Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§6.
Лишки функцій та їх застосування
401
б) /= |
X
і
+1
х
4
+1
ах
Оскільки підінтегральна функція /(х)
=
х
2
+1
— парна, то
х
4
+1
2 І х
4
+1
Введемо функцію /(г) =
7
2
+1
И+1
. Вона неперервна на всій дійсній осі.
Особливими точками функції /(г) є корені рівняння г = -1, тобто
г
к
=іРл,
2
к
^е
Іп+2кК1
,к =
0,1,2,3,
або.
=•
72"
Зтс;
2
5
*' 7Ї
(1 + 0,
=
о
4
=
72"
(-1-0,
(-1 + 0,
'
-4о-о.
2
7Ю
72"
2
1
2
Верхній півплощині належать точки 2
0
і 2, - прості полюси функції
/(г).
Знаходимо лишки функції /(2) в цих точках, скориставшись форму-
лою (3.81)
ГЄ8/(2
0
) = —
Ф(г
0
)
У(2
0
)
тез/
^ я; \
Є
\ )
2
2
+1
42
^
2=1' ч
е
2
+1 _
Зп;
~
4е
4
4
/ + 1
Г 7Ї .Л\
—+і—
2
2
(/ + !)(-! -0
-2/
-72/
2^2~(-1 +
0(-1-/)
471 4
тез/
Є
Зп;
2^+1
+
1
-1 +
1
Зл/
2 = Є~
9л;
4е
72
.72
— +
1
—
2
2
(-/+1)(1-/) -2/ -72/
2
Л
/Т(1
+0(1-0 472 4
402
Глава 3. Функції комплексної змінної
Отже,
Г
X +1 , 1 г X +1 , 1
І х +1 2' /+1
ах =
—
2тс/
2
4 ' 4
лл/2 я
Приклад 10. Обчислити невласні інтеграли.
X
СОЗ X
х
1
-2х + 10
ах:
6)1= І
х зіп ах
х
2
+к
2
сіх, а > 0, к > 0
.
• а) /= | -
ХС05Х
х" -2х + 10
-ах.
Підінтегральна функція є дійсною частиною функції ф(х) =
• е'
х
, значення якої на дійсній осі співпадають зі значеннями
х
1
-2х+10
функції Дг) ••
2
і
-22+10
•е'~
= Р(г)е'
:
.
Функція Р(г) =
г
г
-2г + 10
аналітична на всій дійсній осі, має у верх-
ній півплощині простий полюс 2
0
=
1
+ Зі і Ііт Р(г) = 0 . Тому, скористав-
шись формулою (3.90), отримуємо
хе
X
І
-2Х + 10
ах = 2%і гез /(г
0
) = 2л/ гез
г =
1+3;
.- =
1+3/
1
2Є
1
'- ^
2
і
-22 + 10
ДЄ
гез
2Є
2
і
-22 + 10
.. 2
Є
'->-(і + з;))
2е
а
= пт = Ііт
г
_и
+
з,
(
2
_(і +
ЗІ))(г
- (і - з/))
^>+
3
<
2-(і-зо
(1 +
3/)
Є
'
(1+3
'>
(1 + 30е"
3+
'
6/
Отже,
х
1
-2х + 10
61
ах = 2к/
(1 + 3/)Є
"
3+
'^(1+30е-
3+
'
6/ З
теє
-з
-(соз1-Ззіп1 + /(Зсоз1 + зіп1)).
§6.
Лишки функцій та їх застосування
403
Враховуючи, що е'
х
= созх + / зіп х, маємо
хсозх
х
2
-2х + 10
СІХ
+ | —
хзіпх , ке
3
, , „ .
сіх = (соз
1
- 3 зіп 1) +
х--2х + 10 З
•
теє " . , .
+ / (Зсозі+зіпі).
з
Прирівнюючи дійсні частини, маємо значення інтеграла, який треба
було обчислити за умовою.
хсозх , ке ' (созі - З зіп 1)
;
СІХ
=
_„х"-2х + 10 З
Прирівнюючи уявні частини, одночасно обчислимо інтеграл
+
°° хзіпх , ке~
3
(Зсозі + зіп 1)
,х~
-2х + 10
хзіп ах
-сіх =
-
) і 2 ^2
с
*
х
> а>0,к>0.
Оскільки підінтегральна функція парна, то
Розглядаємо |
х'+к
2
-сіх .
хзіп ах
х
2
+к
2
сіх .
хе
Підінтегральна функція є уявною частиною функції ф(х): ,
х +к
значення якої на дійсній осі співпадають зі значеннями функції /(г) =
=
2
,2
Є
= ^(
2
)
е
•
2
+к
Функція Р(г) •
2
2
+к
2
аналітична на всій дійсній осі, має у верхній
півплощині простий полюс 2
0
=ік і Ііт /
г
(г) = 0. Тому, скориставшись
формулою (3.90), отримуємо
X
е
—
~ах = 2гс/гез
/(2)
= 2л/гез
х
2
+к
2
*
=
*-='*
'
2Є
,а:
2
2
+к
2
ДЄ
гез
2 = ік
2Є
+ к
2
=
Ііт
<
2Є^
2
2
+к
2
(і-ік)
=
Ііт
:
— Є
-ак
ікг
+ ік 2
404
Глава
3.
Функції комплексної змінної
Отже,
+
С0
ХР
ШХ
1
-ОО
х
2
+/с
2
Враховуючи,
що е'
ах
=
соз<зх+/ зіп
ах,
маємо
+ ОО +
00
.
хсозах
Г леєрах
, . (•
,
х + к
хзгпах
, . _
а
ь
сіх=ше " .
х
2
+к
2
Звідси, прирівнюючи уявні частини, маємо
+
00
і-
хзіп
ах , _
0
ь
-ах=яе
ак
,
к
2
+к
2
Звідси отримуємо значення шуканого інтеграла,
хзіп
ох
ах
=
—
і — ах =
2
о
х
2
+£
2
,
1
+
?
хзіп
ах , я .
йх
= - | — -ах =
— е
*
.
-4
/V.
Задачі для практичних занять
У задачах 3.188
-
3.198 знайти лишки заданих функцій
в
їх особливих точках.
3.188.
Дг) =
3.190.
/(*) =
(г
+
ІГЧг-2)
(г + іУ(
г
-2Г
1
3.192.
/(2)
=
С08-
+
2
3
.
2
1
-
СОЗ
2
*
3
(*-3)
СОЗ
2
3.194.
/(2)
3.196.
/(2)
3.198.
/(2)=СІ§
2
2.
2|
71
2
2-
2;
3.189.
Дг) =
І§2
2
1
2
2
4
.2
- 1
3.191.
/(г) =
г^8іп-.
2
3.193.
/(2)
= —
,ч2
(2
+ /)
3.195.
/(*) =
V
(2
І
-1)
(2 + 3)
3.197.
/(
2
) =
.
2-г
§6.
Лишки функцій
та їх
застосування
405
У задачах 3.199
-
3.213
обчислити задані інтеграли, вико-
ристовуючи теорему Коші про лишки.
3.199. \\%гс1г. 3.200.
[ -у—й2.
3
3
- 2 +
1
=
2
1
2
3.201.
[ , де С: х
2/і
+ /
/3
= 3
2/3
-
астроїда.
^-1)
2
(2 + 2)
3.202.
| \
~\сІ2.
3.203.
]"
2
2
зіп-аг.
.
\
:
-,\
=3
2--І2 , 2
2
3.204.
[ —-—
02.
3.205.
[ —^ сіг.
І
_-+і|=4
Е
~ +
3
|
Г|
=
1
8
І
П
2С08
2
3.206.
[
—-—
Т
сіг.
|і
4
(г-я)
3
си»
—
2 2
3.207.
Г^—С: —+ ^- = 1.
«І2
2
-4 9 4
3.208.
[-4— аг, С: х
2
+ у
2
-2х = 0.
3.209. [_^^
Л
,С:^-
+
^=1.
3.210.
Г .
2+1
— аг, С: х
2
+ у
2
=16.
^2
2
+22-3
3.211.
Г-^^,С:^
+
^ = 1.
Нг-1)
5
3 9
3.212.
[-^-, С:х
2
+/ =2х.
+1
406
Глава 3, Функції комплексної змінної
3.213.
\{2 + \)е
ХІ
'-сІ2.
1
І--!=3
У задачах 3.214-3.219 обчислити задані визначені інтеграли.
2к
іІг
3.214. [ — (а>Ь>0).
о
(а+ 6 созх)
, ... _
2
? соз2х
3.215. [
т
сіх {р>\).
о
1
- 2р созх + р
2л
3.216. [ — -дх (0<р<\).
о
1
-2р зіпх + р
3.217. [——— (а>\).
0
а + созх
3.218. \ — (0<а<1).
0
1
+ а соз х
3.219. $сІ%(х-а)сіх (Іта>0).
о
У задачах
3.220
-
3.225
обчислити задані невласні інтеграли.
3.220. ( — ^— (д>0, Ь>0).
1 (х
2
+а
2
)(х
2
+Ь
2
)
3.221.
[
г
. 3.222. [ ^—^-сіх.
і
(\ +
х
2
Г
]
{ х
6
+1
+
~ х
2т
, _
+
Г сіх
3.223.
| ^сіх. 3.224. $
\ + х
АП
^ х° + 1
3.225. \ *
(х
2
+2Х + 2)
2
§6.
Лишки функцій та їх застосування
407
У задачах 3.226 - 3.232 обчислити задані невласні інтеграли.
3.226. Г /
5ШХ
сіх. 3.227. Г сіх.
— х
2
+4х + 20 І (х
2
+ 1)(х
2
+ 4)
3.228. [ -^-сіх. 3.229. Т-^т^ («>0).
+ 00 . +00 3 •
3.230. --
т
сіх. 3.231. [ —- сіх(а>0).
0
1
+ х + х
4
о х+1
+ оо 2
- Г
Х
С08Х ,
3.232.
г—г-йгх.
1
(1
+ х
2
)
2
ГЛАВА
4. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
§1.
Перетворення Лапласа
І.
Короткі теоретичні відомості
Основні поняття. Функцією-оригіналом
або
оригіналом називається
комплексна функція дійсної змінної
/(і) = и(і) + і
у(0, яка задовольняє такі
умови:
1) функція
ДО
неперервна
або
кусково-неперервна, тобто функція
/(і) інтегровна
на
будь-якому скінченному проміжку;
2) ДО
= 0 при
І <
0 ;
3) існують такі сталі
М > 0, * > 0, що для
всіх
/
виконується нерів-
ність
| Д0|< Ме^
1
(величина
5
0
=
іпґ
.у
називається показником росту функ-
ції ДО).
Зображенням функції-оригіналу
ДО
називається функція
Р(р)
комп-
лексної змінної
р
—
а + іо, яка
визначається рівністю
Г(Р)=
\№е-
рІ
сІІ.
(4.1)
о
Інтеграл,
що
стоїть справа
у
формулі (4.1), називається інтегралом
Лапласа.
Цей
інтеграл залежить
від
параметра
р.
Функцію
Р(р)
назива-
ють також
і
-зображенням або лапласовим зображенням функції
ДО .
Той факт,
що Р(р) є
зображенням
ДО
символічно записується так:
Пр)=А0,
А0 =
ПР), /4/0 =
М/(')}
•
Перетворенням Лапласа функції
/(і)
називається перетворення,
що
ставить
у
відповідність функції дійсної змінної
/(0
функцію комплексної
змінної
Р(р) за
формулою (4.1).
Теорема. Якщо
/(/) -
функція-оригінал
з
показником росту ,$
0
, то
функція
Р(р)
визначена
у
півплощині Ке
р = $ > $
0
і є
аналітичною
в цій
півплощині.
Найпростішою функцією-оригіналом
є
одинична функція Хевісайда
[1,
І>0,
1
|0, (<0.
§
1,
Перетворення Лапласа
409
У подальшому під заданою за допомогою аналітичної формули функ-
цією /(і) розумітимемо функцію /(і)ц(і)
>
тобто вважаги, що /(і) = 0
при І< 0.
Виходячи з означення зображення, можна довести, що
тК/).= -
р
або записують так:
Властивості перетворення Лапласа
1°.
Властивість лінійності. Якщо /ДО.— Р,(р)> ос, є С, / =
1,и,то
!«,/,(/).=• Іа^Др).
2° . Теорема подібності. Якщо Ді)= Р(р), ає К, а> 0 , то
Я
ш)=Ір(П
а \ а
і
3° . Теорема запізнювання. Якщо Дґ) = Р(р), К, х>0,то
тК/-т)/(/-х)=е-"
т
/
:
'(р).
Теорему запізнювання зручно використовувати при знаходженні зобра-
жень функцій, які на різних проміжках задаються різними аналітичними ви-
разами.
4°.
Теорема зміщення. Якщо /(() —' Р(р), а є С , то
е-
а
'Ді) = Г(р + а).
5°.
Диференціювання оригіналу. Якщо функції /(і),
/'(і),
/"((),•••,
/
(п)
(0 є функціями-оригіналами і /(/) =' Р(р), то
А0
=
РПР)-№,
/"(() = Р
2
ПР)-Р
ДО)-Ґ(0),
/*(/) =
р'Р(р)
-
Р
2
Д0) - р/'(0) -
/'(0),
/
(и)
(0
= ПР) -
Р"~
1
Д0)
-
р"'
2
/Щ
-... - /
(пЧ)
(0).
Зокрема, якщо /(0) = /'(0) = ... = /
<п_1)
(0) = 0, то
А\І) =
р
"ПР).
410
Глава 4, Операційне числення
6° .Диференціювання зображення. Якщо Р(р)
==
/Ц), то
Р'(р)=-і/((),
Р\Р)
.= '
2
/(0.
Г
ІП
\Р)={-\УІ
И
ЯІ).
Останню формулу представимо у вигляді
і"№
= (-*)"
г
1п
\р).
7° . Інтегрування оригіналу. Якщо /(/) =' Р(р) , то
о
Р
8°.
Інтегрування зображення. Якщо Р(р)
.—
/(/) і |/*"(/?) ф збіга-
/>
ється, то
ло
=
/>
9° . Теорема множення (теорема про згортку).
Якщо /ї(0 = М/>),
МО^ЩР)'-™
№*Ш^Р\(РУГг(Р)-
Тут вираз
/і
(0
*
/2 (0 =
} /, (т) /
2
0
-
т) Л
= }/і
(/
-
т) /
2
(х) А
о
о
називається згорткою функцій /, (/) та /
2
(0 •
10°.
Формула Дюамеля.
Якщо /
{
(і)=Р,(
Р
), /
2
(і) = Г
2
(р),то
рр,
(р) Р
2
(
Р
) =
/, (0)/
2
(/)+/,'(/) *М0 =
/
2
(0)/,
(0+/
2
'(0 *
/і (0
•
Враховуючи, що одинична функція Хевісайда ц(і) =' —, тобто
1
= —,
Р Р
та введені властивості 1
0
- 10° перетворення Лапласа, можна побудувати таб-
лицю зображень основних функцій.