Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

201

наибольшее из них. Оно и будет наибольшим значением функции f на

отрезке [a; b].

Аналогично находится наименьшее значение функции f на

отрезке [a; b].

Если функция f дифференцируема на (а; b), то можно поступить

следующим образом: найти все стационарные точки функции f на

(а; b), вычислить значения функции в стационарных точках и

значения f (a) и f (b), тогда наименьшее из них будет наименьшим зна-

чением функции на отрезке [a; b], наибольшее из них – наибольшим

значением функции.

Задача об отыск ании наибольшего и наименьшег о значения функции

часто в озникает в приложениях, в том числе в экономике.

! Задания для самостоятельной работы

1. Определить промежутки монотонности следующих функций:

а) y=1 – 4x–x

; б )

−

;

в)

166

−−

2. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) y=2x

+ 3x

– 12x+5; б) y=x(x–1)

(x–2)

;

в)

()()

−−

; г) y=2sin 2x+sin 4x.

3. Определить наибольшее и наименьшее значения следующих

функций на указанных отрезках:

a ) y=x

(x–12)

, на [–1, 2]; б) y=x

-x

на [–1, 1].

4. Доказать неравенство e

≥1 + x, x ∈R .

5. Кусок проволоки длины l согнуть в виде прямоугольника так,

чтобы площадь последнего была наибольшей.

202

Лекция 33

Выпуклость, точки перегиба и асимптоты.

Построение графиков функций

Рассматриваются понятия выпуклой функции, точек

перегиба и асимптот графика функции. Приводится

общая схема построения графиков функции.

. Выпуклые функции. Пусть функция f дифференцируе-

ма на интервале (а; b). Тогда в каждой точке ее графика существует

касательная. Будем говорить, что функция f на интервале (а; b)

выпукла вверх, если ее график расположен ниже любой касательной

на (а; b); если же график функции расположен выше любой касатель-

ной на (а; b), то функция называется выпуклой вниз (рис. 1).

Теорема 1.

Если функция f имеет на интервале (а; b) вторую производную

0≥

′′

(x)f

(

0≤

′′

(x)f

) во всех точках x ∈ (a; b), то функция f выпукла

вниз (выпукла вверх) на (а; b).

Доказательство. Пусть ∀x ∈(a; b):

0≥

′′

(x)f

. Возьмем произ-

вольную точку x

∈(a; b) . Запишем уравнение касательной к графику

функции f в точке col(x

; f(x

)) (см. Л. 27, уравнение (2)):

))(()(

000

xxxfxfy −

′

. (1)

Теперь запишем формулу Тейлора для функции f в точке x

остаточным членом в форме Лагранжа (см. Л.31, формула (8)), n=1:

Рис. 1

203

0000

))((

))(()()(

xxfxxxfxfxf −θ

′′

+−

′

где точка θ находится между x и х

Отсюда можно получить, что

))(()())((

)(

000

xxxfxfxxfxf −

′

+=−θ

′′

−

. (2)

Так как

0))((

≥−θ

′′

xxf

и правые части равенств (1) и (2)

совпадают, то из сравнения их левых частей следует, что значение у

ординаты ка сательной не больше значения функции в точке х. Значит,

график функции f находится выше касательной, и функция f является

выпуклой вниз.

Аналогично рассматривается случай, когда

0)( ≤

′′

Говорят, что точка (x

; f (x

)),

()

bax ;

∈

является точкой перегиба

непрерывной функции f , если слева и справа от этой точки

функция f имеет разные направления выпуклости.

Так, например, точка О (0; 0) является точкой перегиба функции

y=x

. Так как

xy 6=

′′

и ∀x ∈(–∞; 0),

′′

и ∀x ∈(0;+∞)

′′

, то

на промежутке (–∞; 0) функция y=x

выпукла вверх, а на

(0; +∞) – выпукла вниз, и точка х = 0 является точкой, разделяющей

промежутки выпуклости разной направленности.

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба).

Пусть точка (x

; f (x

)), x

∈(a; b) является точкой перегиба

функции f. Тогда, если в точке x

функция f имеет вторую производ-

ную, то

′′

)(xf

Таким образом, условие

0)( =

′′

играет такую же роль в отноше-

нии точек перегиба, как условие

0)( =

′

в отношении точек локаль-

ного экстремума. Оно необходимо, но не достаточно. Так, например,

функция f (х) = х

имеет вторую производную

12)(

xxf =

′′

0)0( =

′′

но точка О (0; 0) не является точкой перегиба функции, так как

0)( ≥

′′

, x∈(–∞; +∞), и функция f выпукла вниз на (–∞; +∞).

Не будем проводить доказательства теоремы 2. Заметим лишь,

что, например, при условии существования непрерывной второй про-

изводной в окрестности точки x

является вполне естественным ее

равенство нулю в этой точке, так как, с одной стороны, от x

0)( ≤

′′

, а, с другой стороны, от точки x

0)( ≥

′′

204

Теорема 3 (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция f имеет вторую производную

)(xf

′′

в некоторой

окрестности точки x

. Тогда, если вторая производная

)(xf

′′

имеет

разные знаки слева и справа от точки x

, то точка (x

; f (x

)) является

точкой перегиба графика функции f.

Действительно, если производная

)(xf

′′

имеет разные знаки слева

и справа от точки x

, то по теореме 1 это означает, что функция f является

выпуклой с разной направленностью слева и справа от точки x

, т.е. точ-

ка (x

; f (x

)) есть точка перегиба графика функции f.

. Асимптоты графика функции.

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой

графика функции у =f(х), если хотя бы один из односторонних пределов

)(lim

+→

или

)(lim

−→

равен (+∞) или (–∞).

Так, график функции y=1/x имеет вертикальную асимптоту х=0,

потому что

+∞=

+→

lim

−∞=

−→

lim

Теперь предположим, что функция f определена на промежутке

(a; +∞) .

Говорят, что прямая y=kx+l является наклонной асимптотой

графика функции f при x →+∞, если функция f представима в виде

f (x) =kx+l+α(x), (3)

где α(x) – БМФ при x →+∞. При k = 0 эту асимптоту называют горизон-

тальной.

Очевидно, и в случае вертикальной асимптоты, и в случае на-

клонной асимптоты характерным признаком является неограниченное

сближение графика функции и прямой, являющейся асимптотой.

Теорема 4.

Для того, чтобы график ф ункции f име л наклонную асимптоту при

x→+∞, необ ходимо и достато чно, чтобы существовали к онечные пре де лы:

+∞→

)(

lim

()

lkxxf

=−

+∞→

)(lim

. (4)

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции f

имеет асимптоту y=kx+l при x →+∞, т.е. справедливо соотношение (3).

Тогда из этого соотношения имеем, что

205

xlkx

xxx













++=

+∞→+∞→+∞→

)(

lim

)(

lim

)(

lim

αα

()()

lxlkxxf

=α+=−

+∞→+∞→

)(lim)(lim

Достаточность. Пусть существуют пределы (4). Из второго

равенства имеем, что f (x) –kx=l+α(x), где α(x) – БМФ при

x →+∞. Это означает, что равенство (3) имеет место.

Теорема доказана.

Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается

теорема 4 для случая x →–∞.

. Общая схема исследования поведения функций

и построения графиков функций. Для полного исследования

поведения функций и построения графиков функций можно рекомен-

довать следующую схему:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции, вертикальные асимптоты (если

существуют), точки пересечения с осями координат;

3) определить четность (нечетность), периодичность функции;

4) найти промежутки монотонности функции и точки локального

экстремума;

5) определить промежутки выпуклости функции и точки перегиба;

6) выяснить вопрос о существовании наклонных асимптот;

7) на основании полученных данных построить график функции

(иногда полученные данные сводят в таблицу).

Приведем пример, иллюстрирующий эту схему.

Пример 1. Построить график функции

−

Решение. 1) Областью определения данной функции является

вся числовая прямая.

2) Функция непрерывна на R. Вертикальных асимптот не имеет.

График функции ось Ox не пересекает, так как ∀x ∈R : f(x)>0.

Если х=0, то у=1, и ось Oy график функции пересекает в точке (0; 1).

3) Функция является четной, так как ∀x ∈R:

==−

−−

)(

exf

)(

xfe

−

. Свойством периодичности функция не обладает.

4) Найдем производную функции:

xey

−

−=

′

Очевидно,

0)( >

′

, x ∈(–∞; 0), и

0)( <

′

, x ∈(0; +∞).

Следовательно, функция является возрастающей на промежутке

(–∞; 0) и убывающей на (0; +∞).

206

Стационарной точк ой яв ляется только точка х=0. Из пре дыдущег о сле-

дует, что точка х=0 яв ляется то чкой локального максиму м а, у (0) = 1.

5) Найдем вторую производную:

()

12242

222

−=+−=

′′

−−−

xeexey

xxx

Найдем точки, в которых вторая производная обращается в нуль,

т.е. точки возможного перегиба:

,0)12(2

2,1

±==−

−

xxe

Отсюда следует, что













∞+∪













−∞−∈>

′′

;

;,0)( xxy













−∈<

′′

;

,0)( xxy

Таким образом, функция

−

является выпуклой вниз на проме-

жутках













−∞−

;













∞+;

и выпуклой вверх на интервале













−

;

. Значит, точки













;

col

являются точками перегиба.

6) Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот:

limlim

)(

lim

===

+∞→

−

+∞→+∞→

()

0lim))(lim

==−

−

+∞→+∞→

ekxxf

Следовательно, прямая у=0 (ось Ox) является горизонтальной асимпто-

той при x→+∞. Очевидно, эта прямая является асимпто той и при x →–∞ .

Рис. 2

207

7) Для построения график а полученные результа ты сведем в табл.1.

На основании полученных данных строим график (рис. 2). Полученная

кривая называется кривой Гаусса. Заметим также, что в силу четности фун-

кции и симметричности графика относительно оси Oy можно было иссле-

довать функцию лишь на промежутке (0, +∞). .

! Задания для самостоятельной работы

1. Определить промежутки выпуклости и точки перегиба следую-

щих функций:

а) y=x

– 6x

+ 12x+4; б) y=sin x; в) y=x–sin x;

г)

; д) y=(1 +x

) e

2. Найти асимптоты графиков следующих функций:

а)

; б)

−

; в)

−

;

г)

; д)

sin

3. Построить графики указанных функций:

а) y=x

– 3x

; б)

; в)

−

; г)

3+= xxy

;

д) y=x+2 arctg x ; е) y=ln(1 +e

–x

); ж)

2sin

sin

xy +=

Таблица 1

208

Лекция 34

Первообразная и неопределенный интеграл

Вводятся понятия первообразной и неопределенного

интеграла. Изучаются их основные свойства. Приводит-

ся таблица основных интегралов.

. Первообразная. Основной операцией дифференциально-

го исчисления является отыскание производной заданной функции.

Однако, естественно, возникает вопрос о существовании операции,

обратной дифференцированию. Восстановление функции по извест-

ной производной этой функции есть основная задача интегрального

исследования.

Функция F называется первообразной для функции f на некото-

ром промежутке Х , если ∀x ∈X:

)()( xfxF =

′

Например, функция

()

является первообразной для фун-

кции f (x) =x

на R, так как

)(

xfx

xF ==

′













′

, x∈R .

Функция F (x) = –cos x является первообразной для функции

f (x) = sin x на R,

)(sin)cos()( xfxxxF ==

′

−=

′

Задача об отыскании первообразной по данной функции f реша-

ется неоднозначно. Если, например, F есть первообразная для функции f,

то функция F (х) + С также является первообразной для функции f. Дей-

ствительно,

)(0)()()())(( xfxfCxFCxF =+=

′

. В частности,

функция (–cos x+C), где С – произвольная постоянной, есть первообраз-

ная для функции sin x на R .

Теорема 1.

Если F

и F

– две любые первообразные для функции f на проме-

жутке Х, то они могут отличаться лишь на постоянную, т.е. F

(x) –

–F

(x)

≡

C, С – некоторая постоянная.

Другими словами, если F есть первообразная для функции f, то

множество функций F (х) + С описывает все первообразные для данной

функции f.

209

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим разность функций

и F

. Очевидно,

0)()()()())()((

2121

=−=

′

−

′

− xfxfxFxFxFxF

Следовательно, по теореме Л.32.1, F

(x) –F

(x) ≡C, что и требова-

лось доказать.

Таким образом, если известна хотя бы одна первообразная для дан-

ной функции f, то известно и все множество первообразных для этой

функции.

. Неопределенный интеграл. Множество всех перво-

образных функции f называется неопределенным интегралом

функции f и обозначается

∫

dxxf )(

Функция f называется подынтегральной функцией, f (x)dx –

подынтегральным выражением, переменная х – переменной интегри-

рования.

Итак, если F есть первообразная функции f на промежутке Х, то

CxFdxxf +=

∫

)()(

где С – произвольная по стоянная.

Подчеркнем, что символ

∫

dxxf )(

обозначает совокупность всех

первообразных для функции f. Но в некоторых случаях он понимает-

ся как отдельный элемент из этой совокупности, т.е. определяет какую-

либо одну функцию.

Отыскание неопределенного интеграла по подынтегральной

функции называется интегрированием этой функции.

Пример 1. Найти следующие интегралы:

а)

∫

dxx

; б)

∫

dxxsin

; в)

∫

−

dxe

Решение. Воспользовавшись таблицей производных, имеем:

а)

dxx

∫

; б)

Cxdxx +−=

∫

cossin

; в)

Cedxe

+−=

−−

∫

т.к.

′













()

xCx sincos

′

+−

()

eCe

−−

′

+−

Изучим свойства неопределенного интеграла.

210

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-

ной функции, т.е.

()

)()( xfdxxf

′

∫

Действительно,

()

)()()( xfCxFdxxf

′

∫

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подын-

тегральному выражению, т.е.

dxxfdxxfd )()( =

∫

Действительно,

()

dxxfdxdxxfdxxfd )()()(

′

∫∫

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой фун-

кции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

CxFxdF +=

∫

)()(

Действительно,

CxFdxxFxdF +=

′

∫∫

)()()(

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е. если k=const

≠

0 , то

∫∫

dxxfkdxxkf )()(

Действительно, пусть F есть первообразная для функции f.

Тогда, учитывая, что функция kF будет первообразной для функции kf,

имеем:

∫∫

=+=+=

dxxfkCxFkCxkFdxxkf )())(()()(

5) Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сум -

ме интегралов от этих функций, т.е.

∫∫∫

+=+

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

Действительно, пусть F и G – первообразные для функции f и g,

)()( xfxF =

′

)()( xgxG =

′

Тогда функция F+G является первообразной для функции f+g,

()

)()()()()()( xgxfxGxFxGxF

′

Следовательно,

=+++=+

∫∫

)()()()(

CxGCxFdxxgdxxf

()

dxxgxfCCxGxF

∫

+=+++=

)()()()()(