Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

48.64

(1236). Изображенная

на

чертеже

система отвечает принци-

пиальной

схеме

электромагнитного датчика, используемого

для

записи

механических колебаний. Масса якоря

М,

жесткость пружин

с.

Коэффициент самоин-

дукции катушки изменяется вследствие

из-

менения

длины воздушного зазора

магнито-

проводе

L — L (х) (х —

вертикальное смеще-

ние

якоря

из

положения, когда пружины

не

напряжены).

катушке присоединена элек-

трическая цепь, состоящая

из

элемента

с за-

задаче 48

данной

э. д. с. Е.

Омическое сопротивление

цепи

равно

Составить уравнения движения системы

определить

ее положение равновесия.

Указание.

За

обобщенные координаты принять смещение

якоря

заряд

соответствующий току

i в

цепи

lj = -

Ответ:

Уравнения движения:

В «положении равновесия»

х — х

и i=q~ = i

, где /

= -g-

48.55

(1237). Составить уравнения малых движений вблизи поло-

жения

равновесия электромагнитного датчика, описанного

предыду-

щей задаче.

Указание.

За

обобщенные координаты взять изменение заряда

е и

вертикальное перемещение якоря

из

положения равновесия

£.

Функцию

(к)

разложить

в ряд

-|-g)=L

+ ... и

ограничиться

этом

ряду

первыми

двумя

членами.

Ответ:

48.56

(1238). Основание датчика, описанного

задаче

48.54,

со-

вершает малые вертикальные колебания

по

закону

£ = £

sinarf.

Опре-

делить закон движения якоря

и ток в

электрической цепи датчика.

Ответ:

i=-^f-

{R(c

— Mo

)

cos at +

•f [L^co

-f

(o (c

Л!о>

)]

sin to*},

M|a>3

Lo(O

+ {R

ц^

M(D

}]

sin

где

A = R

(c -

Ж©

)

со

[L\i\

+ L

(c - Mw

)f.

48.57

(1239). Электромеханическая движущая система состоит

из

цилиндрического постоянного магнита

концентрическими полюсами

А,

создающего радиальное поле,

якоря массой

М,

опирающегося

на

пружину жесткости

с.

Якорь соединен

проволочной катушкой,

со-

стоящей

из п

витков,

и с

механическим демпфером, сопротивление

которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротив-

ления

Р);

средний

радиус

катушки

г; ее

коэффициент самоиндукции

381

задаче

48 57.

омическое сопротивление

магнитная индукция

зазоре магнита

В.

К зажимам катушки приложено переменное напряжение

V(t).

Соста-

вить уравнения движения системы.

Указание.

Обобщенные

силы,

отвечающие

взаимодействию

катушки

магнита,

равны

= —

2nrnBx,

2-K.rnBq

—

электродвижущая

сила,

индуцируемая

электрической

цепи,

—

сила

взаимодействия

катушки

магнитом).

Ответ:

Ц -f- Щ +

2кгпВх

V(f)\

Мх

-[-

§•*

сх

—

2ъгпВ$=0.

48.58

(1240).

основанию сейсмометра

прикреплена проволочная катушка

из п вит-

ков

радиуса

г,

соединенная

электрической

регистрирующей системой, схематизируемой

цепью

коэффициентом самоиндукции

L и

омическим сопротивлением

Магнитный сердечник, создающий

ра-

диальное магнитное поле, характеризуемое

зазоре магнитной

ин-

дукцией

В,

опирается

на

основание

помощью

пружин общей жесткости

с. На

сердечник

дей-

ствует

также сила сопротивления, пропорцио-

нальная

его

скорости, вызываемая демпфером,

создающим силу сопротивления

$х.

Составить

уравнения, определяющие перемещение сердеч-

ника

и ток в

цепи

случае

малых вертикаль-

ных колебаний основания сейсмометра

по за-

кону

tuSin<at.

Указание.

Обобщенные

силы,

отвечающие

взаимодействию

катушки

магнита,

даются

форму-

лами

= —

2кгпВх

z=2TirnBq.

Ответ:

Мх-{-§х-\-сх

—

2i:rnBq

Mit>(o

sin

o>t;

задаче

48.58.

49. Интегралы движения,

преобразование

Рауса,

канонические уравнения Гамильтона,

уравнения Якоби—Гамильтона,

принцип

Гамильтона—Остроградского

задаче

49.!.

49.1. Трубка

АВ

вращается

постоянной

угло-

вой скоростью

со

вокруг вертикальной

оси CD,

составляя

с ней

угол

о. В

трубке

находится пружина жесткости

с,

один конец которой укреплен

точке

А; ко

второму концу пружины

прикреплено тело

массы

т,

скользящее

без

трения внутри трубки.

В недеформированном состоянии длина пружины равна

АО =

Приняв

за

обобщенную координату расстояние

х от

тела

М до

точки

О,

определить кинетическую энергию

тела

М и

обобщенный

интеграл энергии.

382

Ответ:

Т =

sin*

a];

отх

— m

(I+x)

со

sin

a -f ex

2mgco$

ax—h,

где

ft— постоянная интегрирования.

49.2. Найти первые интегралы движения сферического маятника

длиной /, положение которого опреде-

ляется

углами

6 и ф.

Ответ:

1) Интеграл, соответствую-

щий

циклической координате г|з (ин-

теграл

моментов количества движения от-

носительно оси z):

-ф

sin

л;

2) интеграл энергии:

;in

8 — 2-f- cos 8 = h, где я и

И — ПОСТОЯННЫе интегрирования. К задаче 49.2.'

49.3. Гироскопический

тахометр

уста-

новлен на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью

и вокруг оси £,. Определить первые интегралы движения, если

коэф-

фициент

жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции

гироскопа относительно главных центральных осей х, у, z соответ-

ственно равны А, В и С, причем В = А; силы трения на оси г

собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, созда-

ваемым статором электро-

мотора, приводящим во вра-

щение гироскоп; силами тре-

ния

на оси прецессии у

пренебречь.

Ответ:

1) Интеграл, со-

ответствующий циклической

координате <р (интеграл

моментов количества дви-

жения

относительно оси г):

+ и sin 8 = л;

2) обобщенный интеграл

энергии:

задаче 49.3.

задаче 49.4.

)

49.4. Материальная точ-

ка

М соединена с помощью

невесомого стержня ОМ длиной / с плоским шарниром О, горизон-

тальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной

угловой скоростью о). Определить условие устойчивости нижнего

вертикального положения маятника, период его малых колебаний при

выведении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии.

Ответ;

1) со

<^; 2) Г

2л

3) ф

^-; 2) Г =

— 2-|-cosf=A.

383

49.5. Уравновешенный гироскоп движется

по

инерции

кардано-

вом подвесе. Определить кинетическую энергию системы

первые

интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки

относительно неподвижной

оси

вращения

равен

£)

моменты инерции внутренней рамки

относительно главных центральных осей

х,

у, z

равны

, J\, J'

, а

соответствующие

моменты инерции гироскопа

— J

, Л и

Ответ:

1) Г=

задаче

мы относительно

оси

2) интеграл, соответствующий

циклической

координате <р (интеграл момен-

тов количества движения гироскопа отно-

сительно

оси z):

£-{-(f>sin0

= «;

3) интеграл, соответствующий

циклической

координате

(интеграл

мо-

ментов количества движения всей систе-

-f

(Jx

+ J

—

J'z)

cos

$ + J

sin

пй

4) интеграл энергии:

-f (/i + Л

— Л)

cos

9] ф

49.6. Игнорируя циклическую координату

<j»,

составить функцию

Рауса

дифференциальное уравнение

координате

9 для

сфериче-

ского маятника.

(См

чертеж

задаче

49.2.)

, |

итвст*

i\ — г\

~~*

sin

0 /'

sin

в 1 / — »

(

где

п =

sin

const.

49.7. Точка массы

движется

центральном силовом поле,

по-^

тенциальная энергия которого равна

П(г).

Определяя положение

точки полярными координатами

г и tp и

игнорируя циклическую

ко-

ординату

ср,

составить функцию Рауса

дифференциальное уравнение

движения

координате

г.

Ответ:

= ^\r

—-p

j, 2)

{r~--f*J~ — -gf-,

где

с =

г*<|>

const

—

удвоенная секторная скорость.

49.8. Гироскоп установлен

кардановом подвесе.

На

осях &

и у

вращения рамок подвеса

действуют

моменты внешних

сил М^ и М

Игнорируя циклическую координату

ср.

найти

функцию Рауса,

2) дифференциальное уравнения движения

для

координат

<|» и 9,

3) гироскопические члены.

(См.

чертеж

задаче

49.5.)

384

Ответ: 1) R = ~ Ц + /, + (Л -f- Л —

J',)

cos

ф*

-f

у (/у + 4)

+ Л4 sin

-17^;

2) [Л + Л + (Л + Л - Л) cos

в] $ -

— 2 (j; -f 4 — /

) cos 8 sin Щ

-\-J

cos 93 = M

-г

'y)

(Л + Л —

J'z)

cos 9 sin

вф^

— ]

п cos 9ф = M

;

3) J

n cos

№,

49.9. Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения

движения для математического маятника массы т и длиной /, поло-

жение которого определяется

углом

ср отклонения его от вертикали.

Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному диф-

ференциальному уравнению движения математического маятника.

Ответ:

^=~T"^I'

— mgl cos у;

2) &==- р = — mgl sin f.

49.10.

Материальная точка массы т подвешена с помощью неве-

сомого стержня длиной / к плоскому шарниру, горизонтальная ось

которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоро-

стью

ш (см. чертеж к задаче 49.4). Составить

функцию Гамильтона и канонические уравнения

движения.

1 а

Ответ:

1) Н= у-^г —

со

sin

<р

— mgl cos

<p;

задаче

49 II.

sintpcoscp

49.11. Вертикальное положение

оси

симме-

трии волчка, движущегося относительна непод-

вижной

точки

О под

действием силы тяжести,

определяется

углами

аир.

Исключив циклическую координату

<р

(угол

собственного вращения), составить

для

углов

а и р

функции

Payca

Гамильтона. Масса волчка равна

т,

расстояние

от его

центра

тяжести

до

точки

равно

момент инерции относительно

оси сим-

метрии

равен

С, а

относительно осей

хну

равен

А.

Ответ:

R = у A (cos

$а*

-f- р) — Сп bin

C0Sа C0S

где я = ф — sin pd = const. (Здесь и в дальнейшем символы Р

, Р.

т. п. означают обобщенные импульсы.)

49.12.

Пользуясь результатами, полученными при решении преды-

дущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона

13 И. В.. Мещерский .385

дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около

верх-

него вертикального положения.

Ответ:

а = -г- (Р

+ Сп$); P

mgla;

Сп

49.13. Положение оси симметрии z волчка, движущегося относи-

тельно неподвижной точки О под действием силы тяжести, опреде-

ляются углами Эйлера:

углом

прецессии ijj и

углом

нутации 6. Соста-

вить функцию Гамильтона для

углов

ij), 9

(угол

собственного вращения) и соот-

ветствующих

импульсов, если от —масса

волчка, / — расстояние от его центра тяжести

до точки О, С — момент инерции относи-

тельно оси z, А — момент инерции отно-

сительно любой оси, лежащей в экваториаль-

ной

плоскости, проходящей через точку О.

Ответ:

Н=

—

2Л

задаче 49.13.

sin

49.14.

В условиях предыдущей задачи

составить канонические уравнения движения волчка.

Ответ:

ф = -

sin

' ' * '

/>9

• _

(РфСовв

—

~Л~'

е=

cos

6-Л,,)

ф=-

Л tg 6 sin 6

49.15.

Свободная точка единичной массы движется в вертикаль-

ной

плоскости ху под действием силы тяжести. Составить диффе-

ренциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и

найти

его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх).

dV 1 / dV \

if dV

Ответ:

-зт-+-яг

Нгг +тк-

где Ь

и С — произвольные постоянные.

49.16.

Пользуясь результатами, полученными при решении преды-

дущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби —

Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки.

Л!/ 1

Ответ:

= t + — V

—2еу

— 2Ь

—

Ь1

= а

дх

где

386

, b

и Ь

— произвольные постоянные.

49.17.

Физический маятник массы

движется вокруг неподвиж-

ной

горизонтальной

оси О.

Момент инерции маятника относительно

оси

вращения равен

расстояние

от

центра тяжести маятника

до

его

оси

вращения равно

Составить дифференциальное уравнение

Якоби—Гамильтона, найти

его

полный интеграл

первые интегралы

движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять

на

уровне

реи

маятника).

Ответ:

1) ^+^(^* - Mgl cos

V=bt-\-

—

<Po

—

b = Jfy

где

а и b

произвольные постоянные интегрирования.

49.18. Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку

О,

определяется

углами

Эйлера

ф, 6 и <р.

Пользуясь результатами реше-

ния

задачи 49.13, составить уравнение

частных производных Якоби—

Гамильтона

найти полный интеграл

его.

1Ч

dV , 1 IdV dV

\« . 1 *

Ответ:

1) _

^cos9)

у=

49.19.

Концы струны закреплены

неподвижных точках

А и В,

расстояние

между

которыми равно

Считая,

что

натяжение

струны

одинаково

во

всех

точках, определить интеграл действия

по

Гамиль-

тону

для

малых колебаний струны.

Предполагается,

что

колебания проис-

ходят

одной плоскости

ху и что на

струну

действуют

только силы натяже-

ния;

линейная плотность струны равна

р.

Ответ:

3 1

\дх]

J '

О К

задаче 49.19.

где

у=у(х,

t).

49.20.

Пользуясь принципом Гамильтона—Остроградского

резуль-

татами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное

уравнение колебаний струны.

Ответ:

-~ =

а?

-г^,

где о

= —;

граничные условия:

у{0, t) =

387

=у{1,

0 = 0.

13*

49.21. Абсолютно гибкая однородная и нерастяжимая нить дли-

ной

/ подвешена за один конец в точке О. Определить интеграл дей-

и ствия по Гамильтону для малых колебаний нити

около вертикали, происходящих под действием силы

тяжести. Масса единицы длины нити равна р.

задаче

49.2

Ответ:

где

у=у(х,

f).

49.22.

Пользуясь принципом Гамильтона — Остро-

градского и результатами решения предыдущей зада-

чи,

составить дифференциальное уравнение малых

колебаний подвешенной за один конец нити.

— х)-~ ; граничные условия: 1)^(0, t) = 0,

конечны.

ГЛАВА

XII

ДИНАМИКА

КОСМИЧЕСКОГО

ПОЛЕТА

50.

Кеплерово

движение

(движение

под

действием

центральной

силы)

50.1.

Модуль силы всемирного тяготения, действующий на мате-

риальную точку массы т, определяется равенством F =

m—

,'cixQ

JJ,=/M—

гравитационный параметр притягивающего центра (М — его

масса, /—гравитационная постоянная) и г — расстояние от центра

притяжения

до притягиваемой точки.

Зная

радиус R небесного тела и ускорение g силы тяжести *) на

его поверхности, определить гравитационный параметр р, небесного

тела и вычислить его для Земли, если ее радиус /? =

6370

км,

a g = 9,81 м/сек*.

Ответ:

jj.=g#

; для Земли (х =

3,98-10

км

/сек*.

50.2. Определить гравитационный параметр [А„ И ускорение силы

тяжести g

на поверхности небесного тела, если известны отношения

его массы М

и радиуса R

к массе уИ и радиусу R Земли. Вычис-

лить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпитера, для кою»

рых соответствующие отношения даны в следующей таблице:

Луна

Венера....

:М

0.0123

0,814

0,273

0,958

Марс

Юпитер . . .

-м

0.107

317

0,535

10.95

Ответ:

Луиа

....

Beuepa

. . .

(«, (км'/сек

)

4,90

•

10"

326

•

g (м/сек*)

1,62

8,75

Марс. . . .

Юпитер . .

(д.

[км

/сек')

42,8.10»

126-10»

(м/сек')

3,69

26.0

*) Здесь

и в

дальнейшем предполагается,

что

сила притяжения небес-

ного тела направлена

к его

центру; ускорения

сил

тяжести

даются

без

учета

вращения небесных

тел.

50.3. Материальная точка равномерно движется по круговой

орбите на высоте И над поверхностью небесного тела радиуса R

под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость дви-

жения

Vi и период обращения Т материальной точки *).

Ответ:

г>1

= 1/ — = 1/

Н для данного небесного тела);

(круговая скорость на высоте

2nr "I/ — =

2я

' ,2—

RVg

Здесь г —расстояние

от материальной точки до центра небесного тела, ц.— его гравита-

ционный

параметр, £—ускорение силы тяжести на его поверхности.

50.4. Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над

поверхностью небесного тела, определить первую космическую ско-

рость Vi и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны,

Венеры, Марса и Юпитера.

Ответ:

Земля

, .

Луна

. . .

Венера . .

Vi (км/сек)

7,91

1,68

7,30

{мин)

84,3

108

87,5

Марс

, .

Юпитер

v, (км/сек)

3,54

42,6 ,

Г (мин)

101

172

50.5. На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли,

обращающийся

в плоскости экватора, для того, чтобы он все время

находился над одним и тем же пунктом Земли? "

Ответ:

#=35

800 км.

50.6. Под каким

углом

Р пересекается с земным экватором трасса

спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он

движется по круговой орбите высотой Н, наклоненной под

углом

плоскости экватора?

Ответ:

tg p

•

sin a

, , где Q — угловая скорость

cosa

+ QJ/(R + Hf:\x

суточного вращения Земли и fi — ее гравитационный параметр.

50.7. Точка массы т притягивается к неподвижному центру по

закону

всемирного тяготения F—m^, где ц — гравитационный пара-

метр центра притяжения. Найти интеграл энергии.

Ответ:

г»

-2-^

= /г.

50.8. Определить, при какой высоте Н круговой орбиты

спут-

ника

его потенциальная энергия относительно поверхности планеты

радиуса R равна его кинетической энергии.

Ответ:

H=R/2.

50.9. Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную

атмосферу, если его скорость на бесконечности г»оо= 10

км/сек.

Ответ: г>

Я5=#

км/сек.

Во

всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем.

390