Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
171
Лекция 28
Таблица производных
основных элементарных функций.
Производная сложной функции
Приводятся производные основных элементарных
функций. Рассматриваются правила дифференцирования
обратной и сложной функций.
1
0
. Производная постоянной, степенной, тригоно-
метрических и показательной функций.
а) Пусть f (х)=С. Тогда
()
0
=
′
xf
, т.е.
()
0
=
′
C
.
Действительно,
()
()()
0limlim
00
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
′
→∆→∆
x
CC
x
xfxxf
xf
xx
.
б) Пусть f (x)=x
n
, n ∈N .Докажем, что
()
1
−
=
′
n
xnxf
, т.е.
()
1
−
=
′
nn
xnx
. (1)
Действительно, пользуясь биномом Ньютона, получим
()
()
() ()
−
∆++∆
−
+∆+=−∆+=∆
−−
n
nnnn
n
xxx
nn
xnxxxxxy
$
2
21
!2
1
()
()
∆++∆
−
+∆=−
−
−−
1
21
!2
1
n
nnn
xxx
nn
nxxx
$
.
Следовательно,
()
()
()
1
1
21
00
!2
1
limlim
−
−
−−
→∆→∆
=
∆++∆
−
+=
∆
∆
=
′
n
n
nn
xx
n
nxxxx
nn
nx
x
y
x
$
,
так как
() ()
0lim,,0lim,0lim
1
0
2
00
=∆=∆=∆
−
→∆→∆→∆
n
xxx
xxx
$
.
Заметим, что формула (1) имеет место при любом вещественном
показателе степени, т.е.
∀
α∈R
()
1
−αα
α=
′
xx
.
172
в) Производная функции y=sin x выражается формулой
()
xx cossin
=
′
.
Докажем ее. Имеем, что
()
()
=
∆
∆
+
∆
=
∆
−∆+
=
′
→∆→∆
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
2
cos
2
sin2
lim
sinsin
limsin
00
xx
x
x
x
x
xx
coscos1
2
coslim
2
2
sin
lim
00
=⋅=
∆
+
∆
∆
=
→∆→∆
.
Первый предел вычислили исходя из первого замечательного пре-
дела, второй – исходя из непрерывности функции cos x.
Аналогично показывается, что
()
xx sincos
−=
′
.
На основании полученных формул и правила дифферен-
цирования частного имеем:
()
() ()
xx
xx
x
xxxx
x
x
x
22
22
2
cos
1
cos
sincos
cos
sincoscossin
cos
sin
tg
=
+
=
′
−
′
=
′
=
′
;
()
x
x
2
sin
1
ctg
−=
′
.
г) С помощью второго замечательного предела можно показать, что
()
()
1,0ln
≠>=
′
aaaaa
xx
;
()
xx
ee
=
′
.
2
0
. Производная обратной функции.
Теорема 1.
Если функция у = f (х) строго монотонна и непрерывна в некото-
рой окрестности точки х
0
, имеет производную в точке x
0
и
()
0
0
≠
′
xf
,
то обратная функция x= f
–1
(y) имеет производную в соответству-
ющей точке y
0
, y
0
= f (x
0
), причем
()
()
()
0
0
1
1
xf
yf
′
=
′
−
.
Доказательство. По теореме (см. теорему 4 Л.25) обратная
функция x = f
–1
(y) существует, является монотонной и непрерывной в
173
некоторой окрестности точки у
0
. Придадим аргументу у некоторое при-
ращение
0≠∆ y
в этой точк е. Соответствующее приращение
x
∆
в
силу строгой монотонности тоже будет отличным от нуля.
Следовательно,
x/yy
x
∆∆
=
∆
∆
1
, причем, если
0→∆ y
, то и
0→∆x
.
Перейдем к пределу в этом равенстве. Будем иметь
()
x/yy
x
x
y
∆∆
=
∆
∆
→∆
→∆
0
0
lim
1
lim
или
()
()
()
0
0
1
1
xf
yf
′
=
′
−
.
3
0
. Производная логарифмической и обратных
тригонометрических функций.
а) Производная функции y=log
a
x (a > 0, a ≠1) выражается фор-
мулой
()
ax
x
a
ln
1
log
=
′
.
Действительно, логарифмическую функцию y = log
a
x можно рас-
сматривать как обратную показательной функции х = а
у
. Поэтому
()
()
ax
aa
a
x
y
y
a
ln
1
ln
11
log
==
′
=
′
.
б) Производная функции y = arcsin x выражается формулой
()
2
1
1
arcsin
x
x
−
=
′
.
Действительно, функция y = arcsin x является обратной для фун-
кции х = sin y. Поэтому, применяя правило дифференцирования обрат-
ной функции, будем иметь:
()
()
22
1
1
sin1
1
cos
1
sin
1
arcsin
xy
y
y
x
−
=
−
==
′
=
′
.
Корень взят со знаком плюс, так как
y = arcsin x ∈
ππ
−
2
;
2
и cos y >0.
Аналогично проверяются следующие формулы:
()
2
1
1
arccos
x
x
+
−=
′
;
()
2
1
1
arctg
x
x
+
=
′
;
174
()
2
1
1
arcctg
x
x
+
−=
′
.
Таким образом, найдены производные всех простейших элемен-
тарных функций, и можно составить следующую таблицу:
1)
()
0
=
′
c
;
2)
()
()
x
x
x
x
xx
2
1
,
11
и
2
1
=
′
−=
′
α=
′
−αα
;
3)
()
()
()
xxxx
eeaaaaa
=
′
≠>=
′
и1,0ln
;
4)
() ()()
x
xaa
ax
x
a
1
lnи1,0
ln
1
log
=
′
≠>=
′
;
5)
()
xx cossin
=
′
;
6)
()
xx sincos
−=
′
;
7)
()
x
x
2
cos
1
tg
=
′
;
8)
()
x
x
2
sin
1
ctg
−=
′
;
9)
()
2
1
1
arcsin
x
x
−
=
′
;
10)
()
2
1
1
arccos
x
x
−
−=
′
;
11)
()
2
1
1
arctg
x
x
+
=
′
;
12)
()
2
1
1
arcctg
x
x
+
−=
′
4
0
. Производная сложной функции.
Теорема 2.
Если функция u= ϕ(x) имеет в точке х
0
производную, а функция
y = f (u) имеет в соответствующей точке u
0
, u
0
= ϕ(x
0
), производную
()
0
uf
′
, то сложная функция y= f (ϕ(x)) имеет производную в точке х
0
и справедлива следующая формула:
175
() () ()
000
xufxy
ϕ
′
⋅
′
=
′
. (2)
Доказательство. По определению производной
()
()()
()
u
uf
u
ufuuf
uf
uu
∆
∆
=
∆
−∆+
=
′
→∆→∆
0
0
00
0
0
limlim
.
На основании теоремы 7 Л.24 можем записать, что
()
() ( )
uuf
u
uf
∆α+
′
=
∆
∆
0
0
,
где
()
u
∆α
есть БМФ при
0
→∆
u
. Следовательно,
() () ( )
uuuufuf
∆∆α+∆
′
=∆
00
.
Разделив обе части этого равенства на
x∆
, получим
()
() ()
x
u
u
x
u
uf
x
uf
∆
∆
∆α+
∆
∆
′
=
∆
∆
0
0
.
Теперь перейдем к пределу, когда
0
→∆
x
. Заметив, что и
0→∆u
, будем иметь:
()
() ()
∆
∆
∆α+
∆
∆
′
=
∆
∆
→∆→∆→∆
x
u
u
x
u
uf
x
uf
xxx
00
0
0
0
limlimlim
.
Остается учесть, что
()
()()() ()
0
0
0
0
0
lim,lim
x
x
u
xf
x
uf
xx
ϕ
′
=
∆
∆
′
ϕ=
∆
∆
→∆→∆
,
() () ()
00limlimlim
0
000
=ϕ
′
⋅=
∆
∆
∆α=
∆
∆
∆α
→∆→∆→∆
x
x
u
u
x
u
u
xxx
и получим формулу (2). Теорема 3 доказана.
Формулы производных, приведенные выше в таблице, правила
дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и пра-
вило дифференцирования сложной функции являются основными фор-
мулами дифференцирования функции. С их помощью можно найти
производную любой элементарной функции.
Пример 1. Найти производную функции
y = cos x + x arctg x +2.
176
Решение. Вначале применим правило дифференцирования сум-
мы:
()( )()
′
+
′
+
′
=
′
2arctgcos xxxy
.
Затем воспользуемся таблицей производных и правилом диффе-
ренцирования произведения:
() ( )
)1(
arctgsin0arctgarctgsin
2
x
x
xxxxxxxy
+
++−=+
′
+
′
+−=
′
.
Пример 2. Найти производные следующих функций:
a)
()
12sin
+=
xy
, б)
xy
3
ln
=
, в)
x
ey
4
cos
=
.
Решение. а) Данная функция является сложной, y = sin u,
u =2x + 1. Обе эти функции имеют производные, и по правилу диффе-
ренцирования сложной функции находим
()( ) ( )
12cos22cos12sin
+=×=
′
+
′
=
′
xuxuy
.
б) Имеем сложную функцию y = u
3
, u= ln x .Получаем
()
()
x
x
x
uxuy
2
23
ln
3
1
3ln
=⋅=
′
⋅
′
=
′
.
в) Имеем сложную функцию y = e
u
, u= cos
4
x .Получаем
()()()
′
=
′′
=
′
xexey
uu
44
coscos
.
Функция u=cos
4
x в свою очередь является сложной u = v
4
,
()
() ( )
xxxxux
334
cossin4sin4cos;cos
−=−=
′
′
=
′
=
vvv
.
Таким образом,
()
xx
exxxxey
44
cos23cos
cos2sin2cossin4
−=−=
′
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти производные следующих функций:
а)
x
exy
sin=
; б )
2
3
1
x
xx
y
++
=
; в)
x
x
y
2ctg
tg
=
; г)
x
y
cos
2
=
;
д)
xxxy ++=
; е)
0,ln
2
1
>
+
−
= a
ax
ax
a
y
; ж )
x
x
y
arccos
=
;
з)
++=
xx
eey
2
1ln
; и)
++=
2
1arctg
xxy
.
177
Лекция 29
Логарифмическое дифференцирование.
Производная неявной функции. Производные
высших порядков. Приложение производной
в экономике
Приводятся метод логарифмического дифференцирования
и правило дифференцирования неявной функции. Вводится
понятие производной n-го порядка. Даются некоторые
применения понятия производной в экономике.
1
0
. Логарифмическая производная. Предположим, что
f (x) > 0, x ∈(a, b).
Рассмотрим функцию y =lnf (x). Дифференцируя эту функцию
как сложную, y =lnu, u = f (x), получим
()()()()
()
()
xf
xf
xfuxf
′
=
′
′
=
′
lnln
. (1)
Производная от логарифма функции называется логариф-
мической производной этой функции, а последовательное примене-
ние операции логарифмирования, а затем дифференцирования назы-
вается логарифмическим дифференцированием.
С помощью этого метода найдем, например, производную пока-
зательно-степенной функции y =(u (x))
v (x)
, где u, v – некоторые функ-
ции, имеющие в точке х производные, u (x) > 0. Применяя формулу
(1), получим
()()
()
[]
() ()
[]
′
=
′
=
′
xuxxu
y
y
x
lnln v
v
.
В правой части имеем производную произведения:
() () ()
()
()
xu
xu
xxux
y
y
′
+
′
=
′
vv ln
.
Следовательно,
()()
()
() () ()
()
()
′
⋅+
′
=
′
xu
xu
xxuxxuy
x
vv
v
ln
. (2)
Пример 1. Найти производную функции y = x
x
, x >0.
178
Решение. Если положить u = x и v = x , то можно применить
формулу (2) и сразу записать производную. Мы же повторим рассуж-
дения, использованные при выводе формулы (2). Рассмотрим
ln y = x ln x .
Дифференцируя это равенство как тождество, т.е. дифференци-
руя обе его части, находим
()
1lnln
+=
′
=
′
xxx
y
y
.
Следовательно,
()
xxy
x
ln1
+=
′
.
Пример 2. Найти производную функции y = (sin x)
cosx
, x ∈(0, π).
Решение. Логарифмируя, получаем: ln y = cos x ln sin x,
()
x
x
xxxxx
y
y
sin
cos
cossinlnsinsinlncos
+−=
′
=
′
.
Отсюда имеем, что
()
xxxxy
x
sinlnsincossin
221cos
−=
′
−
.
2
0
. Производная неявной функции. Пусть функция
y = y (x) задана неявно:
F (x, y)=0. (3)
Для нахождения производной
y
′
будем дифференцировать обе
части равенства (3), считая, что х – независимая переменная, а у есть
функция переменной х. Из полученного уравнения найдем
y
′
. Проил-
люстрируем этот метод на следующем примере.
Пример 3. Найти производную функции у, заданной уравнением
y = cos (x +3y). (4)
Решение. Дифференцируем обе части уравнения (4):
()()
′
++−=
′
yxyxy 33sin
,
()()
yyxy
′
++−=
′
313sin
.
Решаем полученное уравнение относительно
y
′
:
() ()
yxyyxy 3sin3sin3
+−=
′
++
′
,
()
()
yx
yx
y
3sin31
3sin
++
+−
=
′
.
179
3
0
. Производные высших порядков. Пусть функция f (x)
имеет производную в каждой точке x ∈(a; b). Тогда на промежутке
(а; b) будет определена функция
()
xf
′
, и тоже можно говорить о ее
производной.
Назовем
()
xf
′
производной первого порядка функции f (x). Про-
изводной второго порядка функции f (x) называется производная от
функции
()
xf
′
, если она существует. Обозначается вторая производ-
ная символами
()
xfy
′′′′
,
.
Производную от второй производной называют производной тре-
тьего порядка функции f (x) и обозначают
()
xfy
′′′′′′
,
.
Производная n-го порядка является производной от производной
(n–1)-го порядка. Производная n-го порядка обозначается y
(n)
, f
(n)
(x).
Производные высших порядков широко применяются, в частно-
сти, в физике. Выясним, например, физический смысл второй произ-
водной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно и пройден-
ный ею путь описывается уравнением s = s (t), t – время. Как известно
из Л.27, первая производная от пути по времени есть мгновенная ско-
рость движения точки в момент времени t,
() ()
tst
′
=
v
. Тогда вторая
производная от пути по времени
()
ts
′′
равна скорости изменения фун-
кции скорости v (t). А это есть ускорение а (t) материальной точки в
момент времени t. Таким образом, вторая производная от пути по
времени есть ускорение, т.е.
() ()
tsta
′′
=
.
Теперь найдем производные n-го порядка для некоторых элемен-
тарных функций.
1) Найдем y
(n)
степенной функции y = x
α
, x ∈(0, +∞),
α
∈R. Очевидно,
()
()
()
⋅−αα=−αα=
′′
α=
′
−α−α
1,,1,
21
n
yxyxy
$
()
n
xn
−α
+−α⋅
1$
.
Если предположить, что
,N∈=α k
то
()
()
()
()
!121 kkkxy
k
kk
=×−==
$
,
()
()
0!
1
=
′
=
+
ky
k
.
2) Замечательным свойством обладает показательная функция
y = e
x
. Для любого n справедлива формула
(e
x
)
(n)
= e
x
. (5)
Найдем n-производную функции y = sin x. Будем иметь
π
+=
π
+=
′′
π
+==
′
2
2sin
2
cos,
2
sincos xxyxxy
,
180
π
+=
π
+=
′′′
2
3sin
2
2cos xxy
.
С по мощью метода матем а тическ ой индукции можно показать, что
()
()
π
+=
2
sinsin nxx
n
. (6)
Аналогично,
()
()
π
+=
2
coscos nxx
n
. (7)
Приведем еще одну формулу для нахождения производной n-го
порядка. Пусть y= uv, где u и v – некоторые функции, имеющие про-
изводные любого порядка. Будем последовательно находить произ-
водные от функции у:
vvvvvvvvv
′′
+
′′
+
′′
=
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
′′′
+
′
=
′
uuuuuuuyuuy 2,
,
vvvvvvvvvv
′′′
+
′′′
+
′′′
+
′′′
=
′′′
+
′′′
+
′′′
+
′′′
+
′′′
+
′′′
=
′′′
uuuuuuuuuuy 3322
.
Правые части полученных формул похожи на разложение степе-
ней бинома Ньютона (u+v)
n
, n = 1, 2, 3. Только вместо показателей сте-
пени стоят порядки производных. Сами функции u и v следует рассмат-
ривать в этом случае как производные нулевого порядка u = u
(0)
, v= v
(0)
.
Тогда можно записать формулу для производной n-го порядка:
()
()
()
() () ( )
()
()
++
′′
−
+
′
+==
−−
$vvvv
210
!2
1
nnn
n
n
u
nn
nuuuy
()( )
()() ()()
nkkn
uu
k
knknn
vv
0
!
1
++
+−−
+
−
$
$
.
(8)
Эта формула называется формулой Лейбница. Ее можно дока-
зать методом математической индукции.
Пример 4. Найти n-ую производную функции y = x
2
sin x.
Решение. Полагаем u =sin x, v = x
2
и применим формулу Лейб-
ница. Найдем
() ()
$,4,3,0,0,2,2;
2
sin
===
′′′
=
′′
=
′
π
+=
nxnxu
nn
vvvv
.
Подставляя в формулу (8), имеем