Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

напряжена. Вес маятника Р. Расстояние от центра тяжести маятника

до точки подвеса равно а.

Найти

также период малых колебаний маятника, если его момент

инерции

относительно оси вращения равен J

Ответ:

с^>Ра;

Г = 2дТ/ —~.

53.21. Показать, что при

с<СРа

маятник, рассмотренный в пре-

дыдущей задаче,

будет

иметь не менее

трех

положений равновесия.

Найти

также период малых колебаний.

Ответ:

При ф = 0 неустойчивое положение равновесия. Устой-

чивые положения равновесия

будут

при ф —фо>О, ф —<

где ф

— корень уравнения sin ф = „- ф.

-/рфо

cos ф

(tg ф

— ф

) *

53.22

(1263). Стержень ОА маятника при помощи шатуна АВ

соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткости с. В нена-

пряженном состоянии рессора занимает положение EBi, известно, что

рессоре нужно приложить силу F

, направленную по ОВ, чтобы

привести ее в положение ЕВ

соответствующее

равновесию маятника;

ОА = АВ = а; массой стержней пренебре-

гаем; расстояние центра тяжести маятника

от оси вращения ОС =

вес маятника Q.

целью достижения наилучшего изохро-

низма

(независимость периода колебаний

от

угла

первоначального отклонения) си-

стема отрегулирована так, чтобы в урав-

нении

движения маятника

задаче

53.22.

первый из отброшенных членов был по-

рядка ф

. Установить, какая зависимость

должна для этого иметь место

между

по-

стоянными

Q, F

, с, а, I, и вычислить период малых колебаний маятника.

Ответ:

Q/-2aF

= 2я]/"—

Г 6 1

2aF

' Ql

53.23

(1264). Показать, что при условии предыдущей задачи уве-

личение периода колебаний при отклонениях маятника от положения

равновесия на

угол

= 45° не превышает 0,4%. Каково

будет

при

этих условиях изменение периода простого маятника?

Ответ:

Сохраняя в уравнении движения Маятника член ф

, по-

лучим

т=:

+8)--

411

для простого маятника при отклонении на

угол

45° изменение периода

составляет 4%.

53.24

(1265). При условиях задачи

53.22

маятник отрегулирован

так, что Q/ = 2aF

. Найти период малых колебаний маятника при

отклонении

его от положения равновесия на

угол

<р

_ 1

„ _ 4/, Г Q С dx -

пл

I -./Q

Ответ:

Т = — 1/ — \

_=г = 5,24 -—1/ —.

Д<Ро

Г eg Э

у\—

V eg

53.25

(1266). В маятнике паллографа

груз

М маятника повешен

на

стержне, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик О

шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АО\, качающимся

вокруг неподвижной оси O

. При каком условии вертикальное поло-

жение стержня ОМ маятника

будет

положением устойчивого равно-

весия? Найти период малых колебаний маятника около этого поло-

жения.

Размерами

груза

и весом стержней пренебречь. (Размеры стерж-

ней

указаны на

чертеже

к задаче

52.16.)

Ответ:

Н-т<У"Г1;

T =

2*(h-r

+ /)]/

|r/

(Д

rf]g

53.26

(1267). Пренебрегая массой стержней, найти период малых

колебаний маятника, изображенного на чертеже. Центр тяжести

груза

находится на продолжении шатуна шарнирного четы-

рехзвенника

OABOi

прямолинейно-направляющего

механизма. В положении равновесия стержни ОА и

ВС вертикальны, стержень О\В горизонтален: ОА =

АВ = а;

AC=s.

Ответ:

Т = 2те

'g(s-a)

53.27

(1268). Определить период колебания

груза

53 26 весом Р, подвешенного на пружине с закрепленным

верхним концом, если коэффициент жесткости пру-

жины равен с, вес пружины Ро-

Ответ:

Т — L..

53.28

(1269). На нижнем конце вертикального цилиндрического

упругого

стержня с закрепленным верхним концом прикреплен в своем

центре горизонтальный диск с моментом инерции J относительно

вертикальной оси, проходящей через центр; момент инерции стержня

относительно его оси равен J

; коэффициент жесткости стержня при

закручивании, т. е. момент,, необходимый для закручивания нижнего

конца

стержня на один радиан, равен с. Определить период колеба-

ний

системы.

Ответ:

53.29

(1270).

Груз

весом Q укреплен посредине балки, свободно

опертой на концах; длина балки /, момент инерции поперечного сече-

412

ния

J, модуль упругости материала Е. Определить, пренебрегая весом

балки,

число колебаний, совершаемых грузом в минуту.

Ответ:

и=20801/ щ

, причем за единицу длины принят сантиметр.

53.30

(1271). Груз весом Q укреплен посредине свободно опертой

на

концах балки; длина балки /, момент инерции ее поперечного се-

чения

J, модуль упругости материала Е, вес балки Q

Определить

(приближенно) число свободных колебаний, совершаемых грузом

минуту.

Ответ:

л =

2080-1

/ -.

j——,

причем за единицу длины при-

нят

сантиметр.

53.31 (1272). Подмоторный груз прямоугольного сечения нагружен

посередине грузом Q = 600 кГ и оперт концами. Момент инерции

поперечного сечения бруса J = 210 см

, его погонный вес <?= 11 кГ/л,

длина /=200 см; модуль упругости материала бруса Е — 2- Ю

кГ/см\

Определить частоту колебаний бруса с учетом и без учета его массы.

Ответ:

=63,4

сек*

; &

= 64,0 сек~

53.32

(1273). Подкрановая балка с погонным весом # = 49 кГ/м,

с моментом инерции поперечного сечения J =

8360

см*, длиной

/=П0

м нагружена посредине грузом Q = 700 кГ и оперта по кон-

цам;

модуль упругости материала балки £ = 2-10*

кГ/см

Найти

частоту колебаний балки с учетом и без учета ее массы.

Ответ:

/^ = 4,56 сек~\ £

= 5,34 сек'

53.33

(1274). Двутавровая балка с моментом инерции сечения

180 см*, длиной

= 4 м лежит на

двух

одинаковых упругих

опорных пружин;х, жесткость которых с=150

кГ/см,

и несет по-

средине груз весом Q = 200 кГ. Пренебрегая весом балки, опреде-

лить период свободных колебаний системы. Модуль упругости мате-

риала балки

£=2-10

кГ/см

Ответ:

Т =

0,238

сек.

задаче J3 33. К задаче

53.34.

53.34

(1275). На конце В горизонтального стержня А В длиной /,

заделанного другим концом, находится груз весом Q, совершающий

колебания с периодом Т. Момент инерции сечения стержня относи-

тельно центральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости ко-

лебаний, равен J. Определить модуль упругости материала стержня.

Ответ:

Е=ЩТ~>.

413

задаче 53.35.

53.35. Диск массы М и радиуса г может катиться без скольже-

ния

по горизонтальной прямой. К диску жестко прикреплен невесо-

мый стержень длиною /, на конце которого

находится точечная масса т.

Найти

период малых колебаний системы.

Ответ:

Г = 2х|/"

^+^

53.36.

На шероховатый круглый полуци- *

линдр радиуса R положен призматический бру-

сок

массы М с прямоугольным поперечным

сечением. Продольная ось бруска перпендику-

лярна

к оси цилиндра. Длина бруска

21,

высота 2а.

Концы

бруска соединены с полом пружинами

одинаковой жесткости с. Предполагая, что брусок не скользит по

цилиндру, найти период его малых колебаний. Момент инерции бру-

ска относительно поперечной гори-

зонтальной оси, проходящей через

центр тяжести, равен Jo.

Ответ:

53.37

(1276). Острота кривой

резонанса системы с одной сте-

пенью свободы при действии силы

трения,

пропорциональной скоро-

сти, характеризуется «половинной шириной» резонансной кривой.

«Половинная ширина» резонансной кривой измеряется разностью

между

двумя частотами, для которых' амплитуда колебаний равна по-

ловине амплитуды, соответствующей резонансу. Выразить «половинную

ширину» резонансной кривой Д через «коэффициент настройки»

z = w/k и через приведенный коэффициент затухания b = njk. Дать

приближенную формулу для случая

8 <^ 1 (со — частота вынуждающей

силы, k — частота собственных ко-

лебаний; при резонансе 2 = 1).

Ответ:

«Половинная ширина»

кривой

резонанса равна

К.

задаче 53.36.

|Л _

25*

-J-

задаче 53.38.

или,

если 8 ^ 1, Д

t=^

2 .

53.38

(1277). В вибрографе, упо-

требляемом для записи вертикаль-

,ных колебаний, стержень ОА, соединенный с пишущим пером при-

бора, может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Стержень ОА

' на конце А несет

груз

Q и удерживается в горизонтальном положе-

414

нии

равновесия спиральной пружиной. Определить относительное дви-

жение стержня ОА, если виброграф укреплен на фундаменте, совер-

шающем вертикальные колебания по закону z = 2 sin 25^ мм.

Коэф-

фициент

жесткости пружины t = 0,l

кГ/см,

момент инерции стер-

жня

ОА с грузом Q относительно О равен J=0,4

кГсмсек

Qa = 10

кГсм.

Собственными колебаниями стержня пренебречь.

Ответ:

ср =

0,0051

sin 2Ы.

53.39

(1278). В вибрографе, описанном в задаче

53.38,

стержень

снабжен электромагнитным тормозом в виде алюминиевой пластины,

колеблющейся

между

полюсами неподвижно закрепленных магнитов.

Возникающие в пластине вихревые токи создают торможение, про-

порциональное первой степени скорости дви-

жения

пластины и доведенное до границы

апериодичности. Определить вынужденные

колебания стрелки прибора, если последний

закреплен на фундаменте, совершающем вер-

тикальные колебания по закону z =

hsinpt.

Ответ:

х —

ац>~—^

- sin (pt — e);

21/

—

tge=-

53.40

(1280). Вертикальный двигатель

весом Q закреплен на фундаменте, имеющем

площадь основания 5

; удельная жесткость

грунта

равна К. Длина кривошипа двига-

теля г, длина шатуна /, угловая скорость вала

(о,

вес поршня и неуравновешенных частей, к задаче

53.40.

совершающих возвратно-поступательное дви-

жение, равен Р, вес фундамента О; кривошип считать уравновешен-

ным

при помощи противовеса. Массой шатуна пренебречь. Опреде-

лить вынужденные колебания фундамента.

Указание. При

расчетах

пренебречь всеми членами, содержащими

малое отношение rjl в степенях выше первой.

Ответ:

Смещение центра тяжести фундамента от положения рав-

новесия

~ Рш

, , г Prop

где

-V-

XSg

53.41 (1281). Рассчитать вес фундамента под вертикальный двига-

тель, весящий Q = 10 т, таким образом, чтобы амплитуда вынужден-

ных вертикальных колебаний фундамента не превосходила 0,25 мм.

415

задаче

53.42.

Площадь

основания фундамента 5= 100 м\ удельная жесткость

грунта, находящегося под фундаментом,

= 50 т/м*. Длина криво-

шипа

двигателя г = 30 см, длина шатуна /=180 см, угловая ско-

рость вала w = 240

об(мин,

вес поршня и

других

неуравновешенных

частей, совершающи-х возвратно-поступательное движение, Р = 250 кГ,

кривошип

считать уравновешен-

ным

при помощи противовеса.

Массой

шатуна пренебречь.

Указание. Воспользоваться

результатом

решения предыдущей

задачи

ограничиться приближенным

решением, отбросив член,

содержа-

щий

г//.

Проверить законность

ука-

занного приближения.

Ответ:

0 =

366,6

т.

63.42 (1282). Электромотор

весом Q = 1200 кГ установлен на

свободных концах

двух

горизонтальных параллельных балок, заде-

ланных вторыми концами в стену. Расстояние от оси электромотора

до стены /=1,5 м. Якорь электромотора вращается

со скоростью я = 1500

об/мин,

вес якоря р = 200 кГ,

центр

тяжести его отстоит от оси вала на расстоя-

нии

г = 0,05 мм. Модуль упругости мягкой стали,

из

которой сделаны балки, £ = 2-10

кГ/см*.

Опре-

делить момент инерции поперечного сечения так,

чтобы амплитуда вынужденных колебаний не пре-

восходила 0,5 мм. Весом балки пренебречь.

Ответ:

7 =

8740

си

или 7 =

8480

см\

53.43 (1283). Кулачковый механизм для привода

клапана

может быть схематизирован в виде массы т,

прикрепленной

с одной стороны с помощью пружины

жесткости с к* неподвижной точке и получающей с

другой стороны через пружину жесткости с± движе-

ние

от поступательно движущегося кулачка, профиль

которого таков, что вертикальное смещение определяется формулами

задаче 53 43

= a [

— cos (at]

Определить движение массы т.

Ответ:

При " " "

при

где

416

При —

груз

совершает свободные колебания:

—тег

Ъ ТГ COS kt — COS k U .

53.44

(1284). Для записи крутильных колебаний употребляется

торсиограф, состоящий из легкого алюминиевого шкива А, заклинен-

ного на валу В, и тяжелого маховичка D, который может свободно

вращаться относительно вала В. Вал свя-

зан

с маховичком D спиральной пружиной

жесткости с. Вал В движется по закону

ср

ш^

—{—

ср

sin wt

(равномерное вращение с наложением гар-

монических колебаний). Момент инерции

маховичка относительно оси вращения J.

Исследовать вынужденные колебания

маховичка торсиографа.

Ответ:

угол

относительного поворота

маховичка ф==

53.45

(1285). Для гашения колебаний

коленчатого вала авиационного мотора в

противовесе коленчатого вала делается

желоб в форме

дуги

окружности радиуса г

с центром, смещенным на АВ = 1 от оси

вращения;

по желобу может свободно

двигаться дополнительный противовес, схе-

матизируемый в виде материальной точки.

Угловая скорость вращения вала равна ш.

Пренебрегая влиянием силы тяжести, опре-

делить частоту малых колебаний допол-

нительного противовеса.

задаче

53 44.

Ответ:

k =

53.46

(1286). К

грузу

весом Р, вися-

щему

на пружине ЖеСГКОСТИ С, В НЗЧаЛЬ- К

задаче

5345.

ный

момент времени приложена постоян-

ная

сила F, действие которой прекращается по прошествии

времени

т.

Определить движение

груза.

Ответ:

При

при

4/> м i— .

И И. В.

Мещерский

417

53.47

(1287). Определить максимальное отклонение

от

положения

равновесия

системы, описанной

предыдущей задаче,

случае дейст-

вия

сил

различной продолжительности:

1) т = 0,

limPt

.S (удар);

т—о

2) т=Г/4;

3) т =

Г/2,

где Г

—период свободных колебаний системы.

Ответ:

max

~l/

-^S; 2)

max

)

max

ст>

53.48

(1288). Найти закон движения маятника, состоящего

из

мате-

риальной

точки, висящей

на

нерастяжимой нити длиной

Точка

под-

веса маятника движется

по

заданному закону

| = ^(t) по

горизон-

тальной

прямой.

Ответ: Угол отклонения маятника

от

вертикали

<р

изменяется

по

закону

/Л £ р

= с

sin W 4 е

cos kt — 2-ii 4- -г \ I (

) sin

A(^

—

x)d%,

где

k^Yl.

53.49

(1289).

На

материальную точку весом

Р,

подвешенную

на

пружине жесткости

с,

действует возмущающая сила, заданная усло-

виями:

F=0

при

F=~F

при

F=F

при

Определить движение точки

найти амплитуду колебаний

при

Ответ:

* = £[l ~

53.50

(1290).

На

груз весом

Р,

висящий

на

пружине жесткости

с,

действует возмущающая сила, изменяющаяся

по

закону

Q(0 —

F | sin at |.

Определить колебания системы, имеющие частоту возму-

щающей силы.

Ответ:

При 0 < t <

п/со

•*

= ,/f

ач

[sin^

ctg^cos*Л

. ? ,

2Ч

sinco^;

/nfe

(<в

—

)

|_ '

2(0

(ш

—

)

53.51 (1293). Определить критическую

угловую

скорость (отно-

сительно поперечных колебаний) легкого вала, несущего посредине

диск

весом

Р.

Рассмотреть следующие случаи:

1) вал на

обоих

кон-

цах опирается

на

длинные подшипники (концы можно считать заде-

ланными);

2) на

одном конце

вал

опирается

на

длинный подшипник

418

(конец

заделан), а на

другом

— на короткий подшипник (конец оперт).

Жесткость вала на изгиб EJ, длина вала /.

Ответ:

1) (%= у

р/

, , *,

Шкр

53.52 (1294). Определить критическую скорость вращения легкого

вала длиной /, если вал лежит на

двух

коротких подшипниках и на

выступающем конце длиной а несет диск весом Р. Жесткость вала

на

изгиб EJ.

Ответ:

а>

кр

= *[/ -рМ.

53.53. (1295). Определить критическую скорость вращения тяже-

лого вала, лежащего одним концом в коротком подшипнике, а дру-

гим — в длинном; длина вала /, жесткость вала на изгиб EJ, вес

единицы

длины вала q.

Ответ:

о>

кр

= 15

54. Малые колебания систем

несколькими степенями

свободы

54.1 (1297). Для экспериментального исследования процесса

регу-

лирования

гидравлических турбин сконструирована установка, состо-

ящая

из турбины, ротор которой имеет момент инерции относи-

тельно оси вращения J

= b

кГсмсек*,

маховика с моментом инерции

= 150

кГсм

сек*

упругого

вала С, соединяющего ротор

турбины с маховиком; вал имеет

длину /=1552 мм, диаметр

d = 25,4 мм; модуль сдвига ма-

териала валаО=880000

кГ/см*.

Пренебрегая массой вала и

скручиванием его толстых уча- К зада,че 54.1.

стков,

найти то сечение тп

вала, которое при свободных колебаниях данной системы остается

неподвижным (узловое сечение), а также вычислить период Т свобод-

ных колебаний системы.

Ответ:

а = 50 мм; Т — 0,09 сек.

54.2 (1299). Определить частоты свободных крутильных колеба-

ний

системы, состоящей из вала, закрепленного на одном

конце,

с насаженными посредине и на

другом

конце однородными дисками.

Момент инерции каждого диска относительно оси вала J; жесткость

на

кручение участков вала С\ =

с%

= с. Массой вала пренебречь.

Ответ:

£, = 0,62 l/y; /г

= 1,62 l/j.

54.3

(1300).

Определить

частоты

главных

крутильных

колебаний

системы,

состоящей

из

вала

насаженными

на

него

тремя

одинако-

выми

дисками.

Два

диска

закреплены

на

концах

вала,

третий

—

посредине.

Момент

инерции

каждого

диска

относительно

оси

вала

14» 419

жесткость на кручение участков вала с

= с

— с. Массой вала пре-

небречь.

Ответ:

—y -j, k

= T/ 3y.

54.4 (1301). Два одинаковых маятника длины / и массы т каж-

дый соединены на уровне h

упругой

пружиной жесткости с, прикреп-

ленной

концами к стержням маятников. Определить малые колебания

системы в плоскости равновесного положения маятников, после того как

одному из маятников сообщено отклонение нд

угол

а от положения равновесия; начальные скоро-

| сти маятников равны нулю. Массами стержней

Л маятников и массой пружины пренебречь.

Ответ:

= a cos

cos

*1 t,

где ф

и ф

—

углы

отклонения маятников от

вертикали и

задаче 54.4. ^

~\/~

М-

Ь = 1/"

Ж-Ц_

?£^!

54.5. Диск массы М может катиться без скольжения по прямоли-

нейному

рельсу.

К центру диска шарнирно прикреплен невесомый

стержень длиною /, на конце которого находится точечный

груз

массы т. Найти период малых колебаний маятника.

Ответ:

Т~'

ЪМ

задаче

54.5.

задаче

54.6.

54.6. Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс

дугой

окружности радиуса R, найти частоты малых колебаний рассматри-

ваемой системы.

Ответ:

Главные частоты являются корнями уравнения

•*•-

ЗМ

+ 2/n " l(3M + 2m)

(#-/•)

/ J '" т

(ЪМ

2m)

(R-r)l

54.7 (1302). Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего

без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы т, соеди-

420