Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

62.3 (1164). К однородному стержню АВ длиной 2а и весом Q,

подвешенному на

двух

нитях длиной / каждая, приложена пара сил

с моментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной

горизонтали, находятся на расстоянии 1Ь

друг

от

друга.

Найти

угол

Ь,

определяющий положение равновесия стержня.

Ответ:

В положении равновесия

угол

& находится из уравнения

—

bf—Aabsin*-i

Qabsin».

52.4 (1165). Прямолинейный однородный стержень АВ длиной 11

упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с ней

угол

«р. Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене.

К задаче 52.3.

К задаче 52.4.

К задаче 52.5.

Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Определить

угол

<р

положении равновесия стержня.

Ответ:

sin<p = T/ у

52.5 (1166). На гладкий цилиндр радиуса г опираются два одно-

родных весомых стержня, соединенных шарниром А. Длина каждого

стержня равна 2а. Определить

угол

2д раствора стержня, соответ-

ствующий положению равновесия.

Ответ:

Угол

& определяется из уравнения a tg

Ь — г tg*

— г = 0.

52.6 (1167). На нерастяжимой нити, перекинутой через бесконечно

малый блок, висит невесомый стержень, к кон-

цам которого прикреплены

грузы

и Р

Длина стержня /, дл.ина нити L. Определить

положения равновесия системы.

Ответ:

В одном положении равновесия

=|3

; в

другом

положении равновесия

y(L —0,

и,

наконец, в третьем положении равновесия

0 X(L l)

задаче 52 6.

Ь1П

(1168).

Концы

однородного весомого стержня длиной I

могут

скользить без трения по кривой, заданной уравнением f{x, y) = 0.

401

Определить положения равновесия стержня. (Ось у направлена по

вертикали

вверх,

ось х—по горизонтали вправо.)

Ответ:

Координаты концов стержня, отвечающие положениям

равновесия,

будут

решениями системы

(*« - Xtf +

08—yif

-P = 0, f (x

у&*= 0, /(*» л) = О,

52.8 (1169). Однородный весомый стержень длиной / может

скользить своими концами без трения по параболе у —ах*. Опреде-

лить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по верти-

кали

вверх,

ось х — по горизонтали вправо.)

Ответ:

Первое положение равновесия:

Х Х УУ а

Второе положение равновесия определяется из уравнения

д/ по формулам

52.9

(1170).

Решить

задачу

52.7 в

предположении,

что кривая

(

/(•*>

y) =

—*-\-jp—1

= 01, а длина стержня

удовлетворяет условию

1<^2а.

Определить возможные положения

равновесия стержня.

Указание. Вместо декартовых координат

следует

ввести координату

^ (эксцентрическую аномалию) с помощью соотношений х = a cos

<p,

у = Ь sin ср.

Ответ:

Положения равновесия отвечают значениям эксцентри-

ческих аномалий, определяемым из уравнений:

а) 9i = 2тс — tpa,

sin«2

= l/ gg

(существует

при

l^2ly,

б) sin

2L3.S1

— 1/ _

(

cos

1^-il-

= i / ?в

(существует

при

и <)

52.10 (1171). По гладкому проволочному кольцу радиуса R,

расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без

трения колечко А К этому колечку на нити подвешен

груз

весом Р;

другая

нить, перекинутая через ничтожно малый блок В, расположен-

ный

на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на

конце

другой

груз

весом Q. Определить положения равновесия

колечка А и исследовать, какие из них устойчивы, какие нет.

Указание.

Положение колечка

следует

характеризовать централь-

ным

углом

<р=

LDOA. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка

на

верхней

нижней полуокружностях.

402

Ответ:

На верхней полуокружности (0<^<р<Сгс) при любых

значениях Q/P

существует

положение неустойчивого равновесия

^окружности (it

существует

положение

равновесия

— -I, причем 0<;ср

<>/2. На нижней полу-

к)

при Q/P^ 1

устойчивого

причем it <^

<ро

<С у

52.11 (1172). Однородная квадрат-

ная

пластинка может вращаться в вер-

тикальной плоскости около оси, про-

ходящей через

угол

О; вес пластинки Р,

длина ее стороны а. К

углу

А пла-

стинки

привязана нить длиной /, пере-

кинутая через малый блок В, отстоящий на расстоянии а по верти-

кали

от точки О. На нити висит

груз

веса

Q=-£^-

задаче шо.

Определить

положения равновесия системы и исследовать их

устойчивость.

Ответ:

Положения равновесия отвечают сле-

дующим значениям

угла

ф: ф

= л/6, ф

= тс/2,

фз

= Зя/2. Второе и третье положения равновесия

устойчивы.

62.12 (1173). Однородный весомый стержень

АВ длиной 2а опирается на криволинейную на-

правляющую, имеющую форму полуокружности

радиуса R. Определить, пренебрегая трением, поло-

жение равновесия и исследовать его устойчивость.

Ответ:

В положении равновесия стержень

наклонен

к горизонтальной линии под углом <ро,

Определяемым ИЗ уравнения

•ад'

/ /2

(предполагается, что 1/ -^

. Это по-

задаче

52.И.

ложение равновесия устойчиво.

52.13 (1174). Подъемный мост О А схематиче-

ски

изображен на чертеже в виде однородной

пластины весом Р и длиной 2а. К середине края к задаче

52.12.

пластины прикреплен канат длиной /, перекинутый

через малый блок, лежащий на вертикали на расстоянии 2а над

точкой О. Другой конец С каната соединен с противовесом, скользя-

щим

без трения по криволинейной направляющей. Определить форму

403

этой

направляющей и вес противовеса Q так, чтобы система находи-

лась в безразличном равновесии. При горизонтальном положении

моста противовес С находится на прямой OS.

Ответ:

Q — —^. уравнение направляющей

полярных координатах г, #:

= 2 (I - 2 У! a cos ft) r + 4 j/"2 a/ - Р - 8а

52.14 (1175). Исследовать устойчивость

вертикального положения равновесия

«обра-

щенного» двойного маятника, изображенного

на

чертеже. Маятник может быть схематизиро-

ван в виде

двух

материальных точек масс ту и т

связанных

2а

задаче

52.13.

стержнями длиной

wwl

vwv

задаче

52.14.

vwv

\tn

1/77

ч.

А /

задаче

15.

да

вертикальном положении равновесия '

пружины (жесткости их ^ и с

)

не

напряжены.

Ответ:

Условия устойчивости

имеют вид

К<

<*)/,-

—

)g]-[c

~rn

g]>c\l

52.15 (1176). Исследовать ус-

тойчивость вертикального поло-

жения

равновесия системы маят-

ников,

изображенной на чертеже;

длина стержня первого маятника

4й, второго ЪН и

третьего

2/г. Массы

всех

маятников и жесткости

пружин одинаковы и соответственно равны тис. Расстояния точек

прикрепления

пружин от центров тяжести масс равны h. Массой

стержней пренебречь, а массы т

рассматривать как материальные

точки; когда маятники находятся

вертикальном положении, пру-

жины не напряжены.

Ответ:

Условия устойчивости

имеют вид

'Л

/* 1

задаче

52.

16.

ЛЛЛЛ

—

задаче

62.17.

-f

ЗОт^ск*

24m

g3h

> 0.

52.16 (1177). В маятнике пал-

лографа

груз

Ж подвешен на

стержне (Ш, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик О

шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АО\> вращающимся

около оси Ох- Длина коромысла г, расстояние от центра тяжести

404

груза

до шарнира А равно /; расстояние ООх = h. Исследовать

устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Разме-

рами

груза

и весом стержней пренебречь.

Ответ:

При

]/77>/z

— r положение равновесия устойчиво; при

— г неустойчиво.

52.17 (1178). Прямолинейный проводник, по которому

течет

ток

силой i

притягивает параллельный ему провод АВ, по которому

течет

ток силой i

. Провод АВ имеет массу т; к нему присоединена

пружина жесткости с; длина каждого из проводов /. При отсутствии

проводе АВ тока расстояние

между

проводами равно а. Определить

положения равновесия системы и исследовать их устойчивость.

Указание. Сила взаимодействия

двух

параллельных проводников

с токами ij и 1

длиной I, отстоящих на расстоянии d

друг

от

друга,

опреде-

ляется по формуле F = -~/.

Ответ:

При a =

j имеются два положения равновесия:

-ш

fа

а . -. f а

Jfi = -s"— I/ 4—

ил

'г=у+1'

"4—

i отвечает устойчивому

положению равновесия, х

— неустойчивому. При а>а

/4 положений

равновесия нет. При а = а

/4 имеем единственное положение равно-

весия,

которое неустойчиво.

53. Малые колебания системы с одной степенью свободы

53.1 (1243). Жесткий стержень ОВ длиной / может свободно

качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик весом Q

на

другом

конце.

Стержень удерживается в горизонтальном положении

посредством нерастяжимого вертикального шнура длиной h. Расстояние

ОА = а. Если шарик оттянуть перпендикулярно к плоскости чертежа

затем отпустить, то система начнет ко-

лебаться. Пренебрегая массой стержня,

определить период малых колебаний си-

стемы.

Ответ:

Г =

К задаче 53.1.

задаче S3.2.

53.2 (1244). Определить период малых колебаний астатического

маятника,

употребляемого в некоторых сейсмографах для записи

колебаний почвы. Маятник состоит из- жесткого стержня длиной /,

405

несущего на конце массу т,

зажатую

между

двумя

горизонтальными

пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой стержня

пренебречь и считать пружины в положении равновесия ненапряженными.

Ответ:

Т =

---f

53.3 (1245). Маятник состоит из жесткого стержня длиной /,

несущего массу m на своем конце. К стержню прикреплены две

пружины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца;

противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой

стержня, найти период малых колебаний маятника.

2я

Ответ:

Т =

2са*

ml* '

53,4 (1246). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей

задаче, установлен так, что масса т расположена выше точки под-

V/,

задаче 53.3=

веса, определить условие, при котором вертикальное положение

равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний

маятника.

Ответ:

~> ~_ •

ml*

задаче 53.5.

63.5 (1247). Цилиндр диа-

метром d и массой т может

катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинако-

вые пружины жесткости с прикреплены посредине его длины на

расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин за-

креплены.

Определить период малых колебаний цилиндра.

406

53.6. Определить период малых колебаний метронома, состоящего

из

маятника и добавочного подвижного

груза

Q массы т. Момент

инерции

всей системы относительно горизонтальной оси вращения

изменяется путем смещения подвижного

груза

G. Масса маятника М;

расстояние центра тяжести

маятника

от оси вращения

О равное; расстояние

00=s;

момент инерции маятника от-

носительно оси вращения J

Ответ:

задаче

53.6.

задаче

53.7.

—m

53.7 (1249). Тело, подве-

шенное

на

двух

вертикальных

нитях длиной / каждая, рас-

стояние между которыми 2а,

закручивается вокруг верти-

кальной

оси, лежащей в плос-

кости нитей и равноудаленной

от них (бифилярный подвес). Радиус инерции тела относительно оси

вращения р. Найти период малых колебаний.

Ответ:

T =

2ir-£-

53.8 (1250). Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам

тремя одинаковыми нерастяжимыми нитями длиной / так, что плоскость

обруча горизонтальна. Нити в положении

равновесия обруча вертикальны и делят \0

окружность обруча на три равные части.

Найти

период малых колебаний обруча

вокруг оси, проходящей через центр об-

руча.

Ответ:

Т = 2

53.9 (1251). Тяжелая квадратная плат-

форма

ABCD

массы М подвешена на

четырех

упругих

канатах, жесткости с

каждый, к неподвижной точке О, от- d

стоящей в положении равновесия систе-

мы на расстоянии / по вертикали от

центра Е платформы. Длина диагонали

платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы.

задаче

53.9,

Ответ:

Т = '.

16/2

407

53.10 (1252). Уголок, составленный из тонких однородных стерж-

ней

длиной / и 2/ с

углом

между

стержнями 90°, может вращаться

вокруг точки О. Определить период малых ко-

лебаний уголка около положения равновесия.

Ответ:

7 = 2.Ц уТ=7,53 |/Т.

53.11 (1253). Определить период малых сво-

бодных колебаний маятника веса Q, ось вра-

щения

которого

образует

угол

р с горизонталь-

ной

плоскостью. Момент инерции маятника

относительно оси вращения J, расстояние центра

тяжести от оси вращения s.

задаче

53.10.

Ответ:

Т =!

Qs cos p "

53.12 (1254). В приборе для регистрации вертикальных колеба-

ний

фундаментов машин

груз

весом Q, закрепленный на вертикальной

. . . - пружине, коэффициент жест-

кости которой c

шарнирно

| - I соединен со статически урав-

J- -' —Ег новешенной стрелкой, выпол-

ненной

в виде ломаного ры-

чага

с моментом инерции J

относительно оси вращения О

отжимаемой к равновесно-

му положению горизонтальной

пружиной с коэффициентом

жесткости с

. Определить пе-

риод свободных колебаний

сгрелки около ее вертикально-

го равновесного положения,

если ОА = а и ОВ —

Ъ.

Раз-

мерами

груза

и влиянием первоначального натяжения пружины прене-

бречь.

Ответ:

7 = 2

—1

''г-

wwwvy>

— - О -~i

в..

}

задаче

53.12.

53.13 (1256). Амортизационное устройство может быть схемати-

зировано в виде материальной точки массы т, соединенной п пру-

жинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника. Длина

каждой пружины в ненапряженном состоянии а,

радиус

окружности,

описанной

около многоугольника, Ъ. Определить

частоту

горизонталь-

ных свободных колебаний системы, расположенной в горизонтальной

плоскости.

Указание.

Для

вычисления потенциальной энергии

точностью

до

величин

второго порядка малости включительно

следует

определить

удли-

нение

пружин

с той же

степенью точности.

г. , 1 Гпс

2Ь'—а

Ответ:

* =

]/ gs-g—.

408

53.14 (1257). В предыдущей задаче определить частоту колебаш-й,

перпендикулярных к плоскости многоугольника. Силами тяжести пре-

небречь.

r\ L 1 /~

пс

Ф — а)

Ответ:

k=\/

—Ц-—-.

f mb

53.15 (1258). Определить частоту малых вертикальных колебаний

материальной точки Е, входящей в состав системы, изображенной на

задаче

53.13. К

задаче

53 15.

чертеже. Масса материальной точки т. Расстояния АВ — ВС и

DE—EF;

жесткости пружин c

, с

заданы. Бруски АС и DF

считать жесткими, не имеющими

массы

а»'ж*я9

jyy-ssssa

Ответ:

k= ^\у,

\»

_^У^Щ

53.16 (1259). На

нерастяжи-

мой

НИТИ

ДЛИНОЙ

4а НаХОДЯТСЯ К задаче 63.1Ь.

три

груза,

массы которых соот-

ветственно равны т, М, т. Нить симметрично подвешена за концы

так, что ее начальный и конечный участки

образуют

углы

а с

верти»

калью, а средние участки —

углы

р.

Груз

М совершает малые вертикальные коле- ЩР

бания. Определить

частоту

свободных вер- s

тикальных колебаний

груза

М. J

Ответ:

, -./" g(cos

p sin p-fcos

oc sin a) _ ?

a cos pcosa sin(P —a)cos(p—a) ' д1 J .

при

этом 2т =

—г—^—~.

m»\ < 1 ^—

sm a cos p 1 N. > b^^^

53.17 (1260). Вертикальный сейсмо- | N^^~{

граф Б. Б. Голицина состоит из рамки |

АОВ, на которой укреплен груз веса Q.

Рамка МОЖеТ ВращаТЬСЯ ВОКруг ГОриЗОН- К

задаче

53.17.

тальной оси О. В точке В рамки, отстоящей

от О на расстоянии а, прикреплена пружина жесткости с, работающая

на

растяжение. В положении равновесия стержень ОА горизонтален.

409

Момент инерции рамки и

груза

относительно О равен J, вы-

сота рамки Ь. Пренебрегая массой пружины и считая, что центр

тяжести

груза

и рамки находится в точке А, отстоящей от О на рас-

стоянии

/, определить период малых колебаний маятника.

Ответ:

-\f-

где

F<>

— Q натяжение

пружины в положении равновесия, L — длина пружины в положении

равновесия.

53.18 (1261). В вибрографе, предназначенном для записи колебаний

фундаментов, частей машин и т. п., маятник веса Q удерживается под

углом

а к вертикали с помощью спиральной пружины жесткости с;

момент инерции маятника относительно оси вращения О равен J; рас-

стояние центра тяжести маятника от оси вращения s. Определить пе-

риод свободных колебаний вибро-

графа.

Ответ:

T—2i

" Y

Qscosa-\-c

задаче 53.18.

задаче 53.19.

53.19 (1262). В вибрографе для записи горизонтальных колебаний

маятник

ОА, состоящий из рычага и

груза,

может качаться вокруг

горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого

равновесия, удерживаясь в этом положении собственным весом и спи-

ральной пружиной. Зная максимальный статиче-

ский

момент веса маятника Qa = 4,5

кГсм,

момент инерции относительно оси О J =

0,03»

кГсмсек?

и коэффициент жесткости

пружины с = 4,5

кГ/см,

определить период

собственных колебаний маятника при малых

углах

отклонения.

Ответ:

Г =

0,364

сек.

53.20.

Найти, при каком условии верхнее

вертикальное положение равновесия маятника

является устойчивым, если свободному вращению

маятника

препятствует спиральная пружина жесткости с, установлен-

ная

так, что при верхнем вертикальном положении маятника она не

410

задаче 53.20.