Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§6.
Лишки функцій
та їх
застосування
391
= —Ііт
—
2
г->о
сіг
е
2
(г -1)- е"
(2-І)
2
=
—
Ііт —
2 ---*о
е
г
(г-2)
І
(2-І)
2
1
,.
(е
2
(г-2) + е
2
)(г-1)
2
-2(г-\)е
2
(г-2)
1,.
е*((
г
-1)
2
-2(г-2))
-Ііт
:
= —пт
2-->о
(2-1Г
2:->о
(2-1Г
1,.
е
;
(г
2
-2Г
+ 1-22 +
4)
1,.
е
г
(2
2
-42
+
5)
5
=
—
Ііт =
—
Ііт -—-
= —.
2--->о
(2-І)
3
2^о
(2-І)
3
2
б)
Д
г
) = — ,
иє
N.
(2-1)
Особливою точкою заданої функції
є г =
1
-
полюс
л - го
порядку.
Для обчислення лишку скористаємось формулою (3.79)
ГЄ5/(2
0
):
(л-!)!--->г
0
^
Ііт
-_(/(*)(,-
го
)")
Тоді
.п-1
/ _2л
ГЄ8/(1)
=
-Ііт
(л-1)!
и-І
и
\
І
,п-2
2^(2-1)
,и-1
1іт-=-^(2
2я
)
=
(л-1)!---»
аг
"
-
2п-2>
- Ііт (2л
2
2
"
4
) =
-^_2л(2л
-
1)
Ііт ^—
(г
1
"'
1
)
=
(и-1)!
^\аг"~
г
(п-іу.У^сІг"'
2
2л(2л-
1)(2л-2)...(2л-(л-2))
_
2л(2л-1)(2л-2)...(л
+ 2) (л +
1)!
(л-1)!
(л
+
1)!
(2л)!
(л-1)!(л+1)!
Приклад
3.
Знайти лишки
в
особливих точках заданих
функції.
,
2
+
Л
а)
Д
г
) =
г
У
/::
;б)
/(*)
= *
•
а)/(2)
=
2
3
е
'/-".
Особлива точка заданої функції
2 = 0.
Визначимо
її
характер.
Перетворимо функцію
/(г).
/(2)
=
2
У/--=2
3
1+-
+ -
2
2!г
2
3!г
3
4!г"
-+... +
-
Л!2
І
7
П
1
2 2 1
=
2' +2 + + +•
2!
З! 4І2 5!г
:
-+...
+
-
-+....
л!г"
392
Глава
3.
Функції комплексної змінної
Отже,
2 = 0- істотно особлива точка, бо головна частина ряду має
безліч членів.
Отже,
гез /(2
0
) = с_х, тобто
ГЄ8
/(0) = = ^ .
б) /(*)=<? -'\
Особлива точка заданої функції 2 = 0.
Нехай и = г
2
+ ~, тоді
2
є" =
1
+ « + — + — +К + —+ К
2!
З! я!
або
е
,
2
=
і
+
22+_1+і
2ІА+І 1^
+К
Л
=і^+к.
2
2
2! З! я!
Л
. . . . -2-І
Оскільки в доданках присутні тільки парні степені 2 і —, то в роз-
2
кладінебуде , а членів з від'ємними степенями 2 нескінченна множина.
Отже,
2 = 0- істотна особлива точка і тоді
ГЄ8/(0)
= С_, =0.-*
Застосування
теореми Коші про лишки
до
обчислення інтегралів
Приклад
4. Обчислити інтеграли.
а)/=
] аг; 6)1 = } аг.
І,-|=4
2+2
|.-|=7з
г _2Т
•
а)/= [
^-сіі.
її
е
:
-1
В області
121
< 4 функція /(2) = — аналітична всюди, крім то-
2+2
чок2 = 0, 2 =
-1.
За теоремою Коші про лишки
і--и
22
+
Й(2 =
2Я/(ГЄ8
/(0) +
ГЄ8/(-1)).
§6.
Лишки функцій та їх застосування
393
Точка 2 = 0- усувна особлива точка, бо Ііт
0
2(2+1)
=
1
і тому
ГЄз/(0)
= 0.
Точка 2 = -1 -полюс першого порядку і тому
(е"-1)(2+1)
Є'"-1
ге8/(-1)=1іт
, —-=1іт = 1-е .
-1
2(2+1)
;->-!
2
Таким чином,
/= | -1—!<& = 2пі(1-е
-1
).
1-1
= 4
2
+2
б) /= |
ЗІП 712
І--1
= ^
Особливими точками підінтегральної функції в крузі
121
< 7з є точ-
ки 2 = 0, 2 = 1. Це усувні особливі точки, бо
81П7Г2
Ііт = Ііт
г->0
2(2-1)
г->0
3! 5!
(2и + 1)!
2(2-1)
= Ит-
;->о
З! 5!
(2и + 1)!
Або інакше
8ІП7Г2
Ііт-
---12(2-1)
Отже,
2(2-1)
2
= и + 1
2->1,
м -> 0
8Іп(тС
+
ЛИ)
= Ііт —
и->о
и(и + 1)
ГЄ8/(0)
= «8/(0 = 0.
81П7Ш
-
Ііт = -я.
и->0и(и
+ 1)
За теоремою Коші
81П7Г2
^2
= 2я/-0 = 0.^
2
-2
Приклад
5.
Обчислити
інтеграли,
а)
/ = | г
1§
яг
як;
б) / = |
=і
2 +
394
Глава 3, Функції комплексної змінної
В)7= \
г
4
+2г
2
+\
сіг.
І--'І=і
• а) / = |
2\%шсЬ
.
І-"1=1
В області |
21
< 1 функція /(г) = г
Х%
Я2
аналітична всюди, крім точок
2
= — і 2 = —-. Ці точки - прості полюси. Всі інші особливі точки містять-
( 1
4
ся поза цією областю І 2
А
.
=
^
+
^' к =
\,±2,...
Тоді
ГЄ5/|- 1=2-
ЗІП Л2
(соз яг)'
1 . 71
— зіп —
_2 2_
=
.
. л
- я зіп
—
2л
ГЄ5 / =2 ;
' 2 }
(С05Л2)
ЗІП
2 2
-Я ЗІП:
За теоремою Коші
\
б)/= 1
І 2)
/ = [ 2
•
ІВ Я2 СІ2 = 2 л
/1
+ —
1,1,
{ 2п 2и)
_1_
2л
0.
СІ2
Особливими точками підінтегральної функції в крузі
121
< 2 є точки
2
= 0- полюс третього порядку і 2 = -1 - простий полюс.
Тоді
гез /(0) = — 1іт-^-г-
2!:-»0А
2
( \
=
—
Ііт —
2-—>о<£
е
:
(г+\)-е
:
(
2 +
1)
2
1 ,. сі
=
—
Ііт —
2 - -*0 й?2
1 ,. сі
1
=
—
Ііт —-
2Ї-^О±
2
(2 + 1)
2 Є'
1(2 + 0 і
1,. (2Є
г
+Є')(2
+ 1) -2Є- -2(2 + 1)
=
—
Ііт
2 ;~>о
Ііт
Є-(2"
+ 22 + 1-22)
(2 + 1)"
г
-»о 2(2+ 1)"
Ііт
Є
1
2
і
+1 1
:->о 2 (2 + 1Г
§6.
Лишки функцій та їх застосування
395
ге8/(-1)=-^—7
(2+1)
За теоремою Коші
= —е
-1
,4=2
2
3
(2
+ 1) І2 е\
з)/= І
|г-,|
=
1
2
4
+2г
2
+1
Особливою точкою підінтегральної функції /(2) =
2
4
+22
2
+1
0
2
+1)
2
в крузі 2 - / < 1 є точка 2 =
1 —
полюс другого порядку.
Тоді
гез Д/) =1іт —
г->і
Г
Є*"(2-І)
2
1
^
- Л
Є
= 1іт —
[(2+/)
2
]
г-»і й?2
/
[(2+/)
2
]
.. Є"(2
+
/')
2
-2(2 + І>*'
Ііт — ^ —
(2
+/)
4
2е'(/-1) 0 + /)е'
Ііт
е
г
(2
+ /-2) _ е'(2/-2)
8/ 4
За теоремою Коші
Є
:
СІ2
І'-'Н
2
4
+22
2
+1
•
= 2л/
(2
+/)
3
(2/)
3
Л(1-/)е'
ТС
л
—
(1 - /)(СОЗІ + /ЗІП 1) = — (СОЗІ +5ІПІ + /(ЗІП 1 -СОЗІ)) . А
Приклад
6. Обчислити інтеграли.
а)
І = | г^вт
— сіг;
6)1- ]" (зІП^-Ч- Є" С082|і/2.
'
• а) / = [ г^&'т
—
сіг .
|г| = І
396
Глава 3. Функції комплексної змінної
Особливою точкою підінтегральної функції в крузі | 2 | <
1
є точка 2 = 0.
Розкладемо підінтегральну функцію в околі точки 2 = 0 в ряд Лорана.
'її 1 (-1)"
— —~ +—г-- + —
2
/(2)
= 2 ЗІП-= 2
ЗІ2"
5\2
(2я+1)!
,2я+1
2
1 1
=
2^ + -
З!
5І2
2
.
+
-
(-1)"
_2и-2
•
+ .
(2п + \)\2
А
Оскільки в розкладі безліч членів з від'ємним степенем 2 , то точка
2
= 0- істотно особлива точка. В наведеному розкладі функції в ряд Лорана
коефіцієнт с_\ = 0 і тому гез/(0) = с_, = 0 .
Отже, за теоремою Коші _
/= [ 2
3
зіп-<& = 2л('0 = 0.
І-І=і
б) / = |
1-1 =
. 1 л
51П-у + Є С052
2
Для підінтегральної функції /(г) = зіпД^- + е~ созг в крузі | г
|
< —
2
З
особливою точкою є точка 2 = 0, яка є істотно особливою, бо в розкладі
функції в ряд Лорана безліч членів з від'ємними степенями 2 .
У розкладі функції зіп-у вряд Лорана коефіцієнт при 2
_1
дорівнює
нулю.
Функція е~ соз2 парна. Функції е~ і соз2 всюди в крузі |г|< —
аналітичні, тому їх можна розкласти тільки в ряди Тейлора (від'ємні степені
відсутні). Отже, гез /(0) = с_
х
= 0 .
Тоді за теоремою Коші
/= |
[зІпДр
+ е"' С052 \сІ2 = 2л/-0 = 0. А
и4
1
2 }
Застосування лишків до обчислення
визначених інтегралів
Приклад 7. Обчислити інтеграл
/ =
ї Г»
0<р<1.
д
1-2/>С08Х + р
§6.
Лишки функцій та їх застосування
397
,
• Виконаємо підстановку е'
х
= 2 і після перетворень отримуємо ін-
теграл від функції комплексної змінної
2я
сіх
0
1 -2/7С08Х + р
сії
2
2
+
і
є" = 2, /* = ІП2
X
= - ІП2, й&С = -
/
/
СІ2
СОЗХ
= —І 2 Н
2 2
2
2
+1
0<х<2тс, |г| = 1
]_
г ск
/|.]
=1
г-р(г
2
+\) + р
2
г
Й2
|/|
=
,
/72
2
-(р
2
+1)2 + /2
Знайдемо полюси підінтегральної функції.
рг
2
-(р
2
+\)2 + р = 0,
(р
2
+і)±У(р
2
+
1)
2
-4р
2
2р
,
(р
2
+о±(р
2
-о
г
=
2^ '
1
2,
= /?, 2
2
= — .
(1)
Оскільки за умовою 0 < р < 1, то в крузі
121
< 1 міститься тільки один
полюс (простий) 2 = р . Обчислимо лишок функції в цій точці.
гез /(р) = Ііт
2-р
-т-^
= Ііт
п рг -{р +\)г + р ~->Р
2-р
Р(г-Р)
Р )
р р-
х
- Р
2
За теоремою Коші про лишки
г
сіг
-
Н
р
2
г-(р
2
+\)г + р
-
2тс/• гез /(р) =
2кі
398
Глава 3, Функції комплексної змінної
Підставивши отриманий результат у формулу (1), маємо
1-2/7С05р
+ р |.|
=
| р г-(р + \)г+р
.
2пі
2%
р'-І
\-р"
Застосування
лишків до обчислення
невласних
інтегралів
Приклад
8. Обчислити невласні інтеграли.
сіх
,
ч
.
+
Г сіх
а)
/ = |
в)/=
|
— ОА
•
а) /= |
(х
2
+9)
2
б)/=
\
(х
2
+1)
3
(х
2
+4х
+ 13)
2
сіх.
сіх
(х
2
+9)
2
Введемо допоміжну функцію
/(г)
= — . Вона неперервна на
(2
2
+9)
2
всій дійсній осі; має один полюс другого порядку :
0
= Зі, що міститься у
верхній півплощині.
Тому, скориставшись формулою (3.87), маємо
+
°°
сіх
\—
5-
= 2я/ге8/(3/),
-Лх
2
+9)
2
де
гез
/(Зі) = Ііт
1
-(2-з/)
2
К
2
+
9
)
Ііт
—
'
1 ^
=
Ііт
І
(--
2
+зо
3
Отже,
(б/)
3
б
3
/
сіх
„ . 2 тс
—
= 2тс;
——-
= —
,(л:
2
+9)
2
б
3
/ 54
§6.
Лишки функцій
та їх
застосування
399
б)/
= |
сіх
(*
2
+1)
3
'
Розглянемо функцію
/(г) =
-
1
—. Вона неперервна
на
всій дійс-
ній
осі; має
один полюс третього порядку
2
0
= /, що
міститься
у
верхній
півплощині. Подамо функцію
/(2) у
вигляді
/(г)--
(2
+
/)
3
(2-/)
3
, Тоді
гез
Д0 =—
Ііт—г-
21^
сії
2
1(2-/)
3
[(2
+
/)
3
(2-/)
3
)
Л
1,. сі
2 1
=
—
Ііт
1
.. сі
=
—
Ііт —
2 --->/
аг
К*+о
4
і
-4
Отже,
-3.
—
Ііт -
2
--Д2
+
О
ах
2
Й2
2
3(-4)
1
2
(2/)
5
"
1
1(-
+
0
3
і
12
2
6
-/
1І
16
'=1
(х
2
+1)
3
І 16
Зі
Зл
/Л*
2
+4х
+ 13)
2
ах.
Розглянемо функцію
Дг) = — —, яка на
дійсній
осі (при
(2
2
+42+ІЗ)
2
2
= х )
неперервна
і
співпадає
з
підінтегральною функцією
/(х) .
Знайдемо
полюси функції
Дг), що
містяться
у
верхній півплощині.
З
цією метою
знайдемо корені знаменника
2
2
+42+13
= 0,
г
= -2±4^9 ,
2
=
-2±3/,
2,
= -2 +
3 /,
2
2
= -2 -
3 /.
Точка
2, = -2 + Зі -
двократний полюс функції
/(2),
який належить
верхній півплощині. Знайдемо лишок функції
Дг) в цій
точці.
гез/(-2
+ 30= Пт —
;->-2+Зі
сІ2
2(2
-(-2
+ ЗО')
[(2
+ 2 +
30
2
(2-(-2
+ 30
2
) )
=
Ііт —
:->-2+3/
сЬ
Ц-+2+30
2
]
(2
+ 2 + Зр
2
-2(2 + 2 + Зр2
(2 + 2
+ 30
4
Ііт
->-2+3/
400
Глава 3. Функції комплексної змінної
= Ііт
-2 + 2 + 3/
2-3/
+ 2 + 3/
4/
2
+
3
'
(г+ 2 +З/)
3
(-2 + 3/ + 2 + 3/)
3
(б/)
3
б
3
(-О/ 54
Отже,
•=1
хах
(х
2
+4* +ІЗ)
2
~ . ' тс
= 2лг-— =
54 27
Приклад 9. Обчислити невласні інтеграли.
а
)
/=
1 , 2 *
2Ч2
^У, а>0; б)/=[
о
(х
2
+а
2
)
2
+ °° 2
• а) /= [ , * . , сіх, а>0.
о (*
2
+а
2
)
2
Оскільки підінтегральна функція /(х):
х
4
+ 1
сіх.
(х
2
+а
2
)
2
- парна, то
"7 •» /..2 ,
2^(*
2
+а
2
)
2
_2
А.
Введемо функцію /(г) = — —-, яка на всій дійсній осі неперерв-
(г
2
+а'У
на і співпадає з /(х). Функція /(г) має у верхній півплощині полюс другого
порядку в точці 2 = а і. Лишок функції /(г) відносно цього полюса
а" й ( -
2 4
к$/(аі) = Ііт —
(/(2)(2-а/)
2
)=
Ііт —
г->«/ 02 г->о/ (22
І (г + аі)
1
,
Ііт
2а іг
1
<"
(г + аі)
3
4аі
Використаємо формулу (3.87)
§/(х)ск = 2кіс,
де а - сума лишків функції /(г) у всіх полюсах, що розташовані у верхній
півплощині.
Тоді одержимо
х
2
<&
7
=
7 і
х'ах
-І 2л/ — - —
(х
2
+а
2
)
2
2^(
х
2
+а
2
)
2
~2 *' 4аі ~ Аа