Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
191
2
0
3
0
3
0
3
cos1
lim
)(
)sin(
lim
sin
lim
x
x
x
xx
x
xx
xxx
−
=
′
′
−
=
−
→→→
.
Очевидно,
xxf cos1)( −=
′
и
2
3)(
xxg =
′
также являются беско-
нечно малыми при x →0. Поэтому имеем:
x
x
x
x
x
xx
xxx
6
sin
lim
)3(
)cos1(
lim
sin
lim
0
2
0
3
0
→→→
=
′
′
−
=
−
.
По следний предел есть первый замечательный предел. Однако и
его можно вычислить с помощью правила Лопиталя:
6
1
)(coslim
6
1
)(
)(sin
lim
6
1sin
lim
00
3
0
==
′
′
=
−
→→→
x
x
x
x
xx
xxx
.
При вычислении этого предела можно было воспользоваться фор-
мулой (2), положив n=3.
Правило Лопиталя остается в силе и в случае a=∞ или
a=±∞ . В частности, если функции f и g являются БМФ при x →∞ и
существует
)(
)(
lim
xg
xf
x
′
′
∞→
, то
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
xx
′
′
=
∞→∞→
.
Действительно,
)(
)(
lim
1
1
lim
11
11
lim
1
1
lim
)(
)(
lim
0
2
2
00
xg
xf
t
g
t
f
t
t
g
t
t
f
t
g
t
f
xg
xf
xtttx
′
′
=
′
′
=
−
−
=
=
∞→→→→∞→
.
Итак, мы рассмотрели случай отыскания предела частного
)(
)(
xg
xf
,
когда функции f (x) и g(x) являются БМФ при x→a. Теперь рассмотрим
такой же предел, когда функции f (x) и g(x) являются ББФ при x →a.
Можно показать, что в этом случае имеет место утверждение, анало-
гичное теореме 1. При этом можно полагать, что a = ∞ или a=±∞.
Пример 3. Найти
x
x
x
2
ln
lim
+∞→
.
Решение. Функции f (x) = ln
2
x и f(x) =x являются ББФ при
x →+∞. Применим правило Лопиталя:
192
x
x
x
x
x
x
xxx
ln
lim2
1
1
ln2
lim
ln
lim
2
+∞→+∞→+∞→
=
⋅
=
.
Очевидно, целесообразно еще раз применить правило Лопиталя.
Получим
0
1
lim2
1
/1
lim2
ln
lim
2
===
∞+→∞+→∞+→
x
x
x
x
xxx
.
2
0
. Формула Тейлора. Широкое применение в математике и
в ее приложениях имеет формула Тейлора. Обратимся к ее выводу. Пусть
функция f имеет производную в точке а. Можно записать:
)(
)()(
lim
0
af
h
afhaf
h
′
=
−+
→
.
Как уже отмечалось в Л.30, это равенство можно записать в виде
hhhafafhaf )()()()( α+
′
=−+
или
hhhafafhaf )()()()( α+
′
+=+
, (3)
где α(h) – БМФ при h →0 . Поскольку α(h) h= o(h) при h →0 , то
формулу (3) можно запис ать в виде
)()()()( hohafafhaf +
′
+=+
. (4)
При h→0 величина o(h) быстрее стремит ся к нулю, чем h. Если
этой величиной пренебречь, то получим следующую приближенную
формулу:
hafafhaf )()()(
′
+≈+
. (5)
(Формула (5) практически есть не сколько иная запись форм улы (4)
из Л .30). Эта формула позволяет любую, может быть, достаточно
сложную функцию f(a+h) переменной h заменить более про стой ли-
нейной относительно h функцией
hafaf )()(
′
+
. Этим приемом мы уже
пользовались в приближенных вычислениях.
Погрешность форму лы (5) мала по сравнению с h. Но мож ет возник-
нуть зада ча , чтобы получить более то чную, чем (5), формулу, например,
чтобы погрешность была мала по сравнению с h
2
при h→0. В этом случае
вместо формулы (4) естественно искать формулу следующего вида:
f (a+h)=c
0
+c
1
h+c
2
h
2
+o(h
2
),
193
где c
0
, c
1
, c
2
– некоторые постоянные числа. В эт ом случае функция f (a+h)
заменяется многочленом второй степени.
В общем случае можно поставить задачу так: найти многочлен
n-ой степени P
n
(h) =c
0
+c
1
h+c
2
h
2
+ ... + c
n
h
n
такой, чтобы имело место
равенство:
f (a+h) =P
n
(h) +o(h
n
).
Если ее решить, то любую функцию, мож ет быть, достаточно слож-
ную, можно заменить многочленом P
n
(h). Многочлен удобен при ис-
следовании. Погрешность такой замены будет мала по сравнению с h
n
.
Эта задача нами решена в случае n=1. Мы полагали, что функ-
ция f имеет в точке а первую производную.
В общем случае будем полагать, что функция f имеет в некото-
рой окрестно сти точки а, производные до порядка n включительно. В
этом случае имеет место следующее соотношение:
)(
!
)(
...
!2
)(
)()()(
)(
2
nn
n
hoh
n
af
h
af
hafafhaf
+++
′′
+
′
+=+
. (6)
Эта формула носит название формулы Тейлора.
Чтобы ее доказать, достаточно установить, что
0
)(
lim
0
=
ϕ
→
n
h
h
h
, где
)()()( hPhafh
n
−+=ϕ
,
n
n
n
h
n
af
h
af
hafafhP
!
)(
...
!2
)(
)()()(
)(
2
++
′′
+
′
+=
– многочлен Тейлора.
Действительно, будем иметь:
n
n
h
n
af
hafafhafh
!
)(
...)()()()(
)(
−−
′
−−+=ϕ
,
1
)(
)!1(
)(
...)()()()(
−
−
−−
′′
−
′
−+
′
=
′
n
n
h
n
af
hafafhafh
ϕ
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)()1()2()2()2(
)(
2
1
)()()()(
hafhafafhafh
nnnnn
−−−+=ϕ
−−−−
,
hafafhafh
nnnn
)()()()(
)()1()1()1(
−−+=ϕ
−−−
.
(7)
Отсюда получим, что
0)0(...)0()0(
)2(
=ϕ==ϕ
′
=ϕ
−
n
.Следовательно,
по правилу Лопиталя (см. равенство (2)) найдем, что
194
hn
h
h
h
h
h
n
h
nn
n
h
n
h
!
)(
lim
)(
))((
lim
)(
lim
)1(
0
)1(
)1(
00
−
→
−
−
→→
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
.
Теперь воспользуемся форм улой (7):
=
−
−+
=
ϕ
−−
→→
)(
)()(
lim
!
1)(
lim
)(
)1()1(
00
af
h
afhaf
n
h
h
n
nn
h
n
h
()
0)()(
!
1
)(
)()(
lim
!
1
)()()(
)1()1(
0
=−=
−
−+
=
−−
→
afaf
n
af
h
afhaf
n
nnn
nn
h
.
Таким образом, формула (6) доказана.
Величину o(h
n
) называют остаточным членом в форме Пеано фор-
мулы Тейлора. Имеют место и другие выражения для остаточного чле-
на. В частности, если предположить существование (n+1)-ой произ-
водной в некоторой окрестности точки а, то справедливо равенство
1
)1()(
2
)!1(
)(
!
)(
...
!2
)(
)()()(
+
+
+
θ+
+++
′′
+
′
+=+
n
n
n
n
h
n
haf
h
n
af
h
af
hafafhaf
, (8)
где θ – некоторое число, θ∈(0, 1) .
Формула (8) называется формулой Тейлора с остаточным чле-
ном в форме Лагранжа.
Если положить a+h=x, то, например, формула (6) будет иметь вид
...)(
!2
)(
))(()()(
2
+−
′′
+−
′
+= ax
af
axafafxf
()
nn
n
axoax
n
af
)()(
!
)(
...
)(
−+−+
.
(9)
Если здесь положить а = 0, то получим формулу Маклорена:
)(
!
)0(
...
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
nn
n
xox
n
f
x
f
xffxf
+++
′′
+
′
+=
. (10)
Пример 4. Найти формулу Маклорена для функции f (x) =e
x
.
Решение. Так как (e
x
)
(k)
=e
x
(см., например, Л.29), то
воспользовавшись формулой (9), имеем:
)(
!
...
!3!2
1
32
n
n
x
xo
n
xxx
xe
++++++=
.
Отсюда, полагая х = 1, получаем приближенное значение числа е
!
1
...
!3
1
!2
1
11
n
e +++++≈
.
195
Естеств енно, чем больше n, тем т очнее бу дет эта форму ла. Можно показать,
что если взять n=6, то погрешность б удет меньше 0,001.
Пример 5. Найти формулы Маклорена для следующих функций:
a) f (x) = sin x; б) f (x) = cos x.
Решение. Воспользуемся формулой (6) из Л.29,
π
+=
2
sinsin
)(
nxx
n
, n ∈N.
Отсюда следует, что
∈+=−
∈=
=
π
=
,12если,)1(
,,2если,0
2
sin0sin
)(
N
N
kkn
kkn
n
k
n
и
()
1,
)!12(
)1(...
!5!3
sin
2
12
1
53
≥+
−
−+−+−=
−
−
nxo
n
xxx
xx
n
n
n
.
Аналогично можно получить
()
()
12
242
)!2(
1...
!4!2
1cos
+
+−+−+−=
n
n
n
xo
n
xxx
x
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти пределы:
а)
x
x
x
2
sin1
1
lim
1
π
−
−
→
; б)
xx
xx
x
sin
sintg
lim
0
−
−
→
;
в)
3
lim
x
e
x
x
∞→
; г)
xx
x
ctg)cos1(lim
0
−
→
;
д)
xx
x
2
tg)1(lim
1
π
−
→
; е)
x
x
x
1
sinlim
∞→
; ж)
N∈
−
∞→
nex
xn
x
,lim
.
2. Найти формулу Тейлора для функции f (x) =e
x
, полагая а = 1,
n=3.
3. Найти формулу Тейлора для функции f (x) = ln x, полагая а = 1,
n=2.
4. Выяснить происхождение приближенных формул:
а)
)1;1(,
8
1
2
1
11
2
−∈−+≈+ xxxx
;
б)
)1;1(,
9
1
3
1
11
2
3
−∈−+≈+ xxxx
.
196
Лекция 32
Исследование поведения функций
с помощью производной
Изучаются условия постоянства функции и признаки
монотонности. Приводятся необходимые и достаточные
условия экстремума функции. Рассматриваются мето-
ды нахождения наибольших и наименьших значений
функций.
1
0
. Условие постоянства функции.
Теорема 1.
Пусть функция f непрерывна на промежутке Х и имеет внутри
него производную
()
xf
′
. Для того, чтобы функция f (x) была посто-
янной в Х, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 внутри Х.
Доказательство. Необходимость следует немедленно, если
f (x) = С, то
0)()( =
′
=
′
Cxf
, ∀ x ∈X.
Достаточность. Пусть
0)( =
′
xf
, ∀ x ∈X. Фиксируем некоторую
точку x
0
∈X и возьмем произвольное x ∈X. К разности f (x) –f(x
0
)
можно применить формулу конечных приращений (см. Л.30, формула (7)):
))(()()(
00
xxcfxfxf −
′
=−
,
где с – некоторая точка, находящаяся между x и x
0
. Но по условию
0)( =
′
cf
. Следовательно, f (x) =f(x
0
) ∀x ∈X. Теорема доказана.
2
0
. Условие монотонности функции.
Функция f называется неубывающей на промежутке X, если ∀x
1
,
x
2
∈X, x
1
< x
2
, справедливо неравенство
)()(
21
xfxf ≤
. Если же ∀x
1
,
x
2
∈X, x
1
> x
2
,
выполняется неравенство
)()(
21
xfxf ≥
, то функция f
называется невозрастающей на промежутке X. Неубывающая и не-
возрастающая на промежутке X функции называются монотонными.
По аналогии с последовательностями (см. Л.22) вводятся поня-
тия возрастающих, убывающих и строго монотонных функций.
Теорема 2.
Если функция f непрерывна на промежутке Х, дифференцируе-
ма внутри него и
()
0
≥
′
xf
(
()
0
≤
′
xf
) внутри Х, то функция f
является неубывающей (невозрастающей) на Х.
197
Доказательство. Пусть, например,
0)( ≥
′
xf
внутри промежут-
ка Х. Тогда возьмем произвольные точки x
1
, x
2
∈X, x
1
<x
2
. На отрезке [x
1
;
x
2
] к функции f применима теорема Лагранжа (см. Л .30):
))(()()(
1212
xxcfxfxf −
′
=−
,
где c∈(x
1
; x
2
). Так как
0)( ≥
′
cf
, то f (x
2
) ≥f (x
1
), т.е. функция f на про-
межутке Х является неубывающей.
Аналогично, при условиях теоремы 2 и
0)( >
′
xf
(
0)( <
′
xf
)
функция f возрастает (убывает) на X.
Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
y=4x
3
+9x
2
+6x +2.
Решение. Рассматриваемая функция определена на числовой
прямой. Найдем ее производную
)132(661812
22
++=++=
′
xxxxy
.
Определим интервалы знакопостоянства производной. С этой
целью решим уравнение 2x
2
+ 3x+1 = 0, x
1
= –1, x
2
=
2
1
−
.
Следовательно,
++=
′
2
1
)1(2 xxy
.
Будем иметь : если x ∈(–∞, –1) ∪
∞+− ;
2
1
, то
0>
′
y
, если же
x ∈
−−
2
1
;1
, то
0<
′
y
. Значит, на промежутках (–∞, –1) и
∞+− ;
2
1
функция возрастает, а на интервале (–1,–1/2) – убывает.
3
o
. Необходимые и достаточные условия локального
экстремума. Определения локального максимума и минимума даны
в Л.30. Подчеркнем также, что из определения следует, что эти понятия
носят локальный характер в
том смысле, что неравенство
f (x) <f(x
0
) (f (x) >f(x
0
))
может и не выполняться для
всех значений x в области оп-
ределения функции, а долж-
но выполняться лишь в не-
кот орой δ-окрестности то чки
х
0
. Следовательно, функция f
может иметь несколько ло-
кальных максимумов и не-
сколько локальных миниму-
мов (рис. 1).
Рис. 1
198
Заметим, что точка х
0
называется точкой ст рого локального макси-
мума (минимума), если для всех х из некоторой δ-окрестности точки х
0
выполняется неравенство f (x) <f(x
0
) (f (x) >f(x
0
)) при x
≠
x
0
.
Пусть функция f имеет в точке х
0
локальный экстремум и дифферен-
цируема в этой точке. Тогда по теореме Ферма (см. Л.30) имеем
0)(
0
=
′
xf
.
Таким образо м, обращение в ну ль производной дифференцир уемой функ-
ции является необ хо димым условием экстрему ма. Значения аргумента х,
при кот орых производная
)(xf
′
равна нулю, называются стационарными
то чками функции. Только стационарные т очки могут быть точками воз-
можног о экстремума у дифференцир уемой функции. О днако не каждая ста-
ционарная то чка является то чк ой экстремума. Например, ф ункция y=x
3
имеет стационарную точку х = 0 (
2
3
xy =
′
), но эта точка, очевидно, не
является точк ой экстрему ма . Поэто му целесообразно найти доста т очные
условия локального экстремума.
Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума).
Пусть функция f дифференцируема в некоторой δ-окрестности
точки х
0
. Тогда, если ∀x ∈(x
0
– δ,x
0
):
0>
′
(x)f
и ∀x ∈(x
0
; x
0
+ δ):
()
0
<
′
xf
, то в точке х
0
функция f имеет локальный максимум; если же
∀x∈(x
0
– δ,x
0
):
()
0
<
′
xf
и ∀x∈(x
0
; x
0
+ δ):
0>
′
(x)f
, то в точке х
0
фун-
кция f имеет локальный минимум. Если
(x)f
′
имеет во всей δ-окрестно-
сти один и тот же знак, то в точке х
0
локального экстремума нет.
Таким образом, если производная
)(xf
′
меняет знак при перехо-
де через точку х
0
, то функция f имеет в точке х
0
локальный экстре-
мум. Причем если производная меняет знак с “+” на “–”, то точка х
0
является точкой максимума, если же с “–” на “+”, – точкой минимума.
Очевидно, теорема 3 имеет простой геометрический смысл.
Доказательство. Пусть производная
)(xf
′
меняет знак при
переходе через точку х
0
с “+” на “–”. Возьмем произвольную точку
x ∈(x
0
– δ; x
0
). Применим теорему Лaгранжа к функции f на отрезке
[x; x
0
]. Будем иметь
))(()()(
00
xxcfxfxf −
′
=−
, c ∈(x; x
0
).
Так как x
0
–x>0 и
0)( >
′
cf
, то f(x) <f(x
0
) ∀x ∈(x
0
– δ; x
0
).
Пусть теперь x ∈(x
0
; x
0
+ δ). Применив теорему Лагранжа на от-
резке [x
0
; x] , получим:
))(()()(
00
xxcfxfxf −
′
=−
, c ∈(x
0
; x).
199
Так как x–x
0
> 0 и
0)( <
′
cf
, то f (x) <f(x
0
) ∀x ∈(x
0
; x
0
+ δ).
Таким образом, точка х
0
является точкой строгого локального
максимума функции f.
Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак
с “–” на “+” при переходе через точку х
0
. Теорема доказана.
Пусть теперь производная не меняет знак при переходе через точ-
ку х
0
. Предположим, например, что ∀x ∈(x
0
– δ; x
0
+ δ),
0)( >
′
xf
. Тог-
да по теореме 2 функция f возрастает на интервале (x
0
– δ; x
0
+ δ). Бу-
дем иметь: ∀x ∈(x
0
– δ; x
0
), f (x) <f(x
0
) и ∀x ∈(x
0
; x
0
+ δ), f(x) >f(x
0
).
Следовательно, точка х
0
не является точкой локального экстремума.
Пример 2. Найти точки экстремума функции
y=x
3
+ 3x
2
– 9x+1.
Решение. Данная функция дифференцируема на всей числовой
прямой. Найдем ее производную:
)32(3963
22
−+=−+=
′
xxxxy
.
Теперь находим стационарные точки функции:
3(x
2
+ 2x–3) = 0, x
1
= –3, x
2
= 1.
Точки x
1
= –3, x
2
= 1 являются точками возможного локального
экстремума. Воспользуемся теоремой 3. Для этого изучим знак произ-
водной при переходе через эти точки. Очевидно,
∀x ∈(–∞; –3) ∪(1; +∞):
0)( >
′
xf
и ∀x ∈(–3; 1):
0)( <
′
xf
.
Следовательно, в точке x
1
= –3 рассматриваемая функция имеет
локальный максимум, у (–3) = 28, а в точке х
2
= 1 – локальный мини-
мум, у (1) = –4.
Часто удобно применять при исследовании точек возможного
локального экстремума следующую теорему.
Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума).
Пусть точка х
0
есть стационарная точка функции f, в которой
существует вторая производная
()
0
xf
′′
. Тогда, если
()
0
0
<
′′
xf
, то
точка х
0
является точкой локального максимума функции f, если
()
0
0
>
′′
xf
, то точка х
0
является точкой локального минимума.
Второе достаточное условие экстремума удобно тем, что в дан-
ном случае исследуется знак второй производной
(x)f
′′
только в са-
мой стационарной точке.
200
Доказательство теоремы 4. Запишем формулу Тейлора для
функции f в точке х
0
с остаточным членом в форме Пеано, n=2,
))(()(
2
1
))(()()(
2
0
2
00000
xxoxx)(xfxxxfxfxf −+−
′′
+−
′
+=
.
Так как точка х
0
– стационарная точка функции f, то получим, что
))(())((
2
1
)()(
2
0
2
000
xxoxxxfxfxf −+−
′′
=−
.
Остаточный член можно представить в виде
o((x – x
0
)
2
)=α(x)(x – x
0
)
2
,
где α(x) – БМФ при x
→
x
0
. Будем иметь:
2
000
)))(()(
2
1
()()(
xxxxfxfxf −α+
′′
=−
.
Пусть, например,
0)(
0
>
′′
xf
. Тогда в некоторой δ -окрестности
точки х
0
будет выполняться и следующее неравенство:
0)()(
0
>α+
′′
xxf
.
Это означает, что в этой δ -окрестности будет
f (x) –f(x
0
)>0, x ≠x
0
.
Следовательно, точка х
0
является точкой локального минимума
функции f.
Аналогично рассматривается случай, когда
0)(
0
<
′′
xf
.
Обратимся теперь к примеру 2. Найдем вторую производную
функции y,
)1(6 +=
′′
xy
. Очевидно,
012)3( <−=−
′′
y
,
012)1( >=
′′
y
.
Следовательно, в соответствии со вторым достаточным усло-
вием тоже можно сделать заключение, что точка х = –3 является
точкой локального максимума, а точка х = 1 – точ кой локального ми-
нимума.
4
0
. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]. По второй теоре-
ме Вейерштрасса (см. Л.26) функция f принимает на отрезке свое наи-
большее и наименьшее значения. Поставим вопро с об их отыскании.
Пусть, например, требуется отыскать наибольшее значение функции
f. Тогда нужно найти все точки локального максимума, найти значе-
ния функции в этих точках. Наибольшее значение может достигаться
также на одном из концов отрезка. Поэтому, сравнив значения функ-
ции во всех точках локального максимума и значения f (a) и f (b), найдем