Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

181

()













−+

−













−++













2sin

1sin

sin

xnxnxnxy

() () ()













−+−+













−++













2sin1

1sin2

sin

nxnnnxnxxnx

. Применения производной в экономике. Пусть фун-

кция I = I (x) характеризует зависимость издержек производства от ко-

личества выпускаемой продукции. Предположим, что количество про-

дукции увеличивается на

∆

, т.е. равно

∆+

, соответствующие

издержки производства будут равны

()

xxI

∆+

Тогда приращению количества продукции

∆

соответствует

приращение издержек производства продукции

( ) () ()

xIxIxxI

∆=−∆+

Среднее приращение издержек производства будет равно

()

∆

Это есть приращение издержек производства на единицу приращения

количества продукции. Если перейти к пределу, когда

→∆

, то

получим значение предельных издержек производства

()

′

∆

→∆

lim

Аналогично, если выручка от реализации х единиц товара описы-

вается функцией W = W (x), то предельная выручка определяется как

()

′

∆

→∆

lim

Подобным образом в экономике определяются другие предель-

ные понятия. Например, широко применяется понятие эластичности

функции. Эластичностью функции у = f (х) относительно переменной х

называется величина

()

′

. (9)

Эластичность функции характеризует процент прироста зависи-

мой переменной, соответствующий приращению независимой пере-

менной на 1%.

182

Пример 5. Найти эластичность функции y = x

+2.

Решение. Применяя формулу (9), имеем

()

′

В частности, если, например, х = 2, то

()

4,2

⋅

Это означает, что если переменная х возрастает на 1%, то пере-

менная у увеличится на 2,4%.

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти производные следующих функций:

а) y = x

; б) y = x

sinx

; в) y = (ln x)

cosx

2. Найти производные от следующих функций у=у(х), задан-

ных неявно:

а) x

+ y

= 0; б)

; в) 1 +ln(x

+2xy + 1)=0.

3. Найти производные указанного порядка от данных функций:

а)

()

12cos

′′′

– ? б)

()

413

yey

– ?

в)

()

yxy

′′

,sinlg

– ?

г)

()

yxxy

,cos

– ? д)

()

yexy

– ?

4. Рассчитать эластичность следующих функций и найти значе-

ния эластичности для указанных х:

а) y = sin 2x,

; б) y = x

+ x + 1, x = 2; в) y =4lnx, x =e

183

Лекция 30

Дифференциал функции.

Теоремы о среднем

Вводится понятие дифференцируемой в точке функции. Ус-

танавливается его связь с существованием производной.

Дается определение дифференциала функции, рассматри-

ваются применения дифференциала в приближенных вы-

числениях. Приводятся основные теоремы дифференциаль-

ного исчисления.

. Понятие дифференцируемости функции в точке.

Выше указывалось, что операция нахождения производной называет-

ся дифференцированием. Применение этого термина оправдано сле-

дующими рассуждениями.

Функция y= f (x) называется дифференцируемой в точке х, если

ее приращение y в этой точке можно представить в виде

()

xxxAy

∆∆α+∆=∆

, (1)

где А – некоторое число, не зависящее от

()

∆α∆

– БМФ при

0→∆x

Теорема 1.

Для того, чтобы функция y= f (x) была дифференцируемой в точ-

ке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке про-

изводную

()

′

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y = f (x)

дифференцируема в точке х. Тогда справедлива формула (1). Разде-

лим обе части этого равенства на

∆

и получим

()

∆α+=

∆

По теореме 7 из Л.24 это означает, что существует

()

AxfA

′

∆

→∆

т.е.,lim

Достаточность. Предположим, что функция y =f (x) имеет произ-

водную в точке х, т.е. существует

184

()

′

∆

→∆

lim

Тогда по той же теореме 7 из Л.24 имеем

() ( )

xxf

∆α+

′

∆

где

()

∆α

– БМФ при

→∆

. Отсюда находим, что

() ( )

xxxxfy

∆⋅∆α+∆

′

=∆

т.е. функция y =f (x) дифференцируема в точке х.

Таким образом, в формуле (1) можно положить

()

xfA

′

. Дифференциал функции и приближенные вы-

числения с помощью дифференциала. Пусть функция

y = f (x) дифференцируема в точке х. Тогда приращение функции в

этой точке может быть записано по формуле (1) в виде

()

xxxAy

∆⋅∆α+∆⋅=∆

, (2)

где

()

0lim

=∆α

→∆

. Второе слагаемое

()

∆⋅∆α

является БМФ более

высокого порядка по сравнению с функцией

xA ∆⋅

(при условии, что

A ≠0),

() ()

0limlim

∆α

∆

∆∆α

→∆→∆

. Поэтому первое слагаемое

xA ∆⋅

является главной частью приращения

∆

, причем это слагае-

мое есть линейная относительно

∆

функция. Главная, линейная

относительно

x∆

часть приращения функции

∆

в точке х называ-

ется дифференциалом функции y = f (x) в этой точке. Для обозначения

дифференциала используется символ

xAdy ∆⋅=

Если А = 0, то

∆⋅

не является, вообще говоря, главной час-

тью приращения

∆

. В этом случае по определению полагают dy =0.

Учитывая теорему 1, а именно, что

()

xfA

′

, можно записать, что

()

xxfdy

∆⋅

′

. (3)

Теперь найдем дифференциал функции f (x)=x. Применяя фор-

мулу (3), имеем

()

xxxdy

∆=∆⋅

′

Поэтому определяют дифференциал независимой переменной х

185

следующим образом: полагают

xdx ∆=

. Тогда формулу (3) можно за-

писать в виде

()

dxxfdy

′

Заметим, что производную функции y = f (x) обозначают

или

()

xdf

Обратимся снова к формуле (2). На основании вышеизложенного

можно записать, что

dyy ≈∆

или

()()()

xxfxfxxf

∆⋅

′

≈−∆+

. (4)

Формула (4) часто используется в приближенных вычислениях.

Покажем ее применение на следующих примерах.

Пример 1. Найти приближенное значение e

0,2

Решение. Воспользуемся формулой (4). Очевидно, в данном

случае f (x)=e

. Положим х = 0,

2,0

=∆

Будем иметь:

()

xeee

xxxx

∆

′

≈−

∆+

или

.2,12,01,2,0

2,0002,0

=+≈⋅=− eeee

Итак, e

0,2

≈1,2. Более того, при малых

∆

и x =0 мы получим

формулу

∆+≈

∆

. (5)

При применении формулы (4) важно правильно выбрать точку х

∆

Пример 2. Найти приближенное значение sin 29°.

Решение. Нам известно значение sin 30°, равное 0,5. Воспользуемся

им и формулой (4). В качестве

∆

следует взять радианную меру 1°,

т.е. величину

180360

2 π

со знаком минус. Имеем

()

xxxxx

∆⋅≈−∆+

cossinsin

180

−=∆x

Поэтому получим, что

4849,0

1802

1806

cos

sin29sin

≈

−=

⋅

−

≈

186

. Теоремы о среднем. Рассматриваемые в этом пункте

теоремы о среднем значении называют еще основными теоремами о

дифференцируемых функциях.

Говорят, что функция y = f (x) имеет в точке x

локальный макси-

мум (минимум), если существует δ–окрестность (x

– δ; x

+ δ) такая, что

( ) () ( ) () ( )

()

000

xx x fxfx fxfx

δδ

∀∈ − + ≤ ≥

Локальный максимум и локальный минимум объединяются об-

щим термином – локальный экстремум. Локальными называются свой-

ства функции, которые имеют место в некоторой окрестности той или

другой точки.

Теорема Ферма.

Пусть функция f определена на интервале (a; b) и в некоторой

точке x

∈(a, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x

существует производная, то

она равна нулю, т.е.

()

′

Геометрический смысл те-

оремы Ферма состоит в том, что

если в точке x

∈(a, b) функция

имеет локальный минимум или

максимум (рис. 1), то касательная

в этой точке к графику функции

y = f (x) параллельна оси Ох, т.е .

угол наклона касательной к оси

Ох равен нулю, и

()

00tg

′

Теорема Ролля.

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема

на интервале (a; b) и на

концах отрезка [a; b] при-

нимает равные значения,

f (a)=f (b), то существу-

ет точка c ∈(a; b), в кото-

рой

()

′

сf

Геометрический

смысл этой теоремы зак-

лючается в том, что у гра-

фика непрерывной на от-

Рис. 1

Рис.2

187

резке [a; b] функции, принимающей на концах равные значения и диффе-

ренцируемой на (a; b), существует точка (с; f (с)), в которой касательная

параллельна оси Ох.

Иначе говоря, такая функция внутри отрезка [a, b] будет иметь

экстремум (например, в точке c∈(a; b)) и по теореме Ролля

()

′

сf

Теорема Лагранжа.

Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема

на интервале (a, b), то существует точка c∈(a; b), такая, что спра-

ведлива формула:

() ()

()

afbf

′

−

. (6)

Рассмотрим геометри-

ческий смысл теоремы Лаг-

ранжа.

Из

MKN∆

имеем, что

() ()

afbf

−

==α

т.е. левая часть равенства (6)

есть тангенс угла наклона се-

кущей MN к оси Ох. Правая

часть равенства (6) есть

тангенс угла наклона

касательной в некоторой

точке c ∈(a; b). Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что

найдется точка c ∈(a; b), в которой касательная к графику функции

параллельна секущей, соединяющей концы графика функции (точки

(a; f (a)) и (b; f (b)).

Соотношение (6) можно записать в виде:

() () ()( )

abcfafbf

−

′

=−

. (7)

Формулу (7) называют формулой конечных приращений .

Теорема Коши.

Если функции f и g непрерывны на отрезке [a; b], дифференциру-

емы на интервале (a; b), причем

()

≠

′

, то существует точка

c ∈(a; b), такая, что справедливо равенство:

Рис.3

188

() ()

()

agbg

afbf

′

−

Пример 2. Найти дифференциал функции y = x

+2x +2 в точке

х = 1 двумя способами:

а) выделяя главную, линейную относительно

x∆

часть прира-

щения

y∆

;

б) по формуле (3).

Решение. Придадим в точке х приращение аргументу

x∆

найдем соответствующее приращение функции

∆

()()()()

()

=++−+∆++∆+=−∆+=∆

2222

xxxxxxxfxxfy

() ( ) ()

1222

xxxxxxx

∆+∆+=∆+∆+∆

Если x ≠–1 , то главной, линейной отно сительно

∆

, частью

приращения функции

y∆

является величина

()

∆+

, т.е.

()

xxdy

∆+=

. Заметим, что в данном случае

()()

∆=∆α

Если искать дифференциал по формуле (3), то найдем:

() ( ) () ( )

xxxxfdyxxxf

∆+=∆

′

=+=+=

′

121222 и

Если положить х = 1, то

xdy ∆= 4

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти дифференциал функции y= x

+ x

+ 1 в точке х =–1 дву-

мя способами:

а) выделяя главную, линейную относительно

∆

, часть прира-

щения функции

y∆

;

б) по формуле (3) напишите выражения для

()

∆α

2. Прямолинейное движение точки задано уравнением

s =2t

+ t + 1, где время t выражается в секундах, а путь s – в метрах.

Найти приращение и дифференциал пути s в момент времени t = 1c и

сравнить их при :

а)

ct 1,0

=∆

; б)

ct 2,0

=∆

; в)

ct 1=∆

3. Найти дифференциал функции у в точке х, если:

а)













−+= 1ln

xxy

; б)

xey

; в)

y arctg

4. Используя формулу (4), найти приближенные значения:

а) cos 61

; б)

01,1

; в) arctg 1,1; г) arcsin 0,51; д) lg 11.

189

Лекция 31

Правило Лопиталя. Формула Тейлора

С помощью теорем о среднем выводятся правила для

эффективного нахожд ения пределов. Рассматривается

одна из главных фор мул высшей математики – фор мула

Тейл ора.

. Правило Лопиталя. Пусть функции f и g дифференци-

руемы в некоторой окрестно сти точки x = a, f (a)=g(a)=0 и

0)( ≠

′

при x ≠a. Тогда, пользуясь теоремой Коши, можно записать:

)(

)()(

agxg

afxf

′

−

где точка c находится между точками x и a. Иначе говоря,

)(

′

Если x→a , то c→a и, следовательно, если существует

)(

lim

′

→

то существует и пре дел

)(

lim

→

. Это утверждение и назыв ают правилом

Л опиталя. Сформулируем его более строго в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (правило Лопиталя).

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некото-

рой окрестности точки а , за исключением, может быть, самой

точки а. Пусть функции f и g являются БМФ при x→a и

0)( ≠

′

окрестности точки а. Тогда, если существует

)(

lim

′

→

, то

)(

lim

)(

lim

axax

′

→→

. (1)

Таким образом, в данном случае предел отношения двух БМФ сво -

дится к пределу отношения их производных, что часто является весьма

удобным приемом при вычислении пределов. Проиллюстрируем это на

примере.

190

Пример 1. Найти предел

2tg

4sin

lim

→

Решение. В данном случае условия правила Лопиталя выполня-

ются. Функции f (x) = sin 4x и g(x) = tg 2x являются дифференцируемыми

функциями, например, на интервале













ππ

−

;

и f(0) =g(0) = 0. Приме-

ним формулу (1):

⋅

′

→→→→

xxxx

2cos4coslim2

21/cos2

4cos4

lim

)2(tg

)4(sin

lim

2tg

4sin

lim

000

22coslim4coslim2

→→

Таким образом, первоначально мы имеем неопределенность вида

после пере-

хода к пределу отношения производных такая неопределенность уже отсутствует .

Если функции f и g дважды дифференцируемы в некоторой

окре стности точки а,

0)()()()( =

′

== agafagaf

и существует

)(

lim

′′

→

, то имеет место равенство:

)(

lim

)(

lim

axax

′′

→→

Это означает, что е сли

)(xf

′

)(xg

′

, в свою очередь, являются

БМФ при x →a, то правило Лопиталя применимо к пределу

)(

lim

′

→

Нетру дно сформулировать условия, при которых справедлива следующая формула:

)(

lim

)(

lim

)(

axax

→→

. (2)

Пример 2. Найти предел

sin

lim

−

→

Решение. Функции f (x) =x–sin x и g(x) =x

являются БМФ при

x →0. Применяя правило Лопиталя, найдем: