М.: Просвещение; 1987. - 400 с.
Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности № 2104 «Математика»
В учебном пособии излагаются основные понятия школьной математики (элементарные функции, угол, вектор, плоскость, планиметрия, измерение величин, площадь и мера плоской фигуры, решение алгебраических уравнений, геометрические построения, основания понятия числа) с точки зрения математических курсов пединститута; выясняется место этих основных понятий в системе представлений высшей математики.
Оглавление:
Элементарные функции. Угол.
Введение.
Линейная функция.
Аксиоматическое определение линейной функции.
Свойства линейной функции.
Теорема существования и единственности линейной функции.
Показательная функция.
Аксиоматическое определение показательной функции.
Свойства показательной функции.
Теорема существования и единственности показательной функции.
Логарифмическая функция.
Аксиоматическое определение логарифмической функции.
Свойства логарифмических функций. Теорема существования и единственности логарифмической функции.
Степенная функция.
Аксиоматическое определение степенной функции.
Теорема существования и единственности степенной функции.
Свойства степенных функций.
Функции косинус и синус числового аргумента.
Экспоненциальная функция и ее периодичность.
Теоремы существования и единственности экспоненциальной функции.
Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические определения и свойства.
Угол. Функции косинус и синус углового аргумента. Измерение углов.
Введение.
Определение угла в арифметической плоскости.
Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. Свойства этих функций.
Измерение углов.
Обсуждение полученных результатов.
Вектор. Плоскость. Планиметрия ведение.
Сравнение различных подходов к понятию вектора.
Вектор как пара чисел. Свободный вектор. Вектор как параллельный перенос.
Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых.
Вектор как тензор.
Понятие плоскости.
Аффинная плоскость.
Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости.
Плоскость с формой.
Проективная плоскость.
Аксиоматический подход к определению плоскости.
Два типа аксиоматического определения плоскости.
Аксиоматическое теоретико-множественное определение плоскости. .
Аксиоматики плоскости Евклида — Гильберта, Лобачевского и Римана.
Двумерные римановы многообразия как модели аксиоматических определений Плоскости.
Основные группы школьной планиметрии и их действие в плоскости.
Аффинные отображения.
Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости.
Поднятие группы биекцнй в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости.
Понятие планиметрии.
Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы.
Евклидова планиметрия — планиметрия ортогональной группы.
Измерение величин. Площадь и мера плоских фигур.
Введение.
Примеры измерений и величин.
Положительная скалярная величина.
Измерение площади многоугольника.
Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности.
Инвариантность функции площади относительно эквиаффинной группы.
Сравнение конструктивного и аксиоматического определений площади многоугольника. Сравнение различных способов измерения площади многоугольника.
Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным определением.
Определение площади многоугольника с помощью движений.
Способы измерения площади многоугольника.
Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры плоской фигуры. Вычисление меры простейших криволинейных фигур.
Измерение плоских криволинейных фигур.
Неизмеримые множества.
Аксиоматическое определение меры.
Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры.
Вычисление меры простейших криволинейных фигур.
Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега.
Алгебраические уравнения степеней, меньших или равных Б, и геометрические построения.
Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах и выполнимостью традиционных геометрических построений.
Кубические уравнения и квадратичные расширения.
Построение циркулем н линейкой.
Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.
Геометрические построения, включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре.
Геометрические построения с помощью одного циркуля.
Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий.
разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени.
Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.
Понятие разрешимой группы.
Определение симметрической и знакопеременной групп.
Разрешимость симметрической и знакопеременной групп.
Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа.
Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени.
Доказательство необходимого условия в теореме Галуа.
Решение алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 4, в радикалах.
План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой. группой Галуа.
Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с циклической группой Галуа.
Разрешимость в радикалах квадратного уравнения.
Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа.
Разрешимость в радикалах кубического уравнения.
Логико-математические основания понятия числа.
Понятие натурального ряда.
Финитный подход к определению натурального ряда.
Теоретико-множественный и аксиоматический подходы к определению натурального ряда.
Сравнение определений целых чисел.
Определение рационального числа как линейной функции.
Основные подходы к определению вещественных чисел.
Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности.
Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение.
Определение вещественного числа как сечения.
Определение вещественного числа как последовательности знаков.
Основные подходы к определению комплексных чисел.
Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности и упорядоченности среди свойств комплексных и вещественных чисел.
Связь полей вещественных и комплексных чисел. " Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое расширение и метрическое пополнение.
Приложение.
Группы, изоморфные прямой и окружности.
Длина дуги. Определение функций косинус и синус числового аргумента на основе понятия длины дуги.
Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных величин.
Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утверждений.
Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости.
Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.
Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.
Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.
Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности № 2104 «Математика»
В учебном пособии излагаются основные понятия школьной математики (элементарные функции, угол, вектор, плоскость, планиметрия, измерение величин, площадь и мера плоской фигуры, решение алгебраических уравнений, геометрические построения, основания понятия числа) с точки зрения математических курсов пединститута; выясняется место этих основных понятий в системе представлений высшей математики.
Оглавление:
Элементарные функции. Угол.
Введение.
Линейная функция.
Аксиоматическое определение линейной функции.
Свойства линейной функции.
Теорема существования и единственности линейной функции.
Показательная функция.
Аксиоматическое определение показательной функции.
Свойства показательной функции.
Теорема существования и единственности показательной функции.
Логарифмическая функция.
Аксиоматическое определение логарифмической функции.
Свойства логарифмических функций. Теорема существования и единственности логарифмической функции.
Степенная функция.
Аксиоматическое определение степенной функции.
Теорема существования и единственности степенной функции.
Свойства степенных функций.
Функции косинус и синус числового аргумента.
Экспоненциальная функция и ее периодичность.
Теоремы существования и единственности экспоненциальной функции.
Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические определения и свойства.
Угол. Функции косинус и синус углового аргумента. Измерение углов.
Введение.
Определение угла в арифметической плоскости.
Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. Свойства этих функций.
Измерение углов.
Обсуждение полученных результатов.
Вектор. Плоскость. Планиметрия ведение.
Сравнение различных подходов к понятию вектора.
Вектор как пара чисел. Свободный вектор. Вектор как параллельный перенос.
Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых.
Вектор как тензор.
Понятие плоскости.
Аффинная плоскость.
Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости.
Плоскость с формой.
Проективная плоскость.
Аксиоматический подход к определению плоскости.
Два типа аксиоматического определения плоскости.
Аксиоматическое теоретико-множественное определение плоскости. .
Аксиоматики плоскости Евклида — Гильберта, Лобачевского и Римана.
Двумерные римановы многообразия как модели аксиоматических определений Плоскости.
Основные группы школьной планиметрии и их действие в плоскости.
Аффинные отображения.
Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости.
Поднятие группы биекцнй в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости.
Понятие планиметрии.
Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы.
Евклидова планиметрия — планиметрия ортогональной группы.
Измерение величин. Площадь и мера плоских фигур.
Введение.
Примеры измерений и величин.
Положительная скалярная величина.
Измерение площади многоугольника.
Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности.
Инвариантность функции площади относительно эквиаффинной группы.
Сравнение конструктивного и аксиоматического определений площади многоугольника. Сравнение различных способов измерения площади многоугольника.
Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным определением.
Определение площади многоугольника с помощью движений.
Способы измерения площади многоугольника.
Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры плоской фигуры. Вычисление меры простейших криволинейных фигур.
Измерение плоских криволинейных фигур.
Неизмеримые множества.
Аксиоматическое определение меры.
Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры.
Вычисление меры простейших криволинейных фигур.
Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега.
Алгебраические уравнения степеней, меньших или равных Б, и геометрические построения.
Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах и выполнимостью традиционных геометрических построений.
Кубические уравнения и квадратичные расширения.
Построение циркулем н линейкой.
Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.
Геометрические построения, включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре.
Геометрические построения с помощью одного циркуля.
Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий.
разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени.
Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.
Понятие разрешимой группы.
Определение симметрической и знакопеременной групп.
Разрешимость симметрической и знакопеременной групп.
Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа.
Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени.
Доказательство необходимого условия в теореме Галуа.
Решение алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 4, в радикалах.
План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой. группой Галуа.
Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с циклической группой Галуа.
Разрешимость в радикалах квадратного уравнения.
Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа.
Разрешимость в радикалах кубического уравнения.
Логико-математические основания понятия числа.
Понятие натурального ряда.
Финитный подход к определению натурального ряда.
Теоретико-множественный и аксиоматический подходы к определению натурального ряда.
Сравнение определений целых чисел.
Определение рационального числа как линейной функции.
Основные подходы к определению вещественных чисел.
Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности.
Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение.
Определение вещественного числа как сечения.
Определение вещественного числа как последовательности знаков.
Основные подходы к определению комплексных чисел.
Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности и упорядоченности среди свойств комплексных и вещественных чисел.
Связь полей вещественных и комплексных чисел. " Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое расширение и метрическое пополнение.
Приложение.
Группы, изоморфные прямой и окружности.
Длина дуги. Определение функций косинус и синус числового аргумента на основе понятия длины дуги.
Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных величин.
Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утверждений.
Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости.
Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.
Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.
Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.