Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

50.10.

Какую минимальную скорость v

нужно сообщить косми-

ческому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в беско-

нечность?

Ответ:

= У2 ^ — вторая космическая скорость (^ — первая

космическая

скорость).

50.11. Определить

вторую

космическую скорость для Земли, Луны,

Венеры, Марса и Юпитера.

Ответ:

1 t>j

(км/сек)

Земля

. .

Луна

. . .

Венера

. .

11,2

2,37

10,3

Марс

. . .

Юпитер

. .

i>2

(км/сек)

5,0

60,2

50.12.

Точка движется под действием центральной силы. Считая,

что

модуль

радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным

образом через полярный

угол

ф, определить скорость и ускорение

точки *).

Ответ:

«W

[и«

(-J--)

];

«, =

«v=±cW(g

+ a)

где и=—, с = г

ф = | г X v | = const — удвоенная секторная ско-

рость; знак плюс для силы отталкивания, знак минус —для силы

притяжения.

50.13 (751). Точка массы т движется под действием центральной

силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных

координатах имеет вид

г =

1+е

cosq)'

где р и е — параметр и эксцентриситет траектории.

Определить силу, под действием которой движется точка.

Ответ:

= 0, F

= —

тц/r

где \i = c

/p и с —удвоенная сек-

торная

скорость.

50.14.

Точка массы т притягивается к неподвижному полюсу по

закону всемирного тяготения

F=m[x/r

Найти траекторию движе-

ния

точки.

Ответ:

Кривая второго порядка (коническое сечение), уравнение

которой в полярных координатах имеет вид

/• = •;

' 1+е cos

(<р

— е) '

где р = с

/ц, а е и е —произвольные постоянные интегрирования.

Указание. Воспользоваться ответом к задаче

50.12.

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы

координат совпадает с центром притяжения (отталкивания).

391

50.15. Материальная точка движется

под

действием силы всемир-

ного тяготения

по

эллиптической траектории, эксцентриситет кото-

рой

е<1. а

параметр

р.

Зная интеграл площадей

с = г

—1гхя|,

определить полуоси

а и b

эллиптической траектории

период обра-

щения

Т.

Ответ:

а —

—-—

50.16.

условиях предыдущей задачи определить ускорение точки

моменты, когда

она

проходит апогей

перигей.

Ответ:

= -

О —

)

n —

~з

"Ь

€

Т-

50.17.

Зная период обращения

спутника вокруг Земли

по

эллип-

тической орбите

разность

его

апогея

перигея

Н,

определить

эксцентриситет орбиты.

Omeeffi:

е — Н 1/

Я-^Г.

50.18.

Спутник движется около планеты радиуса

R по

эллиптиче-

ской

орбите

эксцентриситетом

е.

Найти большую полуось

его

орбиты,

если отношение высот перигея

апогея равно

7<1.

Ответ:

а =

' :—г R-

1-е

(1+1)

50.19.

Точка движется

под

действием силы всемирного тяготения

/яр./г

. Выразить постоянную энергии

h (см.

задачу

50.7)

через

элементы траектории точки

грави-

Вершшышчесного

тационный параметр

ц.

Ответ:

h — —

\х/а

для

эллип-

тической траектории (а—большая

•полуось эллипса), /г

— 0 для

пара-

болической траектории

и h — p/a

для гиперболической траектории

(а—

-Траектория

вещественная полуось гиперболы).

50.20.

начальный момент

ма-

териальная точка, движущаяся

по

задаче

50.20

закону всемирного тяготения,

на-

ходилась

положении

на рас-

стоянии

от

притягивающего центра

имела скорость

г>

;

угол

между

вектором скорости

линией горизонта (касательной,

про-

веденной

точке

окружности, центр которой совпадает

цент-

ром притяжения) равнялся

, а

полярный

угол

был

равен

ср

Определить эксцентриситет

е и

угол

между

полярной осью

фокусной линией конического сечения

*).

Ответ:е=

\-\--^1г,

tg(cp

—е)=-§-^-,

где с —

cos

—интеграл

площадей;

h = ir —

2(i/r

—интеграл

энергии.

За

положительное

направление

фокальной

оси

конического

сечения

принимается

напрнвление

от

полюса,

совпадающего

одним

из

фокусов

сече-

иля,

ближайшей

вершине.

392

50.21. Определить, какую скорость надо сообщить космическому

аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты

отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллип-

тической, параболической или гиперболической траектории. Радиуе

планеты R.

Ответ:

г>

<г>

—траектория — эллипс,

^о — ^'г— * парабола,

'о > ^г — * гипербола,

фокальная

ось)

где

=Т/

• — У 2%—параболическая скорость на высоте Я

(г»

— круговая скорость).

Указание. Воспользоваться ответом к предыдущей задаче.

50.22. В момент отделения космического аппарата от последней

ступени ракеты он находился в точке М

на высоте //=230 км от

поверхности Земли и имел начальную скорость г>

= 8,0

км]сек,

при-

чем вектор скорости щ составлял с линией горизонта (касательной,

проведенной в точке М

к окруж-

ности радиуса г

)

угол

=0,02 рад.

Определить постоянную площа-

дей с, параметр р траектории и

постоянную энергии h.

Ответ:

с = 52 790

км

\сек;

р =

7002

км; ft =

—56,6

км

1сек

50.23. В условиях предыдущей

задачи определить направление боль-

шой

оси эллиптической траектории

спутника, эксцентриситет е траек-

тории,

апогей и перигей (макси-

мальное //

ах и минимальное Я

тш

удаление спутника от поверхности Земли) и период Т обращения

спутника.

Ответ:

1) е =

<$>

—

0,335

рад, где сро—начальный полярный

угол

радиус-вектора г

;

2) е =

0,0649;

= 1120 км, Я

т)П

= 210 км;

4) Г = 98,5 мин.

50.24. При каком направлении начальной скорости космический

аппарат

упадет

на поверхность планеты радиуса R вне зависимости

от величины начальной скорости г>

Ответ:

Если начальная скорость

будет

направлена внутрь конуса,

описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.25. При каких начальных условиях траектория космического

аппарата, запущенного на высоте Я от поверхности планеты радиуса R,

не

пересечет ее поверхности?

1RH

Ответ:

vl>v\

(

+tf)

COS

_^a,

Де ^ — круговая скорость

для данной плане!ы на высоте Я.

задачам

50.22

и БО 23.

393

2) Начальная скорость должна быть направлена

вне

конуса,

описанного вокруг планеты

из

начальной точки.

50.26.

Найти зависимость

между

периодами

Г;

обращения планет

вокруг Солнца

большими полуосями

их

эллиптических траек-

торий.

Ответ:

'&•

= % для

любых

планет (третий закон Кеплера).

50.27. Период обращения одного

из

спутников Юпитера, называе-

мого

Ио,

равен

1,77

суток, причем

радиус

его

орбиты составляет

5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер

—

Солнце равно

5,20

среднего расстояния Земля

—

Солнце

(5,20-23

000

земных

радиу-

сов),

период обращения Юпитера вокруг Солнца равен

11 лет

314,84

суток.

Определить отношение массы Юпитера

массе Солнца (радиус

Юпитера равен

11,14

радиуса Земли).

Ответ:

Масса Юпитера

в 1 000 раз

меньше массы Солнца.

50.28.

Под

средним значением

[г]

радиус-вектора точки,

движу-

щейся

по

эллиптической траектории, понимается величина, опреде-

ляемая равенством

где

Т —

период обращения.

Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если

—

большая полуось,

е—эксцентриситет

ее

эллиптической- трае-

ктории.

Ответ:

[г] = а (1 -f- у е

50.29.

Два

спутника, имеющие равные массы, движутся

одном

направлении вокруг притягивающего центра

по

компланарным орби-

там, одна

из

которых

—

круговая радиуса

другая—эллиптическая

расстоя-

ниями

перигея

апогея

и 8г

соответ-

ственно.

Полагая,

что

спутники путем непо-

средственной стыковки соединились

друг

другом

точке соприкосновения

их

орбит

дальнейшее движение продолжали

вместе, найти апогей

их

новой орбиты.

задаче

50.30,'^

Ответ:

2o'V

50.30. Определить связь

между

истинной

ср и

эксцентрической

аномалиями точки

на

эллиптической орбите эксцентриситета

е.

Ответ:

= 1/ v-j- tg -f-.

394

50.31. Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты

через эксцентрическую аномалию.

г. т Г

V-

/~l+ecosE

Ответ:

v=y i|/ у^т^Г

50.32. Найти на эллиптической орбите такие точки, скорость дви-

жения

в которых равна среднему геометрическому скоростей в пери-

гее и апогее.

Ответ:

Е=±-?г (точки расположены на концах малой оси

эллипса).

50.33. Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей

эллиптическое движение вокруг притягивающего центра:

_ Р

+ е cos ф

r=a{\

—ecosE)e

где

—орт

радиус-вектора г, проведенного из центра притяжения,

ср—

истинная, а Е—эксцентрическая аномалии, найти выражения для

вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орбиталь-

ной

и инерциальной системах координат.

Ответ:

<о

= 1/ — [е^ sin

<р

+ е

(1 -j- e cos if)];

—

lAiГ_

V^b^sing

(1—

)cos£i

у p L

1—ecosfi

\—ecosE

где ву — орт, направленный из полюса в перигей, а

—орт

перпен-

дикулярного к е

направления.

50.34.

В какой точке эллиптической орбиты

угол

наклона траек-

тории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная к радиус-

вектору) достигает наибольшего значения?

Ответ:

Е==±-^.

50.35. Спутник движется по круговой орбите радиуса г, де-

лая один оборот за время Т. В

результате

получения радиаль-

ного импульса скорости величиной и он переходит на эллип«

тическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической

орбите.

Ответ:

^i=-p iuT\*\4 '

50.36. Спутник движется по круговой орбите радиуса г, делая

один оборот за время Т. В

результате

получения тангенциального

(касательного) импульса скорости величиной и он переходит на

эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллипти-

ческой орбите T

Ответ:

395

Б0.37. Спутник движется

по

круговой околоземной орбите ради-

уса

г.

Определить величину радиального "импульса скорости,

резуль-

тате

которого спутник перейдет

на

эллиптическую орбиту

перигеем

50.38.

Космический корабль движется

со

скоростью

г>

= 30

км/сек

по

орбите Земли, имеющей радиус

150-10

км.

Какой

касатель-

ный

импульс скорости

и он

должен получить, чтобы

афелии своей

новой

орбиты

он

достиг орбиты Марса

(г

228-10

км)?

Решить такую

же

задачу

для

случая полета

орбите Венеры

108-

км).

Ответ:

На

орбиту Марса:

н =

2,95

км/сек;

на

орбиту* Венеры:

2,55

км/сек.

50.39.

Спутник движется

по

эллиптической околоземной орбите

с радиусом перигея

апогея соответственно

и г

Определить

величину касательного прироста скорости

и в

перигее,

при

котором

высота апогея увеличится

на Н.

И2\

50.40. Космический корабль, движущийся

по

круговой спутнико-

вой орбите, должен стартовать

с нее

путем получения касательного

импульса скорости

выйти

на

гиперболическую орбиту

заданным

значением скорости

на

бесконечности

Vx,- При

каком радиусе

начальной круговой орбиты величина необходимого импульса

будет

наименьшей?

Ответ:

/•„

-£-.

51. Разные задачи

51.1.

Две

свободные точки, массы которых равны

и т

, дви-

жутся

под

действием

сил

взаимного притяжения. Определить закон

движения первой точки относительно второй.

Ответ:

Относительное движение происходит

по тем же

законам,

что

абсолютное

гравитационным параметром

51.2.

Какой

вид

примет зависимость

между

периодами

обра-

щения

планет вокруг Солнца

большими полуосями

их

эллипти-

ческих орбит, если

учесть

движение Солнца, вызванное притяжением

соответствующей планеты?

Ответ:

%: % = .. ,

, где т

, М

—

массы планет

Солнца

соответственно (сравнить

ответом

задаче 50.26).

396

51.3. Два однородных шара радиусов R

и R

начали двигаться

из

состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Опре-

делить, с какой относительной скоростью v

столкнутся шары, если

первоначальное расстояние

между

их центрами равнялось L, а массы

шаров равны т

и т%.

Ответ:

= |/

2ц(/

?1+/?а

— х*)'

где

L==

51.4. Две точки, массы которых равны w

и т

, начали двигаться

из

состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Опре-

делить время Т, через которое столкнутся точки, если первоначаль-

ное

расстояние

между

ними равнялось L.

Ответ:

Т = ~ j/ ^, где ц =/(/«i + Щ)-

61.5. Две свободные точки, массы которых равны m-i и /и

, дви-

жутся

под действием сил взаимного притяжения. Определить закон

движения точек относительно их центра масс С.

Ответ:

Движение по отношению к центру масс происходит по

тем же законам, что и абсолютное движение с гравитационными

параметрами

(

-^|-

„ ^

61.6. Проекция центральной силы на радиус-вектор равна

—

(~4-7з)>

где

^>0

V —некоторые постоянные. Определить

траекторию движущейся точки.

Ответ:

1) v<c* г =

т-.

%-. г, где с — г

ф =

const,

p =

= ~ ,

=l—-p

e и

е-произвольные

постоянные;

2) v = c

, у^^ + С^ + Съ d и С

—постоянные

интегрирования;

3) v > с

, г =

т*-,—Лг~,

г, где р = —

~~ ,

А*

' -^ ' 1-f ecn k (ф — е)'

ц '

-г — 1, е и е — произвольные постоянные.

51.7. Космический аппарат массы т приближается к планете по

прямой,

проходящей через ее центр. На какой высоте Н от поверх-

ности

планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им

постоянная

тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку

(посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата

момент включения двигателя равна v

гравитационный параметр

планеты ц, ее

радиус

R; притяжением

других

небесных тел, сопро-

тивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь.

Ответ:

= ± {%

+TR

+ f ± /({- +

77?

Hf)

-^т} - R,

(

знак

плюс, если

T^>ii/R

и знак минус, если /

51.8. Определить полезную

работу,

которую должен совершить

двигатель ракеты, чтобы поднять космический аппарат на высоту Н

над поверхностью планеты и сообщить ему на этой высоте

397

круговую

параболическую космические скорости.

Вес

космического

аппарата

на

поверхности планеты равен

радиус

планеты

сопро-

тивлением атмосферы пренебречь.

Вычислить

эту

работу

для

второй космической скорости

для

Земли,

если

вес

аппарата равен

5 т.

Ответ:

= O

31850

к.и

31,85-10

кГм.

51.9. Космический аппарат вращается

угловой скоростью

Определить, какую полную

работу

должен совершить двигатель

ма-

ховика

М,

чтобы остановить вращение космического аппарата,

задаче

51.9.

считая,

что

вращение последнего происходит вокруг поступательно

перемещающейся

оси,

проходящей через

его

центр масс.

Ось

враще-

ния

маховика совпадает

осью вращения аппарата;

J и

—

моменты

инерции

маховика

аппарата (вместе

маховиком) относительно

общей

оси

вращения.

Ответ:

A = ^

Jo(J

°~

Q\.

51.10. Считая,

что

статор электромотора системы, описанной

в за-

даче

51.9,

создает вращающий момент

вр

Мо

— ш, где 7И

у.—некоторые

положительные постоянные, найти условие, необходимое

для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло

за конечное время. Предполагая,

что это

условие выполнено, опреде-

лить время

торможения.

Ответ:

Ж,

> а

(Л

2» Т = -

д (у

* _

^, где

пЬту

51.11. Определить

угол

<J), на

который повернется космический

аппарат

за

время торможения вращения, если

оно

осуществляется

способами,

описанными

задачах

51.9 и

51.10.

Ответ:

—2-

—

a*(J

—J)

"'M

— a(J

— J)Q

51.12.

Для

поворота корпуса космического аппарата используется

электродвигатель-маховик, уравнение движения которого

на

вращаю-

щемся

аппарате имеет вид се -J- ш/Г

—

и,

где

—

относительная угловая

393

скорость маховика, Г

—его

постоянная времени, и — управляющее

напряжение,

принимающее значения. ±и

Определить длительность t

разгона (и = и

) и торможения

U (

= ~

о) маховика, если первоначально невращающийся корпус при

неподвижном маховике

требуется

повернуть на заданный

угол

остановить. Ось вращения маховика проходит через центр масс

космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции

маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответ-

ственно равны J и J

Ответ:

= т + Т In (1 + у

1-е-т/г).

-е-^),

гдет

= А.

ГЛАВА

ХШ

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ,

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

52. Определение условий равновесия системы.

Устойчивость равновесия

52.1 (1162). Ось вращения АВ прямоугольной пластины наклонена

под

углом

а к вертикали. Определить момент сил М относительно

оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее поворота на

угол

Ь. Вес пластины Р; расстояние от центра тяжести О пластины

до оси АВ равно а.

Ответ:

М = Pa sin a sin Ь.

задаче

52.1,

задаче

52.2.

52.2 (1163). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести

равных однородных стержней весом р каждый, расположен в верти-

кальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно

закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны располо-

жены симметрично по отношению к вертикали, проходящей через

середину АВ. Определить, какую вертикальную силу Q надо при-

ложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ,

для того чтобы система находилась в безразличном равновесии.

Ответ:

Q==3/?,

400