Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

ненного

с ползуном стержнем длины /, могущим вращаться вокруг-

оси,

связанной с ползуном. К ползуну присоединена пружина жест-

кости с,

другой

конец которой закреплен неподвижно. Определить

частоты малых колебаний си-

стемы.

Ответ:

Искомые частоты

являются корнями уравнения

g М -f-

' 7~лГ

-—• ^- = 0

/77

задаче

54 7.

54.8 (1303). Два одинаковых

физических маятника подвеше-

ны

на параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной го-

ризонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которой

ненапряженном состоянии равна расстоянию

между

осями маятников.

Пренебрегая сопротивлениями движению и массой пружины, опреде-

лить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы прч

малых

углах

отклонения от равновесного положения. Вес каждою

маятника

Р; радиус инерции его относительно щщ$\

оси,

проходящей через центр тяжести парал- v Z \

лельно оси подвеса, р; жесткость пружины с;

расстояния от центра тяжести маятника и от

точки прикрепления пружины к маятникам до

оси подвеса равны соответственно / и h. (См,

чертеж к задаче

54.4.)

Ответ:

k\ =

8 х п

•

k\ -

S\" 11. •"! 1

64.9

(1305).

Однородный

стержень

АВ дли-

ной L

ПОДВешеН

при

ПОМОЩИ

НИТИ

ДЛИНОЙ

к.

задаче

54 9.

/ = 0,5L к неподвижной точке. Пренебрегая

массой нити, определить частоты главных колебаний системы и найти

отношение отклонений стержня и ' нити от вертикали при первом и

втором главных колебаниях.

Ответ:

fei =

0,677l/y;

2,558

1/ у; в первом главном

колебании «pi =

0,847

во втором <pi = —

l,180tp

где <fi и <р

— ампли-

туды

углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью.

54.10 (1306). Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити

весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квад-

ратом отношения Ljl, определить отношение низшей частоты свобод-

ных колебаний системы к частоте колебаний математического маят-

ника

длиной /.

Ответ:

1 — -г -г.

(

421

54.11 (1307). Считая в задаче 54.9, что длина нити весьма мала

по

сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отноше-

ния

1/L, определить отношение низшей частоты свободных колебаний

системы к частоте колебаний физического маят-

ника,

если ось вращения поместить в конце

стержня.

Ответ:

1 — т~ -г.

lo L

54.12. Определить частоты главных колебаний

двойного математического маятника при условии,

что массы

грузов

и М

соответственно равны

т±

и т

, ОМ

— 1

MiM.1^1%, а к

грузу

при-

соединена пружина, массой которой можно прене-

бречь. Длина пружины в ненапряженном состоя-

нии

равна /

, жесткость пружины с.

Г)

т1

рт

. tf _..

? + ng K(n|nj)2+4nfnjyj

Umeem.

Ь2

К задаче 54.12.

где щ-

2(l—yW

54.13 (1309). Двойной физический маятник состоит из однород-

ного прямолинейного стержня OiO

длиной 2а и весом Р

, вращаю-

щегося вокруг неподвижной горизонтальной оси O

и из однород-

ного прямолинейного стержня АВ весом Р

> шарнирно соединенного

своем центре тяжести с концом О

первого стержня. Определить

движение системы, если в начальный момент стержень OiO

отклонен

на

угол

от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное по-

ложение и имеет начальную

угловую

скорость <о

Ответ:

= (p

cos~|/

^-t; ^ = a

t, где if

—угол,

обра-

зуемый стержнем АВ с вертикальным направлением.

У/////////////////////////////

К задаче 54.13.

К задаче 54.14»

54.14. Стержень АВ весом Р подвешен за концы А и В к потолку

на

двух

одинаковых невесомых и нерастяжимых нитях длины о.

стержню АВ подвешена на

двух

одинаковых невесомых и нерас-

тяжимых нитях длины b балка CD весом Q. Предполагая, что коле-

бания

происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных

колебаний.

422

Ответ-

2(1—Yb)

где

—

54.15 (1312). Исследовать колебания железнодорожного вагона

его

средней вертикальной плоскости, если

вес

подрессоренной части

вагона

расстояния центра тяжести

от вертикальных плоскостей, прове-

денных через

оси, /

= /

радиус

инерции

относительно центральной

оси,

параллельной осям вагона,

р;

жесткость

рессор

для

обеих осей одинакова:

Ответ:

х = A sin (k^

-fa), t|)

Bsm(k

$),

где

ЛГ-Вертикаль-

задаче

54.15.

ное смещение центра тяжести вагона,

>р

—

угол,

образуемый полом вагона

горизонтом;

А, В, a, ft —

по-

стоянные интегрирования;

= '\/ ~;

~~\/

-TTV.

54.16.

Исследовать малые свободные колебания груженой плат-

формы весом

Р,

опирающейся

точках

А и В на две

рессоры

оди-

наковой

жесткости

с.

Центр тяжести

платформы

грузом находится

на пря-

мой

АВ,

причем

АС —а и

СВ=Ь.

Платформа выведена

из

положения

равновесия путем сообщения центру

тяжести начальной скорости

направ-

ленной

вертикально вниз

без

началь-

ного отклонения. Массы рессор

силы

трения

не

учитывать. Момент инерции

платформы относительно горизонталь-

ной

поперечной

оси,

проходящей через

центр тяжести платформы, равен

= 0,l

-J-£

)—.

Колебания про-

исходят

вертикальной плоскости.

За

обобщенные координаты

принять:

у —

отклонение центра тяжести

от

положения равновесия

вниз,

if—

угол

поворота платформы вокруг центра тяжести.

у//////////////////////////////////////////.

задаче

54.16.

Ответ:

у =

(1 sin

Ы -

-Ц- sin

kd\,

6cg/,

_-,/".

П078

(а+Ь)

%==

сф —

а)

~~~1

сф-а) '

423

54.17 (1308). Платформа тележки опирается в точках А и В на

две рессоры одинаковой жесткости с, расстояние

между

осями рес-

сор АВ =

центр тяжести С платформы расположен на прямой АВ,

являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии АС —а —1/3

от точки А (см. чертеж к задаче 54.16). Радиус инерции платформы

относительно оси, проходящей через ее центр тяжести перпендику-

лярно

к прямой АВ и лежащей в плоскости платформы, принять

равным 0,2/; вес платформы равен Q.

Найти

малые колебания платформы, возникающие под действием

удара,

приложенного в центре тяжести платформы перпендикулярно

ее плоскости. Импульс

удара

равен 5.

Ответ:

Пусть z — вертикальное смешение центра тяжести плат-

формы,

ср-—угол поворота ее вокруг оси, указанной в условии задачи

(та и другая координаты отсчитываются от положения равновесия

центра тяжести платформы); найдем:

~щ S (

0,738

sin 1,330

j/^

t +

0,00496

sin

3,758

/<p=j/

JjL

5(0,509

sin 1,330 y ij-f — 0,180 sin

3,758

±jLt).

54.18. Две одинаковые материальные точки М

и М

весом Q

каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от кониоз

на1янутой

НИТИ,

имеющей длину 2{а-\-Ь)\ на1яжение нити равно р.

Определить частоты главных коле-

баний

и найти главные координаты.

_ i

л ' ?/, Т п

• ь 1Г Р&

• «1 у Q

Ответ

Главные координаты: 6

= у (х

+ х

), бг = -д"(

'г — -Ха)-

54.19 (1314). Определить частоты малых колебаний тяжелой мате-

риальной точки, колеблющейся около положения равновесия на глад-

кой

поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные

радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению

равновесия, равны р

и р

Ответ: к

= Л/ -£-; Л

54.20

(1315). Определить частоты малых колебаний тяжелой мате-

риальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наи-

более низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угло-

вой скоростью ш вокруг вертикальной оси, проходящей через эгу

точку. Главные радиусы кривизны поверхности в ее наинизшей

точке рх и р

Ответ:

Частоты малых колебаний являются корнями уравнения

* - h^ +1-

4-11

+ U

&•)

(ш«

4-)

= 0.

L ~Pi "Pa J

\ HJ\ hJ

424

54.21 (1316). Круглый однородный диск радиуса г и массы М

связан

шарниром со стержнем ОА длины /, могущим поворачиваться

около неподвижной горизонтальной оси. На окружности диска закреп-

лена материальная точка В массы т. Определить частоты свободных

колебаний системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вра-

щаться в плоскости колебаний стержня ОА.

Ответ:

Частоты свободных колебаний являются корнями уравнения

М + т

m r

+l] g

2 2m(M + m) g»

т r+П g

_ ^ М Г \ I

54.22.

На проволочную окружность радиуса R, плоскость кото-

рой горизонтальна, надеш дца одина-

ковых колечка, соединенные пружи-

ной

жесткости с, имеющей в не-,

напряженном

состоянии длину /

задаче 54.21.

задаче

54.22.

Определить движение колечек, приняв их за материальные точки

массы т, если в начальный момент расстояние

между

ними равня-

лось / >

/Q,

а начальная скорость равнялась нулю.

54.23. Определить малые колебания математического

маятника

длиною / и весом Р

, подвешенного к верти-

кально движущемуся ползуну А веса P

прикреплен-

ному к пружине жесткости с. Ползун при своем дви-

жении испытывает сопротивление, пропорциональное его

скорости

(Ь

— коэффициент пропорциональности).

Найти

условия, при которых в

случае

й = 0 глав-

ные частоты данной системы

будут

равны

между

собой.

Ответ:

1) х = A

sin (\fk\ — h

-)-

£i),

= A.

sin (

Ai, A

, ej, s

— постоянные интегрирования,

задаче 54.23.

455

2) Главные частоты

будут

одинаковы (при Ь — 0), если

Pi +

Рш

с=-

54.24. Два одинаковых жестких стержня длины R имеют общую

точку подвеса О. Стержни

могут

вращаться в вертикальной пло-

скости вокруг точки подвеса независимо

друг

от

друга.

К концам

стержней прикреплены два одинаковых

груза

А и В весом Р каждый,

соединенные

между

собой пружиной жесткости с. Длина пружины

ненапряженном состоянии равна /

. Пренебрегая весом стержней,

найти

уравнение для определения частот главных колебаний около

устойчивого положения равновесия грузов.

Ответ:

k* — (л

+ я

) k

+ п\п\ — f

= 0;

COS

a . gc

9 9 1 g

П* ti^ — —

"a — 9 P

cos a

%•

cos

112

r>2 2 i -РЯ

c/?

cos

a + -;f-

2 cos ot

/ Г P 1

a^arcsin,^, а /находится из уравнения l

— l\ I-| •

54.25

(1317). К движущейся по заданному закону £ = £(£) плат~

форме подвешена на пружине жесткости с

механическая система, со-

стоящая из массы т

к которой жест-

ко

присоединен в точке В поршень

демпфера. Камера демпфера, масса кото- ^ ,

рой равна /и

, опирается на пружину \

^лЛЛАЛЛЛЛЛМЛЛг^

задаче

54.24.

задаче

54.25.

жесткости с«, противоположный конец которой прикреплен к поршню.

Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости

поршня

и камеры; р — коэффициент сопротивления. Составить урав-

нения

движения системы.

Ответ:

+ ф^ — $х

+ (<?i + ^а)

-^1

—

2 =

—$£i

+ Рх

—

= 0.

54.26

(1318). Между двумя неподвижными опорами А и В натя-

нута упругая гибкая проволока. Натяжение осуществлено с помощью

426

груза Р, висящего на свисающем конце проволоки. В точках С и D

подвешены два маятника М

и М

, могущих колебаться в плоско-

стях, перпендикулярных к плоскости чертежа. Расстояния AC = CD =

t=DB = a. Массой проволоки и нитей пренебречь и рассматривать

задаче 54.26.

каждый маятник как материальную точку массой т, висящую на нити

Длиной

/. Определить частоты свободных малых колебаний системы.

Указание.

Отношение -у-~~ считать малым.

3 / P

54.27

(1319). Определить частоты свободных крутильных коле-

баний

системы, состоящей из

двух

валов, соединенных зубчатой пере-

дачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и моменты инер-

ции

зубчатых колес относительно оси валов имеют величины

= 87 500

кГсм

сек

, 7

= 56 000

кГсм

сек

, i

— 302

кГсм

сек

= 10,5

кГсмсек^,

передаточное

число k = Zi/z

— 5; жесткости

валов при кручении с

= 316х

X Ю

кГсм,

= 115 • 10

кГсм;

массами валов пренебречь.

Ответ:

^ = 54,8 сек-

;

'MIL

2,38-10

сенг\

задаче 54.27.

64.28 (1320). Определить, пре-

небрегая массой зубчатых колес,

частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в пре-

дыдущей задаче.

Ответ:

£ = 58,7 сек'

54.29 (1323). Найти частоты и формы главных поперечных коле-

баний

балки длиной /, свободно лежащей на

двух

опорах и нагру-

427

I 2

женной

в точках x = ^-/ и х = -^1 двумя равными грузами веса Q.

О О

Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости Е.

Массой балки пренебречь.

Ответ:

задаче 54.29-

—

-А- —— 1; формы главных ко-

лебаний указаны на чертеже.

54.30 (1324). Найти частоты

формы главных поперечных

колебаний балки длиной /,

опертой по концам и несущей

два груза Q] = Q и Q

— 0,5Q,

равноудаленных от опор на

расстояние -^1. Массой балки

пренебречь.

Ответ:

6,55

Им.

задаче 54.Зи.

задаче 54.31.

—

формы главных колебаний ука-

заны

на чертеже.

54.31 (1325). Найти часто-

ты и формы главных коле-

баний

двухпролетной балки,

несущей в середине * каждого

пролета по одному

грузу;

веса

грузов и длины пролетов оди-

наковы:

Qj==Q

= Q; l

—

= /. Массой балки прене-

бречь.

Ответ:

^ = 6,93 1/^; А

= 10,46 1/|^; формы главных

колебаний показаны на чертеже.

54.32 (1326). Найти частоты и формы главных колебаний

двух

одинаковых грузов Q, закрепленных на концах горизонтальной кон-

сольной балки на равных расстояниях / от ее опор. Балка длиной 3/

свободно лежит на

двух

опорах, отстоящих

друг

от

друга

на рас-

428

стоянии

/; момент инерции поперечного сечения балки J;

модуль

Юнга

материала балки Е. Массой балки пренебречь.

Ответ:

к^уТЩ;

к^Щ-

54.33

(1327). Однородная прямоугольная пластинка массой т

закреплена в конце А балки длиной /,

другой

конец которой заде-

лан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости

задаче 54.33.

совершает в этой плоскости свободные колебания около положе-

ния

равновесия.

Определить частоты и формы этих колебаний. Размеры пластинки:

а = 0,2/, Ь = 0,П. Массой балки пренебречь.

Указание. Сила

Q и

момент

М,

которые должны быть приложены

концу

балки, чтобы создать

этой точке прогиб

/ и

поворот касатель-

ной

изогнутой

оси

балки

(р,

определяются формулами

причем в рассматриваемом

случае

однородной балки, заделанной одним

_ Р I Р

концом,

P-^j, Я-jj,

Ответ:

Частоты главных колебаний равны соответственно

первое главное колебание можно рассматривать Как колебание пово-

рота вокруг точки О\, расположенной на оси балки слева от точки А

на

расстоянии О

Л =

0,612/;

второе — вокруг точки О

> расположен-

ной

на продолжении оси балки на расстоянии О

Д =

0,106/-справа

от точки А.

54.34

(1328). К первому из

двух

первоначально неподвижных

дисков, соединенных

упругим

валом жесткости с, внезапно приложен

постоянный

вращающий момент М; моменты инерции дисков J. Пре-

небрегая массой вала, определить последующее движение системы.

= ^C + ^(l -

cos

]/~2-i

');

Ответ

54.35.

Двухъярусная

шарнирно-стержневая система удерживается

вертикальном положении тремя пружинами, как эго показано на

429

чертеже. Стержни абсолютно жесткие, однородные;

вес на

длину

равен

О.

Полагая коэффициенты жесткости пружин равными

Су

— с

10(7

—-г-, определить устойчивость равновесия системы,

также частоты

формы

/i и /а

главных колебаний системы. Массой пружин

пре-

небречь;

= l

= l.

Ответ:

Равновесие устойчивое;

Л,

= 0,412 у f, £

/i==—

1,455,

3,495.

54.36.

Груз

весом

укреплен

на

вершине стойки, жестко

свя-

занной

балкой

АВ,

свободно лежащей

на

двух

опорах. Полагая,

что момент инерции попереч-

ного сечения

J, а

модули

уп-

ругости

балки

стойки

-4-

га -J

задаче 54.36.

одинаковы,

определить частоты главных изгибных колебаний системы.

Весом балки

стойки пренебречь.

Ответ: fc = 0,497 j/J£

= 1,602

64^7

(1329).

Фундамент машины весом

= Ю0

т, установленный

на

упругом грунте, совершает вертикальные вынужденные колебания

под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся

по

закону

F=l0s\nwt.

целью устранения резонансных колебаний,

обнаруживающихся

при

угловой скорости вала машины

= 100

сек'

на

фундаменте установлен

на

упругих

пружинах гаситель

виде

тяжелой рамы. Подобрать

вес

рамы

суммарную жесткость

пру-

жин

сз

гасителя

так,

чтобы амплитуда вынужденных колебаний

фун-

дамента

при

вышеуказанной скорости вала обратилась

нуль,

ампли-

туда

колебаний гасителя

не

превосходила

А = 2 мм.

•

Ответ:

= 4,9 г, с

= 5

•

т/м.

430