

СТЭНОЧНОМ диффе-

ренциале

коническое колесо

закли-

нено

на

ведущем валу

а, на

конце ведомого вала

сидит головка,

несущая

ось СС

сателлитов

2—2. На том же

валу свободно сидит

ко-

ническое

колесо

составляющее одно целое

червячным колесом

Определить передаточное число при неподвижном червяке

5, а сле-

довательно,

колесах

4 и 3,

если

все конические колеса одного

ра-

диуса.

Ответ:

^ = 0,5.

задаче

21.

[

задаче

25.22.

25.22

(632). Двойной дифференциал состоит

из

кривошипа

///,

который

может вращаться вокруг неподвижной

оси аЪ. На

кривошип

свободно насажен сателлит

IV,

состоящий

из

двух

наглухо

скреплен-

ных

между

собой конических

зубчатых

колес радиусов

ri = 5\cw

= 2 см.

Колеса

эти

соединены

двумя коническими зубчатыми

колесами

/ и //

радиусов

/?j = lO см и R%—5 см,

вращающимися

вокруг

оси ab, но с

кривошипом

не

связанными. Угловые скорости

196

задаче 25.24.

перпендикулярна.

колес / и II соответственно равны:

со£

= 4,5 сек'

и ш

= 9 сек'

Определить

угловую

скорость кривошипа со

угловую

скорость са-

теллита по отношению к кривошипу u>

, если оба колеса вращаются

одну и ту же сторону.

Ответ:

= 7 сек'

; ш

= 5 сек'

25.23 (633). Решить предыдущую задачу, предполагая, что зубча-

тые колеса / и // вращаются в противоположные стороны.

Ответ:

= 3 сек'

; ш

= 15 сек'

25.24 (634). Крестовина

ABCD

универсального шарнира Кар-

дана — Гука {АВ J_ CD), употребляемого при передаче вращения между

пересекающимися осями, вращается

вокруг неподвижной точки Е.

Найти

отношение wi/u>

для ва-

лов, связанных крестовиной, в

двух

случаях:

1) когда плоскость вилки ABF

горизонтальна, а плоскость вилки

CDQ вертикальна;

2) когда плоскость вилки ABF

вертикальна, а плоскость вилки CDQ ей

Угол

между осями валов постоянный: а = 60°.

Ответ:

/to

l/cosa = 2; 2) ш

/ш

= cos a = 0,5.

25.25

(635). Шаровая дробилка состоит из полого шара диамет-

ром d =10 см, сидящего на оси АВ, на которой заклинено колесо

е числом зубцов z

= 28. Ось

АВ закреплена во вращающей-

ся

раме / в подшипниках а

Ь. Рама / составляет одно

целое с осью CD, приводящей-

ся

во вращение при помощи

рукоятки Я/. Вращение шаровой

дробилки вокруг оси АВ осу-

ществляется при помощи зуб-

чатых колес с числами зубцов

2! = 80, z

= 43, 2з = 28, при-

чем первое из них неподвижно.

Определить абсолютную уг-

ловую скорость, угловое уско-

рение дробилки и скорости и ускорения

двух

точек Е и F, лежащих

рассматриваемый момент времени на оси CD, если рукоятку вра-

щают с посюянной угловой скоростью to = 4,3 сек'

Ответ:

с«

= 9,08 сек'

; е = 34,4 сек'

; v

— v

= 40

см/сек;

= w

=468» смI сек

25.26 (636). Поворотная часть моста поставлена на катки в виде

конических зубчатых колес К, оси которых закреплены в кольцевой

раме L наклонно, так что их продолжения пересекаются в геометри-

ческом центре плоской опорной шестерни, по которой перекатываются

опорные зубчатые колеса К.

задаче 25.25.

197

Найти

угловую

скорость и угловое ускорение конического катка,

скорости и ускорения точек А, В, С (Л —центр конического зубча-

того колеса ВАС), если радиус основания катка г = 25 см,

угол

при

вершине 2а, причем cos а = 84/85. Угловая скорость вращения коль-

цевой рамы вокруг вертикальной оси ш

= const = 0,1 сек'

Ответ:

« =

0,646

сек'

; £ =

0,0646

сек'*; v

= 15,92

см/сек,

= 31,84

см/сек,

г/

= 0; w

= 1,595

см/сек

= 11

см/сек\

= 10,54

см/сек

К. задаче 25 26

задаче 25 27.

25.27. Тело движется в пространстве, причем вектор угловой ско-

рости тела равен ю и направлен в данный момент по оси г. Ско-

рость точки О тела равна Ф

И образует с осями у, z одинаковые

углы, равные 45°. Найти точку твердого тела, скорость которой бу-

дет наименьшей, и определить величину этой скорости.

Ответ:

= i>ocos 45°. Такова скорость точек мгновенной винто-

вой оси, параллельной оси z, проходящей через точку с координатами

х=

—

cos

4У

у = 0

25.28. Тело А вращается с угловой скоростью Oj вокруг оси у

\г

со.

К задаче 25.28.

К задаче 25.29.

, образующей

угол

а с осью у.

При

каком соотношении Vi/v^ движение тела А по отношению к телу В

198

будет

чистым вращением? Где при этом

будет

лежать ось вра-

щения?

Ответ: При т^/г^

cos а относительное движение тела А по от-

ношению

к телу В

будет

чистым вращением вокруг оси, параллель-

ной

у и отстоящей от нее на расстоянии

Vi sin

отложенном по перпендикуляру, восставленному к оси у и состав-

ляющей поступательной скорости v

sin a.

25.29. Твердое тело, имеющее форму куба со стороной а = 2 м,

участвует одновременно в четырех вращениях с угловыми скоро-

стями

(Oj = щ = 6 сек-

, со

Из

= 4 сек*

Определить результирующее движение тела.

Ответ: Тело движется поступательно со скоростью

<о,

проекции

которой

равны

1),*

=—12

см/сек,

1^=12

cMJceK,

— —8

см[сек.

ОТДЕЛ

ТРЕТИЙ

ДИНАМИКА

ГЛАВА

ДИНАМИКА

МАТЕРИАЛЬНОЙ

ТОЧКИ

26.

Определение

сил по

заданному

движению

26.1 (637). В шахте опускается равноускоренно лифт весом 280 кГ;

первые 10 сек он проходит 35 м.

Найти

натяжение каната, на котором висит лифт.

Ответ:

260 кГ.

26.2 (638). Горизонтальная платформа, на которой лежит груз

весом 10 и, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/сек*.

Найти

давление, производимое грузом на платформу во время

их совместного спуска.

Ответ:

5,92 н.

26.3 (639). К телу весом Р = 3 и, лежащему на столе, привязали

нить,

другой конец которой держат в руке.

Какое

ускорение надо сообщить руке, поднимая тело вверх по

вертикали,

чтобы нить оборвалась,

если она рвется при натяжении

= 4,2 я?

Ответ:

w = 3,92 м/сек

26.4 (640). При подъеме клетки

лифта

график скоростей имеет вид,

изображенный

на чертеже. Вес клег-

ки

равен 480 кГ.

Определить натяжения Т

7*з каната, к которому привешена

клетка, в течение трех промежутков времени: 1) от ^ = 0 до t = 2 сек,

2) от t = 2 сек до t = 8 сек и 3) от t = 8 сек до ^=10 сек.

Ответ:

Г, =

602,4

кГ; 7"

= 480кГ; Г

357,6

кГ.

26.5 (641). Камень весом 3 я, привязанный к нити длиной 1 м,

описывает окружность в вертикальной плоскости.

Определить наименьшую

угловую

скорость ш

камня,

при которой

произойдет разрыв нити, если сопротивление ее разрыву равно 9 «.

Ответ:

<о

= 4,44 сек'

26.6 (642). На криволинейных участках железнодорожного пути

возвышают наружный рельс над внутренним для того, чтобы давле-

i.JL^___^

L—\—L

10 сен

задаче 26 4.